二元一次方程.docx
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二元一次方程
知识点一:
二元一次方程的有关概念
二元一次方程:
含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程.
二元一次方程的解集:
适合一个二元一次方程的每一对未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解.对于任何一个二元一次方程,令其中一个未知数取任意一个值,都能求出与它对应的另一个未知数的值.因此,任何一个二元一次方程都有无数多个解.由这些解组成的集合,叫做这个二元一次方程的解集.
二元一次方程组及其解:
两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组.一般地,能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解.
二元一次方程必须符合以下三个条件:
(1)方程中必须只含有2个未知数;
(2)含未知数项的最高次数为一次;(3)方程是整式方程;
1、已知方程:
①2x+4=3;②5xy-1=0;③2x+y=2;④3x-y+z=0;⑤2x-y=3;⑥x+3=5,
其中是二元一次方程的有___ _____________.(填序号即可)
2、指出下列方程那些是二元一次方程?
并说明理由。
(1)3x+y=z+1()
(2)x(y+1)=6()
(3)2x(3-x)=x2-3(x2+y)()
3、下列方程中,是二元一次方程的有()
mn+m=7
适合一个二元一次方程的每一对未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解.任何一个二元一次方程都有无数多个解.
4、写出一组二元一次方程x+2y=2的解( )
5、方程(a+2)x+(b-1)y=3是二元一次方程,试求a、b的取值范围.
6、求二元一次方程3x+2y=19的正整数解.
7、已知x=2,y=2是方程ax-2y=4的解,则a=________.
8、已知方程x-2y=8,用含x的式子表示y,则y=_________________,用含y的式子表示x,则x=________________
9、若x、y互为相反数,且x+3y=4,,3x-2y=_____________.
典型例题:
例1
(1)方程(a+2)x+(b-1)y=3是二元一次方程,试求a、b的取值范围.
(2)方程x∣a∣–1+(a-2)y=2是二元一次方程,试求a的值.
例2 若方程x2m–1+5y3n–2=7是二元一次方程.求m、n的值
例3 求二元一次方程3x+2y=19的正整数解.
10.下列结论,仅有一个是错误的,它是( )
A.二元一次方程3x+2y=5有无数多组解
B.两数的和是10,这两个数是不能确定的
C.1/x+y=0不是二元一次方程组
D.二元一次方程2x-3y=1,有无数组解,那么x、y可任意取值
据二元一次方程组的定义,共含有两个未知数,且未知数的次数为1的整式方程组成的方程组是二元一次方程组,直接解析判断即可.
下列方程组中,属于二元一次方程组的是( )
下列方程中,是二元一次方程组的是()
A、
B、
C、
D、
知识点二:
二元一次方程组的解法
代入消元法:
将其中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式
表现出来,并代入另一个方程中,从而消去一个未知数,化二元一次方程组为一元一次方程。
这种解方程组的方法称为代入消元法,简称代入法。
把下列方程写成用含x的式子表示y的形式:
(1)2x-y=3
(2)3x+y-1=0(3)5x-3y=x+y(4)-4x+y=-2
(1)
(2)
(3)
(4)
加减消元法:
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时,将两个方程的两边分别相加或相差,从而消去这个未知数,得到一个一元一次方程,这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法,简称加减法.
1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
4.已知
那么
5、若
,是方程组
的一组解,求m的值。
6、已知方程组
与
的解相同,求
.
7、若方程组
的解
与
相等,求
的值.
8、已知代数式x2+bx+c,当x=-3时,它的值为9,当x=2时,它的值为14,当x=-8时,求代数式的值。
知识点三:
二元一次方程组的应用
一、倍分问题
例1、甲乙二人,若乙给甲10元,则甲所有的钱为乙的3倍,若甲给乙10元,则甲所有的钱为乙的2倍多10元,求甲乙各拥有多少钱?
1、一块矩形草坪的长比宽的2倍多10米,它的周长是132米,则宽和长分别是多少?
2、一批书分给组学生,每人6本则少6本,每人5本则多5本,该组共有多少名学生,这批书共有多少本?
3、某班学生有x人,准备分成y个组开展活动,若每个组7人,则余3人;若每个组8人,则差5人.求全班的人数和所分组数。
4、三年级有学生246人,其中男生比女生人数的2倍少3人,求男、女生各有多少人?
二、年龄问题解这类问题的基本关系是抓住两个人年龄的增长数相等。
年龄问题的主要特点是:
时间发生变化,年龄在增长,但是年龄差始终不变。
年龄问题往往是“和差”、“差倍”等问题的综合应用。
解题时,我们一定要抓住年龄差不变这个解题关键。
例1、父子的年龄差30岁,五年后父亲的年龄正好是儿子的3倍,问今年父亲和儿子各是多少岁?
