数学毕业论文常见分布的性质及其应用.docx

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数学毕业论文常见分布的性质及其应用

数学毕业论文---常见分布的性质及其应用

第一章:

绪论-------------------------------------------------------------------3

1.1随机变量------------------------------------------------------------------------------3

1.2离散型随机变量及其分布---------------------------------------------------------3

1.3连续型随机变量及其分布---------------------------------------------------------4第二章:

常见离散型分布及其应用-----------------------------------------4

2.10-1分布及其应用--------------------------------------------------------------------4

2.2几何分布及其应用-------------------------------------------------------------------5

2.3二项分布及其应用-------------------------------------------------------------------6

2.4泊松分布及其应用-------------------------------------------------------------------7第三章:

常见连续型分布及其应用-----------------------------------------11

3.1均匀分布及其应用-----------------------------------------------------------------11

3.2指数分布及其应用-----------------------------------------------------------------12

3.3正态分布及其应用-----------------------------------------------------------------13参考文献------------------------------------------------------------------------23

常见分布的性质及其应用

张久恩，数学计算机学院

摘要:

在概率论领域里,我们研究的概率分布大体分为两种,离散型概率分布和连续性概率分布。

常见的离散型的概率分布有四种--两点分布或,0-1,分布,几何分布,二项分布以及泊松分布。

而常见的连续性概率分布有三种--均匀分布,指数分布,正态分布。

这七种常见的概率分布使我们学习概率论的最基本最常见的分布。

而这七种分布之间也有相互的联系。

两点分布即是一种特殊的二项分布,二项分布在n趋向时近似泊松分布,泊松分布和二项分布在n趋向时也服从正态分布。

这七种概率分布因其基础性与常见性,因而在实际生活中应用广泛,特别是工程,医药,财经等领域。

本文先是介绍了一些基本的概率知识,用集合的方法定义一些概率的概念。

然后介绍两大类概念分布--离散型概率分布和连续性概率分布。

紧接着着重学习研究了上面提到的七种概率分布,,0-1,分布,几何分布,二项分布,泊松分布,均匀分布,指数分布,正态分布及其应用。

而正态分布又是我们最为常见研究最多应用最为广泛的概率分布。

关键词:

离散型概率分布,连续性概率分布,（0-1,分布,几何分布,二项分布,泊松分布,均匀分布,指数分布,正态分布,

Thequalityandapplicationofcommonprobability

distribution

ZhangJiuEn，Mathematicsandappliedmathematics

Abstract:

Thedistributionswhichwestudyinthefieldsofpossibilityapparentlyclassifyastworates:

Thediscretedistributionandcontinuousdistribution.Whiletwo-pointsdistributionor（0-1）distribution,geometricdistribution,binominaldistributionandpoissondistributionarethecommonfourkindsofdiscretedistributions.Andtheuniformdistribution,exponentialdistributionandnormaldistributionarethecommonthreekindsofcontinuousdistributions.Theseseventypesofdistributionsarethemostbasicandcommondistributionwehavelearned.What’smore,thereissomerelationamongthesedistributions.Forinstance,two-pointsdistributionisaspecialtypeofbinomialdistribution;andbinomialdistributionsimilartopoissondistributionwhenntendsto;besides,poissonand

binomialdistributionsimilartothenormaldistributionwhenntendsto.These

sevenkindsofdistributionareappliedwidelyinthedailylife,especiallyinthefieldsofengineeringandmedicineandfinance,duetotheirfundamentalandcommonquality.

Weintroducesomebasicknowledgesofpossibilityfirstly,definesomeconceptsofpossibilitywiththemethodsofset.Andthenweintroducethetwotypesofpossibilitydistribution—discretedistributionandcontinuousdistribution.Lastly,wefocusonthestudyofthesevenkindsofdistributionsdiscussedabove.Andthenormaldistributionisthedistributionwestudyandappliedmostly,andalsothemostcommomone.

Keywords:

DiscreteDistribution,ContinuousDistribution;Two-points

Distribution;GeometricDistribution;BinomialDistribution;PoissonDistribution;UniformDistribution;ExponentialDistribution;NormalDistribution.

