小学数学30种典型应用题分类讲解附带例题和解题过程.docx
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小学数学30种典型应用题分类讲解附带例题和解题过程
小学数学30种典型应用题分类讲解附带例题和解题过程
小学数学30种典型应用题讲解应用题可分为一般应用题与典型应用题。
没有特定的解答规律的两步以上运算的应用题,叫做一般应用题。
题目中有特殊的数量关系,可以用特定的步骤和方法来解答的应用题,叫做典型应用题.以下主要研究30类典型应用题:
1、归一问题11、行船问题21、方阵问题
2、归总问题12、列车问题22、商品利润问题
3、和差问题13、时钟问题23、存款利率问题
4、和倍问题14、盈亏问题24、溶液浓度问题
5、差倍问题15、工程问题25
6、倍比问题16、正反比例问题、构图布数问题
7、相遇问题17、按比例分配26、幻方问题
8、追及问题18、百分数问题27、抽屉原则问题
9、植树问题19、“牛吃草”问题28、公约公倍问题
10、年龄问题20、鸡兔同笼问题29、最值问题
30、列方程问题1归一问题
【含义】在解题时,先求出一份是多少(即单一量),然后以单一量为标准,求出所要求的数量。
这类应
用题叫做归一问题。
【数量关系】总量?
份数,1份数量
1份数量×所占份数,所求几份的数量
另一总量?
(总量?
份数),所求份数
【解题思路和方法】先求出单一量,以单一量为标准,求出所要求的数量。
例1买5支铅笔要0.6元钱,买同样的铅笔16支,需要多少钱,
解
(1)买1支铅笔多少钱,0.6?
5,0.12(元)
(2)买16支铅笔需要多少钱,0.12×16,1.92(元)
列成综合算式0.6?
5×16,0.12×16,1.92(元)
答:
需要1.92元。
例23台拖拉机3天耕地90公顷,照这样计算,5台拖拉机6天耕地多少公顷,解
(1)1台拖拉机1天耕地多少公顷,90?
3?
3,10(公顷)
(2)5台拖拉机6天耕地多少公顷,10×5×6,300(公顷)
列成综合算式90?
3?
3×5×6,10×30,300(公顷)
1
答:
5台拖拉机6天耕地300公顷。
例35辆汽车4次可以运送100吨钢材,如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材,需要运几次,解
(1)1辆汽车1次能运多少吨钢材,100?
5?
4,5(吨)
(2)7辆汽车1次能运多少吨钢材,5×7,35(吨)
(3)105吨钢材7辆汽车需要运几次,105?
35,3(次)
列成综合算式105?
(100?
5?
4×7),3(次)
答:
需要运3次。
2归总问题
【含义】解题时,常常先找出“总数量”,然后再根据其它条件算出所求的问题,叫归总问题。
所谓“总数量”是指货物的总价、几小时(几天)的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。
【数量关系】1份数量×份数,总量
总量?
1份数量,份数
总量?
另一份数,另一每份数量
【解题思路和方法】先求出总数量,再根据题意得出所求的数量。
例1服装厂原来做一套衣服用布3.2米,改进裁剪方法后,每套衣服用布2.8米。
原来做791套衣服的布,现在可以做多少套,
解
(1)这批布总共有多少米,3.2×791,2531.2(米)
(2)现在可以做多少套,2531.2?
2.8,904(套)
列成综合算式3.2×791?
2.8,904(套)
答:
现在可以做904套。
例2小华每天读24页书,12天读完了《红岩》一书。
小明每天读36页书,几天可以读完《红岩》,解
(1)《红岩》这本书总共多少页,24×12,288(页)
(2)小明几天可以读完《红岩》,288?
36,8(天)
列成综合算式24×12?
36,8(天)
答:
小明8天可以读完《红岩》。
例3食堂运来一批蔬菜,原计划每天吃50千克,30天慢慢消费完这批蔬菜。
后来根据大家的意见,每天比原计划多吃10千克,这批蔬菜可以吃多少天,
解
(1)这批蔬菜共有多少千克,50×30,1500(千克)
(2)这批蔬菜可以吃多少天,1500?
(50,10),25(天)
列成综合算式50×30?
(50,10),1500?
60,25(天)
2
答:
这批蔬菜可以吃25天。
3和差问题
【含义】已知两个数量的和与差,求这两个数量各是多少,这类应用题叫和差问题。
【数量关系】大数,(和,差)?
2
小数,(和,差)?
