推荐学习年高考数学考点通关练第三章三角函数解三角形与平面向量同角三角函数基本关系式与.docx
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考点测试18 同角三角函数基本关系式与诱导公式
一、基础小题
1.cos=( )
A. B.C.-D.-
答案C
解析 cos=cos=cos=cos
=-cos=-,故选C.
2.α∈,sinα=-,则cos(-α)的值为()
A.- B. C.D.-
答案 B
解析 因为α∈,sinα=-,所以cosα=,即cos(-α)=,故选B.
3.已知sin(θ+π)<0,cos(θ-π)>0,则下列不等关系中必定成立的是( )
A.sinθ<0,cosθ>0B.sinθ>0,cosθ<0
C.sinθ>0,cosθ>0ﻩD.sinθ<0,cosθ<0
答案B
解析 sin(θ+π)<0,∴-sinθ<0,sinθ>0.
∵cos(θ-π)>0,∴-cosθ>0.∴cosθ<0.
4.点A(sin2013°,cos2013°)在直角坐标平面上位于()
A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
答案C
解析注意到2013°=360°×5+(180°+33°),因此2013°角的终边在第三象限,sin2013°<0,cos2013°<0.所以点A位于第三象限.
5.已知sinθ=-,θ∈,则sin(θ-5π)sin的值是( )
A. B.-C.-D.
答案B
解析∵sinθ=-,θ∈,∴cosθ==.∴原式=-sin(π-θ)·(-cosθ)=sinθcosθ=-×=-.
6.已知2tanα·sinα=3,-<α<0,则sinα等于( )
A.B.-C.D.-
答案B
解析 由2tanα·sinα=3得,=3,即2cos2α+3cosα-2=0,又-<α<0,解得cosα=(cosα=-2舍去),故sinα=-.
7.已知sin(π-α)=-2sin,则sinαcosα=( )
A.B.- C.或- D.-
答案 B
解析 由已知条件可得tanα=-2,所以sinαcosα=
==-.
8.若sinθ,cosθ是方程4x2+2mx+m=0的两个根,则m的值为( )
A.1+ B.1-C.1±D.-1-
答案 B
解析由题意得sinθ+cosθ=-,sinθcosθ=,又(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,所以=1+,解得m=1±,又Δ=4m2-16m≥0,解得m≤0或m≥4,所以m=1-,故选B.
9.已知tan140°=k,则sin140°=( )
A.B. C.-D.-
答案C
解析因为k=tan140°=tan(180°-40°)=-tan40°,所以tan40°=-k,所以k<0,sin40°=-kcos40°,sin140°=sin(180°-40°)=sin40°,因为sin240°+cos240°=1,所以k2cos240°+cos240°=1,所以cos40°=,所以sin40°=.
10.已知=-,那么的值是( )
A. B.-C.2D.-2
答案A
解析 由于·==-1,故
=.
11.若sinθcosθ=,θ∈,则cosθ-sinθ=________.
答案-
解析(cosθ-sinθ)2=cos2θ+sin2θ-2sinθcosθ=1-=,∵θ∈,∴cosθ<sinθ,∴cosθ-sinθ=-.
12.化简+=________.
答案 sin80°
解析 由于=
===cos80°;==
=|sin80°-cos80°|=sin80°-cos80°.
故原式=cos80°+sin80°-cos80°=sin80°.
二、高考小题
13.[2015·福建高考]若sinα=-,且α为第四象限角,则tanα的值等于( )
A. B.-C.D.-
答案D
解析 因为sinα=-,且α为第四象限角,所以cosα=,所以tanα=-,故选D.
14.[2016·全国卷Ⅲ]若tanα=,则cos2α+2sin2α=( )
A.B. C.1D.
答案A
解析当tanα=时,原式=cos2α+4sinαcosα
====,故选A.
15.[2014·全国卷Ⅰ]设α∈,β∈,且tanα=,则( )
A.3α-β=ﻩB.2α-β=
C.3α+β= D.2α+β=
答案 B
解析由条件得=,即sinαcosβ=cosα(1+sinβ),sin(α-β)=cosα=sin,因为-<α-β<,0<-α<,所以α-β=-α,所以2α-β=,故选B.
16.[2016·四川高考]sin750°=________.
答案
解析 sin750°=sin(2×360°+30°)=sin30°=.
三、模拟小题
17.[2017·沈阳育才中学模拟]已知锐角α满足5α的终边上有一点P(sin(-50°),cos130°),则α的值为()
A.8° B.44° C.26°D.40°
答案 B
解析 点P(sin(-50°),cos130°)化简为P(cos220°,sin220°),因为0°<α<90°,所以5α=220°,所以α=44°.故选B.
18.[2017·郑州模拟]等于( )
A.sin2-cos2B.sin2+cos2
C.±(sin2-cos2)D.cos2-sin2
答案 A
解析 ===|sin2-cos2|=sin2-cos2.