第一章绪论

1.1随机变量

在概率论领域里,我们应用集合的相关知识来定义随机变量。

首先对一

些随机试验,它们的结果可以用数来表示。

我们将随机试验E的所有可能

结果组成的集合称为E的样本空间,记为S,样本空间的元素,即E的每个结果,称为样本点。

定义1.1设随机试验的样本空间为S={e},X=X（e）是定义在样本空间S上的实值单值函数,且对任意实数x,集合{e,X（e）?

x}有确定的概率。

称X=X（e）为随机变量。

由此可知,随机变量不过是实验结果即样本点和是实验之间的一个对应关系。

这与数学分析中熟知的“函数”概念本质是一回事。

只不过在函数概念中,函数f（x）的自变量是实数x,而在随机变量的概念中,随机变量X（w）的自变量是样本点w.因为对每一个实验结果w,都有实数X,w,与之对应,所以X,w,的定义域是样本空间Ω,值域即实数轴。

1.2离散型随机变量及其分布

本节我们先介绍离散型随便变量及其分布。

定义1.2定义在样本空间Ω上,取值于实数域上R,且之取有限个或可列个值的变量X=X（w）,称作是一维,实值,离散型随机变量,简称为离散型随机变量。

设离散型随机变量X所有可能值为X（k=1,2,…）,X取各个可能值的概率,即k

事件{X=X}的概率,为P{X=X}=P,k=1,2,…（2.2）kkk

由概率的定义,P满足如下两个条件,k

1,P?

0,k=1,2,…k

（2）=1k

我们称,2.2,式为离散型随机变量X的分布律。

分布律也可以用表格的形

式来表示,

XXX…X…12n

PPP…P…k12n

常见的较重要的离散型随机变量有四种,,0-1,分布,几何分布,二项分布,泊松分布。

我们将在下章详尽介绍。

定义2.2设X是一个随机变量,X是任意实数,函数F,x,=P{X?

x},

-?

x,?

。

称为X的分布函数。

对任意实数xx（x

x}=F（x）-F（x）。

如果将X看成是数轴上的随机点的坐标,那么,分布1221

函数

F,x,在X处的函数值就表示X落在区间,-?

x】上的概率。

分布函数F（x）具有以下的基本性质,

1,F（x）是一个不减函数,事实上,易知对任意实数x,x（x

F（x）-F（x）=P{x

x}?

02112

（2）0?

F（x）?

1,且F（-?

）==0

F（?

）==1

1.3连续型随机变量及其分布

在上节中,已经对离散型随机变量作了一些介绍,下面接着介绍另一种随机变量—连续型随机变量。

定义3.1若X,w,是随机变量,F,x,是它的分布函数,如果存在函数P,x,,使对任意的x有F,x,=dy

则称X,w,为连续型随机变量,相应的F（x）为连续型分布函数,同时称P（x）

是F,x,的概率密度函数或简称密度。

由分布函数的性质即可验证任一连续型分布的密度函数P,x,必具有下述性质,,1,P,x,?

0;

（2）dx=1。

反过来,任意一个R上的函数P,x,,如果具有以上两个性质,即可定义一个分布函数F（x）。

常见的连续型随机变量有三种,均匀分布,指数分布,正态分布。

我们将在第三章着重研究。

第二章常见离散型分布及其应用

2.1（0-1）分布及其应用

设随机变量X只可能取0与1两个值,它的分布律是

k1-kP{X=k}=p*（1-p）,k=0,1（0

则称X服从以p为参数的,0-1,分布或两点分布,two-pointdistribution,。

0-1,分布的分布律也可以写成

X01

P1-ppk

对于一个随机试验,如果它的样本空间只包含两个元素,即S={e,e},我们总12能再S上定义一个服从,0-1,分布的随机变量

X=X（e）=

来描述这个随机试验的结果。

0-1,分布的数学期望即为p,其方差为p*（1-p）。

0-1,分布在生活中有广泛的应用。

在实际问题中,有时一个随机试验可能有多个结果。

例如,在产品质量检查中,若检查结果有四种,一级品,二级品,三级品和不合格品。

但是,如果把前三种统称为合格品,则实验结果就只有合格品和不合格品两种了。

于是,也可以用两点分布来描述随机试验。

又如,研究者记录了某城市每月交通事故发生的次数,则它可能取的值为0,1,2…,这是无穷多个结果,但是,如果我们现在关心的问题是每月发生交通事故的可能性,我们可以把观测的结果分成“发生交通事故”和“不发生交通事故”两种情况。

于是就可用,0-1,分布来研究每月发生交通事故的可能性。

所以对任何一个只有两种可能结果的随机试验E,其结果都可以用,0-1,分布来描述。

此外,更一般的应用如对新生婴儿的性别进行登记检查产品的质量是否合格,某车间的电力消耗是否超过负荷以及前面多次讨论过的“抛硬币”试验等都可以用,0-1,分布的随机变量来描述。

0-1,分布是经常遇到的一种分布。

2.2几何分布及其应用

几何分布,Geometricdistribution,是离散型概率分布。

其中一种定义为,在第n次伯努利试验,才得到第一次成功的机率。

详细的说,是,n次伯努利试验,前n-1次皆失败,第n次才成功的概率。

公式,

它分两种情况,

1.得到1次成功而进行,n次伯努利实验,n的概率分布,取值范围为『1,2,3,...』;

2.m=n-1次失败,第n次成功,m的概率分布,取值范围为『0,1,2,3,...』.