2
【解题思路和方法】简单的题目可以直接套用公式;复杂的题目变通后再用公式。
甲乙两班共有学生98人,甲班比乙班多6人,求两班各有多少人,例1
解甲班人数,(98,6)?
2,52(人)
乙班人数,(98,6)?
2,46(人)
答:
甲班有52人,乙班有46人。
例2长方形的长和宽之和为18厘米,长比宽多2厘米,求长方形的面积。
解长,(18,2)?
2,10(厘米)
宽,(18,2)?
2,8(厘米)
长方形的面积,10×8,80(平方厘米)
答:
长方形的面积为80平方厘米。
例3有甲乙丙三袋化肥,甲乙两袋共重32千克,乙丙两袋共重30千克,甲丙两袋共重22千克,求三袋
化肥各重多少千克。
解甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙,从中可以看出甲比丙多(32,30),2千克,且甲是大数,丙是小数。
由此可知
甲袋化肥重量,(22,2)?
2,12(千克)
丙袋化肥重量,(22,2)?
2,10(千克)
乙袋化肥重量,32,12,20(千克)
答:
甲袋化肥重12千克,乙袋化肥重20千克,丙袋化肥重10千克。
例4甲乙两车原来共装苹果97筐,从甲车取下14筐放到乙车上,结果甲车比乙车还多3筐,两车原来各
装苹果多少筐,
解“从甲车取下14筐放到乙车上,结果甲车比乙车还多3筐”,这说明甲车是大数,乙车是小数,甲与乙
的差是(14×2,3),甲与乙的和是97,因此
甲车筐数,(97,14×2,3)?
2,64(筐)
乙车筐数,97,64,33(筐)
答:
甲车原来装苹果64筐,乙车原来装苹果33筐。
3
4和倍问题
【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几),要求这两个数各是多少,这类应用题叫做和倍问题。
【数量关系】总和?
(几倍,1),较小的数
总和,较小的数,较大的数
较小的数×几倍,较大的数
简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。
【解题思路和方法】
例1果园里有杏树和桃树共248棵,桃树的棵数是杏树的3倍,求杏树、桃树各多少棵,解
(1)杏树有多少棵,248?
(3,1),62(棵)
(2)桃树有多少棵,62×3,186(棵)
答:
杏树有62棵,桃树有186棵。
东西两个仓库共存粮480吨,东库存粮数是西库存粮数的1.4倍,求两库各存粮多少吨,例2
解
(1)西库存粮数,480?
(1.4,1),200(吨)
(2)东库存粮数,480,200,280(吨)
答:
东库存粮280吨,西库存粮200吨。
例3甲站原有车52辆,乙站原有车32辆,若每天从甲站开往乙站28辆,从乙站开往甲站24辆,几天后乙站车辆数是甲站的2倍,
解每天从甲站开往乙站28辆,从乙站开往甲站24辆,相当于每天从甲站开往乙站(28,24)辆。
把几天以后甲站的车辆数当作1倍量,这时乙站的车辆数就是2倍量,两站的车辆总数(52,32)就相当于(2,1)倍,
那么,几天以后甲站的车辆数减少为
(52,32)?
(2,1),28(辆)
所求天数为(52,28)?
(28,24),6(天)
答:
6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。
例4甲乙丙三数之和是170,乙比甲的2倍少4,丙比甲的3倍多6,求三数各是多少,解乙丙两数都与甲数有直接关系,因此把甲数作为1倍量。
因为乙比甲的2倍少4,所以给乙加上4,乙数就变成甲数的2倍;
又因为丙比甲的3倍多6,所以丙数减去6就变为甲数的3倍;
这时(170,4,6)就相当于(1,2,3)倍。
那么,
甲数,(170,4,6)?
(1,2,3),28
4
乙数,28×2,4,52
丙数,28×3,6,90
答:
甲数是28,乙数是52,丙数是90。
5差倍问题
【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几),要求这两个数各是多少,这类应用题叫做差倍问题。
【数量关系】两个数的差?
(几倍,1),较小的数
较小的数×几倍,较大的数
【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。
例1果园里桃树的棵数是杏树的3倍,而且桃树比杏树多124棵。
求杏树、桃树各多少棵,解
(1)杏树有多少棵,124?
(3,1),62(棵)
(2)桃树有多少棵,62×3,186(棵)
答:
果园里杏树是62棵,桃树是186棵。
例2爸爸比儿子大27岁,今年,爸爸的年龄是儿子年龄的4倍,求父子二人今年各是多少岁,解
(1)儿子年龄,27?