1.。
学生问老师:
“您今年多少岁了?
”老师风趣的说:
“我像你这样大的时候,你才出生,你到我这么大时,我已经37岁了”试求老师和学生的年龄各是多少?
2、甲乙两人在聊天,甲对乙说:
"当我的岁数是你现在岁数时,你才4岁。
”乙对甲说:
“当我的岁数是你现在的岁数时,你将61岁。
”你能算出他们两人各几岁吗?
3、现在父亲的年龄是儿子年龄的3倍,7年前父亲的年龄是儿子年龄的5倍,问父亲、儿子现在的年龄分别是多少岁?
三、数字问题
1、56十位上的数字5表示5个10,个位上的数字6表示6个1,
那么56可写成5X10+6。
2、
(1)一个三位数百位上的数字是a,十位上的数字是b,个位上的数字是c。
请你表示出这个三位数:
(2)已知:
一个三位数十位上的数字比百位上的数字大3,个位上的数字比十位上的数字大2。
请你表示出这个三位数:
例2:
一个三位数,现将最左边的数字移到最右边,则比原来的数小45;又已知百位数字的9倍比由十位和个位数字组成的两位数小3,求原来的三位数。
1、有一个两位数,个位上的数比十位上的数大5,如果把两个数字的位置对换,那么所得的新数与原数的和是143,求这个两位数.
2、.有一个两位数,其值等于十位数字与个位数字之和的4倍,其十位数字比个位数字小2,求这个两位数.
和差倍问题
(和差倍问题)学校的篮球比足球数的2倍少3个,篮球数与足球数的比为3:
2,求这两种球队各是多少个?
(和差倍问题)一次篮,排球比赛,共有48个队,520名运动员参加,其中篮球队每队10名,排球队每队12名,求篮,排球各有多少队参赛?
(和差倍问题)一次篮、排球比赛,共有48个队,520名运动员参加,其中篮球队每队10名,排球队每队12名,求篮、排球各有多少队参赛?
和差倍问题)有甲、乙两种金属,甲金属的16分之一和乙金属的33分之一重量相等,而乙金属的55分之一比甲金属的40分之一重7克,求两种金属各重多少克?
行程问题
(行程问题)一条船顺流航行,每小时行20千米;逆流航行每小时行16千米。
那么这条轮船在静水中每小时行千米?
行程问题)甲以5km/h的速度进行有氧体育锻炼,2h后,乙骑自行车从同地出发沿同一条路追赶甲。
根据他们两人的约定,乙最快不早于1h追上甲,最慢不晚于1h15min追上甲,则乙骑车的速度应当控制在什么范围?
(行程问题)从甲地到乙地的路有一段上坡、一段平路与一段3千米长的下坡,如果保持上坡每小时走3千米,平路每小时走4千米,下坡每小时走5千米,那么从甲到乙地需90分,从乙地到甲地需102分。
甲地到乙地全程是多少?
(行程问题)某班同学去18千米的北山郊游。
只有一辆汽车,需分两组,甲组先乘车、乙组步行。
车行至A处,甲组下车步行,汽车返回接乙组,最后两组同时到达北山站。
已知车速度是60千米/时,步行速度是4千米/时,求A点距北山的距离。
(行程问题)甲乙两人分别从甲、乙两地同时相向出发,在甲超过中点50米处甲、乙两人
第一次相遇,甲、乙到达乙、甲两地后立即反身往回走,结果甲、乙两人在距甲地100米处第二次相遇,求甲、乙两地的路程。
分配问题
(分配问题)一级学生去饭堂开会,如果每4人共坐一张长凳,则有28人没有位置坐,如果6人共坐一张长凳,求初一级学生人数及长凳数.
(分配调运)运往灾区的两批货物,第一批共480吨,用8节火车车厢和20辆汽车正好装完;第二批共运524吨,用10节火车车厢和6辆汽车正好装完,求每节火车车厢和每辆汽车平均各装多少吨?
(分配问题)若干学生住宿,若每间住4人则余20人,若每间住8人,则有一间不空也不满,问宿舍几间,学生多少人?
(分配问题)将若干练习本分给若干名同学,如果每人分4本,那么还余20本;如果每人分8本,那么最后一名同学分到的不足8本,求学生人数和练习本数。
知识点四:
解三元一次方程组
1.若2xm+n-1-3ym-n-3+5z=0是关于x,y、z的三元一次方程,则m=_____,n=_____.
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- 二元 一次方程
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