由两种不同情况而得出的期望和方差如下,

E（n）=1/p,var（n）=（1-p）/p^2;

E（m）=（1-p）/p,var（m）=（1-p）/p^2。

概率为p的事件A,以X记A首次发生所进行的试验次数,则X的分布列,

P（X=k）=p*（1-p）^（k-1）,k=1,2,3,……

具有这种分布列的随机变量,称为服从参数p的几何分布。

2几何分布的数学期望为1/p,其方差为,1-p,/p.

几何分布的应用也比较常见,在工程学,保险理财领域都有不少应用。

譬如,工程师在试图掌握在繁忙时刻电话交换器不能有效处理所有电话的情况。

非常清楚的,在拨通一个电话前所做的尝试次数代表着成本。

如果在拨通一个电话前要尝试多次的概率很高,这个电话交换系统应该被改进。

再有简单的例子,在一次投篮练习中。

无论投多少次篮,规定第一次投篮命中后练习结束。

则投篮次数就符合几何分布。

再例如,中国人口众多、文化素质与经济发展很不平衡,从七十年代开始逐步实施计划生育,稍后又为更有效控制人口数量,采取了一对夫妇只生一个孩子的生育政策。

而且,优生优育同时推广,这对控制人口数量、提高人口素质、促进经济发展,确实起到了效果。

但是,“一对夫妇只生一个孩子”的生育政策,并不是在全国范围的任何地

方都能不折不扣的实施,例如,在农村尤其是偏远地区和经济落后地区,人们“传宗接代”、“多子多福”、“早生儿子早享福”等观念意识还很强,一对夫妇一定要生个儿子才肯罢休的现象并不少见,再如,出于“人道”的考虑,假如一对夫妇生了一个病孩,则也同意他们再生一个,而如果第二个仍是病孩,还有可能同意生育第三胎,……,是否会一直到生一个健康孩子为止。

前者是指要生儿子,后者是指要生健康的孩子,如果我们特别考虑这样的一种生育模式,即一对夫妇生育孩子,一直到生育一个儿子（或健康的孩子）才停止生育（简称这种生育方式为“无限生育模式”）,从概率统计的角度看,显然生儿子和生健康孩子是一个问题的两个方面,但都是几何分布的问题。

2.3二项分布及其应用

在每次试验中只有两种可能的结果,A和A,而且是互相对立的,是独立的,与其它各次试验结果无关,结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变,则这一系列试验称为伯努力试验（BernoulliExperiment）。

二项分布,BinomialDistribution,,即重复n次的伯努利试验,

用ξ表示随机试验的结果。

如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p,N次独立重复试验中发生K次的概率是

P（ξ=K）=C（n,k）*p^k*（1-p）^（n-k）,其中C（n,k）=n!

/（k!

*（n-k）!

）

注意，:

第二个等号后面的括号里的是上标,表示的是方幂。

那么就说这个属于二项分布。

.

其中P称为成功概率。

记作ξ~B（n,p）

期望,Eξ=np

方差:

Dξ=npq

如果

1,在每次试验中只有两种可能的结果,而且是互相对立的,

2,每次实验是独立的,与其它各次试验结果无关;

3,结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变,则这一系列试验称为伯努力试验。

在这试验中,事件发生的次数为一随机事件,它服从二次分布.二项分布可以用于可靠性试验。

可靠性试验常常是投入n个相同的式样进行试验T小时,而只允许k个式样失败,应用二项分布可以得到通过试验的概率.

若某事件概率为p,现重复试验n次,该事件发生k次的概率为,P=C（k,n）×p^k×（1-p）^（n-k）,C（k,n）表示组合数,即从n个事物中拿出k个的方法数。

二项分布实验是一种很重要的数学模型,它有广泛的应用,是研究最多的模型之一。

例如在医学领域中,有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件,称为二项分类变量,dichotomousvariable,,如对病人治疗结果的有效与无效,某种化验结果的阳性与阴性,接触某传染源的感染与未感染等。

二项分布就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。

考虑只有两种可能结果的随机试验,当成功的概率,π,是恒定的,

且各次试验相互独立,这种试验在统计学上称为伯努利试验。

如果进行n次贝努里试验,取得成功次数为X,X=0,1,…,n,的概率可用下面的二项分布概率公式来描述,

P=C（X,n）*π^X*（1-π）^（n-X）

式中的n为独立的伯努利试验次数,π为成功的概率,,1-π,为失败的概率,X为在n次贝努里试验中出现成功的次数,表示在n次试验中出现X的各种组合情况,在此称为二项系数,binomialcoefficient,。