(4,1),9(岁)
(2)爸爸年龄,9×4,36(岁)
答:
父子二人今年的年龄分别是36岁和9岁。
例3商场改革经营管理办法后,本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元,又知本月盈利比上月盈利多30万元,求这两个月盈利各是多少万元,
解如果把上月盈利作为1倍量,则(30,12)万元就相当于上月盈利的(2,1)倍,因此上月盈利,(30,12)?
(2,1),18(万元)
本月盈利,18,30,48(万元)
答:
上月盈利是18万元,本月盈利是48万元。
例4粮库有94吨小麦和138吨玉米,如果每天运出小麦和玉米各是9吨,问几天后剩下的玉米是小麦的3倍,
解由于每天运出的小麦和玉米的数量相等,所以剩下的数量差等于原来的数量差(138,94)。
把几天后剩下的小麦看作1倍量,则几天后剩下的玉米就是3倍量,那么,(138,94)就相当于(3,1)倍,因此剩下的小麦数量,(138,94)?
(3,1),22(吨)
运出的小麦数量,94,22,72(吨)
运粮的天数,72?
9,8(天)
5
答:
8天以后剩下的玉米是小麦的3倍。
6倍比问题
【含义】有两个已知的同类量,其中一个量是另一个量的若干倍,解题时先求出这个倍数,再用倍比的方法算出要求的数,这类应用题叫做倍比问题。
【数量关系】总量?
一个数量,倍数
另一个数量×倍数,另一总量
【解题思路和方法】先求出倍数,再用倍比关系求出要求的数。
例1100千克油菜籽可以榨油40千克,现在有油菜籽3700千克,可以榨油多少,解
(1)3700千克是100千克的多少倍,3700?
100,37(倍)
(2)可以榨油多少千克,40×37,1480(千克)
列成综合算式40×(3700?
100),1480(千克)
答:
可以榨油1480千克。
例2今年植树节这天,某小学300名师生共植树400棵,照这样计算,全县48000名师生共植树多少棵,解
(1)48000名是300名的多少倍,48000?
300,160(倍)
(2)共植树多少棵,400×160,64000(棵)
列成综合算式400×(48000?
300),64000(棵)
答:
全县48000名师生共植树64000棵。
例3凤翔县今年苹果大丰收,田家庄一户人家4亩果园收入11111元,照这样计算,全乡800亩果园共收入多少元,全县16000亩果园共收入多少元,
解
(1)800亩是4亩的几倍,800?
4,200(倍)
(2)800亩收入多少元,11111×200,2222200(元)
(3)16000亩是800亩的几倍,16000?
800,20(倍)
(4)16000亩收入多少元,2222200×20,44444000(元)
答:
全乡800亩果园共收入2222200元,全县16000亩果园共收入44444000元。
7相遇问题
【含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而行,在途中相遇。
这类应用题叫做相遇问题。
【数量关系】相遇时间,总路程?
(甲速,乙速)
总路程,(甲速,乙速)×相遇时间
【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用公式。
例1南京到上海的水路长392千米,同时从两港各开出一艘轮船相对而行,从南京开出的船每小时行28
6
千米,从上海开出的船每小时行21千米,经过几小时两船相遇,
解392?
(28,21),8(小时)
答:
经过8小时两船相遇。
例2小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步,小李每秒钟跑5米,小刘每秒钟跑3米,他们从同一地点同时出发,反向而跑,那么,二人从出发到第二次相遇需多长时间,
解“第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。
×2因此总路程为400
相遇时间,(400×2)?
(5,3),100(秒)
答:
二人从出发到第二次相遇需100秒时间。
例3甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行,甲每小时行15千米,乙每小时行13千米,两人在距中点3千米处相遇,求两地的距离。
解“两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。
从题中可知甲骑得快,乙骑得慢,甲过了中点3千米,乙距中点3千米,就是说甲比乙多走的路程是(3×2)千米,因此,相遇时间,(3×2)?
(15,13),3(小时)
两地距离,(15,13)×3,84(千米)
答:
两地距离是84千米。
8追及问题
【含义】两个运动物体在不同地点同时出发(或者在同一地点而不是同时出发,或者在不同地点又不是同时出发)作同向运动,在后面的,行进速度要快些,在前面的,行进速度较慢些,在一定时间之内,后面的追上前面的物体。
这类应用题就叫做追及问题。
【数量关系】追及时间,追及路程?
(快速,慢速)
追及路程,(快速,慢速)×追及时间
【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。
例1好马每天走120千米,劣马每天走75千米,劣马先走12天,好马几天能追上劣马,解
(1)劣马先走12天能走多少千米,75×12,900(千米)
(2)好马几天追上劣马,900?