19.[2016·保定模拟]已知sinα-cosα=,α∈(0,π),则tanα等于( )
A.-1B.- C.D.1
答案 A
解析 解法一:
由sinα-cosα=,得sinα-cosα=1,即sin=1.∵α∈(0,π),∴∈,
∴α-=,α=π,∴tanα=-1.
解法二:
由sinα-cosα=得1-2sinαcosα=2,即2sinαcosα=-1,∴(sinα+cosα)2=0,即sinα+cosα=0,由可知sinα=,cosα=-,∴tanα==-1.
20.[2016·咸阳模拟]化简的结果是( )
A.2sinαﻩB.2cosα
C.sinα+cosα ﻩD.sinα-cosα
答案C
解析原式=
=
==sinα+cosα.
21.[2017·宁波模拟]已知sinθ=,cosθ=,其中θ∈,则下列结论正确的是( )
A.3≤m≤9ﻩB.3≤m<5
C.m=0或m=8ﻩD.m=8
答案D
解析因为θ∈,所以sinθ=≥0 ①,cosθ=≤0②,且2+2=1,整理得=1,即5m2-22m+25=m2+10m+25,即4m(m-8)=0,解得m=0或m=8,又m=0不满足①②两式,m=8满足①②两式,故m=8.
22.[2017·洛阳模拟]在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是,则sin2θ-cos2θ的值为( )
A.1B.-C. D.-
答案B
解析解法一:
由题意可知,拼图中的每个直角三角形的长直角边为cosθ,短直角边为sinθ,小正方形的边长为cosθ-sinθ,∵小正方形的面积是,∴(cosθ-sinθ)2=,又θ为直角三角形中较小的锐角,∴cosθ>sinθ,∴cosθ-sinθ=,又(cosθ-sinθ)2=1-2cosθsinθ=,∴2sinθcosθ=,(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=,∴sinθ+cosθ=,∴sin2θ-cos2θ=(sinθ-cosθ)(sinθ+cosθ)=-,故选B.
解法二:
设直角三角形中较小的直角边长为x,∵小正方形的面积是,∴小正方形的边长为,直角三角形的另一直角边长为x+,又大正方形的面积是1,∴x2+2=12,解得x=,∴sinθ=,cosθ=,∴sin2θ-cos2θ=2-2=-,故选B.
23.[2016·唐山一模]若sin=,则cos=()
A.- B. C.-D.
答案 A
解析 ∵sin=,∴sin=,∴cos=,
∴cos=2cos2-1=2×-1=-,选A.
24.[2016·大连、沈阳联考]已知tanα=2,则
的值为________.
答案 -3
解析 =
==-3.
一、高考大题
本考点在近三年高考中未独立命题.
二、模拟大题
1.[2017·甘肃河西月考]已知=-1,求下列各式的值.
(1);
(2)1-3sinαcosα+3cos2α.
解 由=-1,得tanα=3.
(1)==-.
(2)1-3sinαcosα+3cos2α
=
=
=
==.
2.[2017·吉林长春月考]已知关于x的方程2x2-(+1)x+m=0的两个根为sinθ和cosθ,θ∈(0,2π),求:
(1)+的值;
(2)m的值;
(3)方程的两根及θ的值.
解
(1)
+=+
==sinθ+cosθ=.
(2)将①式两边平方得1+2sinθcosθ=.
∴sinθcosθ=.
由②式得=,∴m=.
(3)由
(2)可知原方程变为
2x2-(+1)x+=0,解得x1=,x2=.
∴或
又θ∈(0,2π),∴θ=或θ=.
3.[2017·陕西延安月考]已知-<α<0,且函数f(α)=cos-sinα-1.
(1)化简f(α);
(2)若f(α)=,求sinα·cosα和sinα-cosα的值.
解
(1)f(α)=sinα-sinα·-1
=sinα+sinα·-1=sinα+cosα.
(2)解法一:
由f(α)=sinα+cosα=,
平方可得sin2α+2sinα·cosα+cos2α=,
即2sinα·cosα=-,∴sinα·cosα=-,
∵(sinα-cosα)2=1-2sinα·cosα=,
又-<α<0,∴sinα<0,cosα>0,
∴sinα-cosα<0,∴sinα-cosα=-.
解法二:
联立方程
解得或
∵-<α<0,∴
∴sinα·cosα=-,sinα-cosα=-.
4.[2017·四川宜宾月考]是否存在α∈,β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=cos,cos(-α)=-cos(π+β)同时成立?
若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由.
解假设存在角α,β满足条件,
则由已知条件可得
由①2+②2,得sin2α+3cos2α=2.
∴sin2α=,∴sinα=±.
∵α∈,∴α=±.
当α=时,由②式知cosβ=,
又β∈(0,π),∴β=,此时①式成立;
当α=-时,由②式知cosβ=,
又β∈(0,π),∴β=,此时①式不成立,故舍去.
∴存在α=,β=满足条件.
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