所以含义为,含量为n的样本中,恰好有例阳性数的概率。

类似的应用还有很多,二项分布即是n重伯努力试验,是从现实世界许多的随机现象中抽象出来的一种很基本的概率模型。

例如,在产品质量检验中,若检查的结果分为合格和不合格两种,因为每件产品是否合格是相互没有影响的,于是,检查n件产品就是n重伯努力试验即二项分布。

又如,人寿保险公司做人寿保险,一种最简单的情况是,只有受保护人当年死亡,保险公司才付给受保家庭一定的赔偿金。

这样,这个随机试验,即观察受保人在一年中是否死亡,只有两个结果,“受保人死亡”和“受保人未死亡”。

每个受保人是否死亡都是相互独立的,于是,n个人受保问题就是一个二项分布问题。

类似的例子还有很多。

另外,我们可以看出,我们上节研究的,0-1,分布就是一种特殊的二项分布。

即一次伯努利实验,X~B,1,p,。

二项分布图像的形状取决于n和p的大小,当p接近0.5时,图形是对称的,p离0.5愈远,对称性愈差,但随着n的增大,分布趋于对称。

当n?

?

时,只要p不太靠近0或1,特别是当nP和n（1,P）都大于5时,二项分布近似于我们将在下章学习的正态分布。

2.4泊松分布及其应用

二项分布是离散型机率模型中最有名的一个,其次是泊松分布,poissondistribution,,它可以看成为二项分布的一种极限情形。

假定某机关的总机在一个短时间?

t内会接到一次电话的机率p与?

t成正比,P=α*?

t,α为一常数。

又假定在此短时间内接到多于一次电话的机率微乎其微,可以略去不计。

那么在时间t内,会接到x次电话的机率分布为何,

我们可以把t分成n小段,每小段长为?

t=t/n。

整个问题可看成为,在每个?

t时间内,我们做了一次试验,其成功,接到电话,的机率为p。

如此做了n次,那么成功了x次的机率为何,所以我们要的机率分布正是二项分布

b（x;n,p）。

令λ=n=np,则

xn-xb（x;n,p）=n!

/x!

（n-x）!

*p（1-p）

xn-x=n（n-1）（n-2）…（n-x+1）/x!

*（λ/n）（1-λ/n）

x-n/λ-λ-x=（1-1/n）（1-2/n）…（1-（x-1）/n）/x!

*λ[（1-λ/n）]（1-λ/n）

当t保持不变,亦即λ不变,,而让n?

?

（4t?

0）则

（1-1/n）（1-2/n）…（1-（x-1）/n）?

1

-λ/n（1-λ/n）?

e

-x（1-λ/n）?

1

所以

-λxB（x;n,p）?

e*λ/x!

以P（x;λ）表之,此处的p代表Poisson,因为

-λx-λλ?

p（x;λ）=e*?

λ/x!

=ee=1

所以P（x;λ）的确是个机率分布,各种可能的机率之和等于1,。

这就是说,在时间t内,接到x次电话的机率为P（x;λ）。

这是以λ为参数的poisson分布,而λ（=аt）是在时间t内所期望接到的电话数。

-λxpoisson分布的公式为P{x;λ}=e*λ/x!

发现poisson分布的Bortkiewicz先生举了一个至今仍是脍炙人口的例子,说明数据契合Poisson分布的情形。

从1875到1894年的20年间,德国的十四个军团部有士兵被马踢伤因而致死的人数纪录。

这20×l4=280个,团年,纪录,按死亡人数来分,则如表一的左二栏所示。

x=每年死亡人

280p（x;0.7）团年数

数

0144139.0

19197.3

23234.1

3118.0

421.4

00.2

在280个纪录中,死亡的人数共有196,因此致死率为=196/280=0.7,人/团年,。

我们就以此为Poisson分布中的常数,t=1年,则。

理想中每团每年死亡人数x要遵行Poisson分布p（x;0.7）。

表一中右栏就是根据这样的Poisson分布,把280团年该有x人死亡的团年数列出。

它和表一的中间一栏的数据的确相当吻合。

Poisson分布既然是二项分布的极限情形,反过来Poisson分布也可以做为二

=0.04,n=49,则λ=1.96。

我们把b（x;49,0.04）与p（x;1.96）项分布的近似值。

譬如p

之值相对照就得表二

xb（x;49,0.04）p（x;1.96）

00.1350.141

10.2760.276

20.2760.270

30.1800.176

40.0860.086

50.0320.034

60.0100.011

70.0030.003

80.0010.001

我们发现对应的值相当接近。

一般,若用列表方式,则二项分布b（x;n,p）要兼顾三个变数x,n,p,而Poisson只要两个,x,λ,所以较为方便。

若直接计算,则因

49x49-xb（x;49,0.04）=C（0.