(120,75),20(天)
列成综合算式75×12?
(120,75),900?
45,20(天)
答:
好马20天能追上劣马。
例2小明和小亮在200米环形跑道上跑步,小明跑一圈用40秒,他们从同一地点同时出发,同向而跑。
小明第一次追上小亮时跑了500米,求小亮的速度是每秒多少米。
解小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈,即200米,此时小亮跑了(500,200)米,要知小亮的速度,
7
须知追及时间,即小明跑500米所用的时间。
又知小明跑200米用40秒,则跑500米用,40×(500?
200),秒,所以小亮的速度是
(500,200)?
40×(500?
200),,300?
100,3(米)
答:
小亮的速度是每秒3米。
例3我人民解放军追击一股逃窜的敌人,敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑,解放军在晚上22点接到命令,以每小时30千米的速度开始从乙地追击。
已知甲乙两地相距60千米,问解放军几个小时可以追上敌人,
解敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是(22,16)小时,这段时间敌人逃跑的路程是,10×(22,16),千米,甲乙两地相距60千米。
由此推知
追及时间,,10×(22,16),60,?
(30,10),120?
20,6(小时)
答:
解放军在6小时后可以追上敌人。
例4一辆客车从甲站开往乙站,每小时行48千米;一辆货车同时从乙站开往甲站,每小时行40千米,两车在距两站中点16千米处相遇,求甲乙两站的距离。
解这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。
从题中可知客车落后于货车(16×2)千米,客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间,
这个时间为16×2?
(48,40),4(小时)
所以两站间的距离为(48,40)×4,352(千米)
列成综合算式(48,40)×,16×2?
(48,40),,88×4,352(千米)
答:
甲乙两站的距离是352千米。
例5兄妹二人同时由家上学,哥哥每分钟走90米,妹妹每分钟走60米。
哥哥到校门口时发现忘记带课本,立即沿原路回家去取,行至离校180米处和妹妹相遇。
问他们家离学校有多远,
解要求距离,速度已知,所以关键是求出相遇时间。
从题中可知,在相同时间(从出发到相遇)内哥哥比妹妹多走(180×2)米,这是因为哥哥比妹妹每分钟多走(90,60)米,
那么,二人从家出走到相遇所用时间为
180×2?
(90,60),12(分钟)
家离学校的距离为90×12,180,900(米)
答:
家离学校有900米远。
例6孙亮打算上课前5分钟到学校,他以每小时4千米的速度从家步行去学校,当他走了1千米时,发现手表慢了10分钟,因此立即跑步前进,到学校恰好准时上课。
后来算了一下,如果孙亮从家一开始就跑步,可比原来步行早9分钟到学校。
求孙亮跑步的速度。
8
解手表慢了10分钟,就等于晚出发10分钟,如果按原速走下去,就要迟到(10,5)分钟,后段路程跑步恰准时到学校,说明后段路程跑比走少用了(10,5)分钟。
如果从家一开始就跑步,可比步行少9分钟,由此可知,行1千米,跑步比步行少用,9,(10,5),分钟。
所以步行1千米所用时间为1?
9,(10,5),,0.25(小时),15(分钟)跑步1千米所用时间为15,,9,(10,5),,11(分钟)
跑步速度为每小时1?
11,60,5.5(千米)
答:
孙亮跑步速度为每小时5.5千米。
9植树问题
【含义】按相等的距离植树,在距离、棵距、棵数这三个量之间,已知其中的两个量,要求第三个量,这类应用题叫做植树问题。
【数量关系】线形植树棵数,距离?
棵距,1
圆形植树棵树=圆形周长?
棵距
闭合环形植树棵数,距离?
棵距方形植树棵数,方形周长?
棵距
三角形棵树=三角形周长?
棵距
面积植树棵数,面积?
(棵距×行距)
【解题思路和方法】先弄清楚植树问题的类型,然后可以利用公式。
例1一条河堤136米,每隔2米栽一棵垂柳,头尾都栽,一共要栽多少棵垂柳,解136?
2,1,68,1,69(棵)
答:
一共要栽69棵垂柳。
例2一个圆形池塘周长为400米,在岸边每隔4米栽一棵白杨树,一共能栽多少棵白杨树,解400?
4,100(棵)
答:
一共能栽100棵白杨树。
例3一个正方形的运动场,每边长220米,每隔8米安装一个照明灯,一共可以安装多少个照明灯,解220×4?
8,106(个)
答:
一共可以安装106个照明灯。
例4给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖,所用地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米,问至少需要多少块地板砖,
解96?
(0.6×0.4),96?
0.24,400(块)
答:
至少需要400块地板砖。
9
例5一座大桥长500米,给桥两边的电杆上安装路灯,若每隔50米有一个电杆,每个电杆上安装2盏路灯,一共可以安装多少盏路灯,
解
(1)桥的一边有多少个电杆,500?
50,1,11(个)
(2)桥的两边有多少个电杆,11×2,22(个)
(3)大桥两边可安装多少盏路灯,22×2,44(盏)
答:
大桥两边一共可以安装44盏路灯。
10年龄问题
【含义】这类问题是根据题目的内容而得名,它的主要特点是两人的年龄差不变,但是,两人年龄之间的
倍数关系随着年龄的增长在发生变化。
【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系,尤其与差倍问题的解题思路是一致的,
要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。
【解题思路和方法】可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。
两个数的差?
(几倍,1),较小的数
例1爸爸今年35岁,亮亮今年5岁,今年爸爸的年龄是亮亮的几倍,明年呢,解35?
5,7(倍)
(35+1)?
(5+1),6(倍)
答:
今年爸爸的年龄是亮亮的7倍,
明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。
例2母亲今年37岁,女儿今年7岁,几年后母亲的年龄是女儿的4倍,解
(1)母亲比女儿的年龄大多少岁,37,7,30(岁)
(2)几年后母亲的年龄是女儿的4倍,30?
(4,1),7,3(年)列成综合算式(37,7)?
(4,1),7,3(年)
答:
3年后母亲的年龄是女儿的4倍。
例33年前父子的年龄和是49岁,今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍,父子今年各多少岁,解今年父子的年龄和应该比3年前增加(3×2)岁,
今年二人的年龄和为49,3×2,55(岁)
把今年儿子年龄作为1倍量,则今年父子年龄和相当于(4,1)倍,因此,今年儿子年龄为55?
(4,1)
11(岁)
今年父亲年龄为11×4,44(岁)
答:
今年父亲年龄是44岁,儿子年龄是11岁。
10
例4甲对乙说:
“当我的岁数曾经是你现在的岁数时,你才4岁”。
乙对甲说:
“当我的岁数将来是你现在的岁数时,你将61岁”。
求甲乙现在的岁数各是多少,(可用方程解)
解这里涉及到三个年份:
过去某一年、今年、将来某一年。
列表分析:
过去某一年今年将来某一年
甲?
岁?
岁61岁
乙4岁?
岁?
岁
表中两个“?
”表示同一个数,两个“?
”表示同一个数。
因为两个人的年龄差总相等:
?
4,?
?
61,?
,也就是4,?
,?
,61成等差数列,所以,61应该比4大3个年龄差,
(61,4)?
3,19(岁)因此二人年龄差为
甲今年的岁数为?
61,19,42(岁)
乙今年的岁数为?
42,19,23(岁)
答:
甲今年的岁数是42岁,乙今年的岁数是23岁。
11行船问题
【含义】行船问题也就是与航行有关的问题。
解答这类问题要弄清船速与水速,船速是船只本身航行的速度,也就是船只在静水中航行的速度;水速是水流的速度,船只顺水航行的速度是船速与水速之和;船只逆水航行的速度是船速与水速之差。
【数量关系】(顺水速度,逆水速度)?
2,船速
(顺水速度,逆水速度)?
2,水速
顺水速,船速+水速,逆水速,水速×2
逆水速,船速-水速,顺水速,水速×2
【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
例1一只船顺水行320千米需用8小时,水流速度为每小时15千米,这只船逆水行这段路程需用几小时,解由条件知,顺水速,船速,水速,320?
8,而水速为每小时15千米,
所以,船速为每小时320?
8,15,25(千米)
船的逆水速为25,15,10(千米)
船逆水行这段路程的时间为320?
10,32(小时)
答:
这只船逆水行这段路程需用32小时。
例2甲船逆水行360千米需18小时,返回原地需10小时;乙船逆水行同样一段距离需15小时,返回原地需多少时间,
解由题意得甲船速,水速,360?
10,36
11
甲船速,水速,360?
18,20
可见(36,20)相当于水速的2倍,
所以,水速为每小时(36,20)?
2,8(千米)
又因为,乙船速,水速,360?
15,
所以,乙船速为360?
15,8,32(千米)
乙船顺水速为32,8,40(千米)
所以,乙船顺水航行360千米需
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