基于人口增长模型的数学建模DOC.docx
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基于人口增长模型的数学建模DOC
基于人口增长模型的数学建模(DOC)
数学建模论文
题目:
人口增长模型的确定
专业、姓名:
专业、姓名:
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人口增长模型
摘要
随着人口的增加,人们越来越认识到资源的有限性,人口与资源之间的矛盾日渐突出,人口问题已成为世界上最被关注的问题之一。
问题给出了1790—1980年间美国的人口数据,通过分析近两百年的美国人口统计数据表,得知每10年的人口数的变化。
预测美国未来的人口。
对于问题我们选择建立Logistic模型(模型2)现实中,影响人口的因素很多,人口也不能无限的增长下去,Logistic模型引进常数N表示自然资源和环境所能承受的最大人口数,因而得到了一个贝努利方程的初值问题公式,从实际效果来看,这个公式较好的符合实际情况的发展,随着时间的递增,人口不是无限增长的,而是趋近于一个数,这个即为最大承受数。
我们还同时对数据作了深入的探讨,作数据分析预测,通过观测比较选择一个比较好的拟合模型(模型3)进行预测。
预测接下来的每隔十年五次人口数量,分别为251.4949,273.5988,293.4904,310.9222325.8466。
关键词:
人口预测Logistic模型指数模型
1、问题重述
1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。
表1人口记录表
年份
1790
1800
1810
1820
1830
1840
1850
1860
1870
1880
人口(⨯106)
3.9
5.3
7.2
9.6
12.9
17.1
23.2
31.4
38.6
50.2
年份
1890
1900
1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
人口(⨯106)
62.9
76.0
92.0
106.5
123.2
131.7
150.7
179.3
204.0
226.5
试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型,并对接下来的每隔十年预测五次人口数量,并查阅实际数据进行比对分析。
如果数据不相符,再对以上模型进行改进,寻找更为合适的模型进行预测。
2、问题分析
人口预测是一个相当复杂的问题,影响人口增长除了人口数与可利用资源外,还与医药卫生条件的改善,人们生育观念的变化等因素有关…….可以采取几套不同的假设,做出不同的预测方案,进行比较。
人口预测可按预测期长短分为短期预测(5年以下)、中期预测(5~20年)和长期预测(20~50年)。
在参数的确定和结果讨论方面,必须对中短期和长期预测这两种情况分开讨论。
中短期预测中所用的各项参数以实际调查所得数据为基础,根据以往变动趋势可较准确加以估计,推算结果容易接近实际,现实意义较大。
3、问题假设
1.在模型中预期的时间内,人口不会因发生大的自然灾害、突发事故
或战争等而受到大的影响;
2.假设美国人口的增长遵循马尔萨斯人口指数增长的规则
3.假设人口增长不受环境最大承受量的限制
4、变量说明
:
数据的起始时间,即1790年
t:
时间
r:
人口增长率
x∞:
人口常数最大值
5、模型建立
模型一
图一
由图1可以发现美国人口的变化规律曲线近似为一条指数函数曲线,因此我们假设美国的人口满足函数关系x=f(t),f(t)=ea+bt,a,b为待定常数,根据最小二乘拟合的原理,a,b是函数的最小值点。
其中xi是ti时刻美国的人口数。
利用MATLAB软件中的曲线拟合程序“lsqcurvefit”。
模型二
上述模型对过去的统计数据吻合得较好,但也存在问题,即人口是呈指数规律无止境地增长,此时人口的自然增长率随人口的增长而增长,这不可能。
一般说来,当人口较少时增长得越来越快,即增长率在变大;人口增长到一定数量以后,增长就会慢下来,即增长率变小这是因为,自然资源、环境条件等因素不允许人口无限制地增长,它们对人口的增长起着阻滞作用,而且随着人口的增加,阻滞作用越来越大。
而且人口最终会饱和,趋于某一个常数x∞,我们假设人口的静增长率为r(1-x(t)/x∞),即人口的静增长率随着人口的增长而不断减小,当t→∞时,静增长率趋于零。
按照这个假设,得到
(1)
这便是荷兰数学家Verhulst于19世纪中叶提出的阻滞增长模型(logistic模型)。
利用分离变量法,人口的变化规律为:
(2)
利用MATLAB软件中的“lsqcurvefit”命令和函数
(2)来拟合所给的人口统计数据,从而确定出
(2)中的待定参数r和x∞。
模型三
从图5看出,在前一段吻合得比较好,但在最上面,若拟合曲线更接近原始数据,对将来人口的预测应该更好。
因此,把用函数
(2)来拟合所给人口统计数据的评价准则略加修改,看效果如何。
将拟合准则改为:
其中w为右端几个点的误差权重,在此处应该取为大于1的数,这样会使右边的拟合误差减小,相应的,其他点的误差会有所增加。
如何才能使这些误差的增减恰当呢?
可以通过调整w和n的具体取值,比较他们取各种不同值时的拟合效果,从而确定出一个合适的数值。
6、模型求解
模型一
图二
a=0.0154-25.1080
x1=279.0104
x2=325.6156
x3=380.0056
x4=443.4808
X5=517.5587
模型二
图三
a=285.89310.0286
x1=230.9149
x2=242.5078
x3=252.0148
x4=259.6639
x5=265.7242
模型三
图四
a=388.71780.0260
x1=251.4949
x2=273.5988
x3=293.4904
x4=310.9222
x5=325.8466
7、结果分析
从图二可以看出,模型一对过去的统计数据吻合得较好,但也存在问题,即人口是呈指数规律无止境地增长,此时人口的自然增长率随人口的增长而增长,这不可能。
一般说来,当人口较少时增长得越来越快,即增长率在变大;人口增长到一定数量以后,增长就会慢下来,即增长率变小这是因为,自然资源、环境条件等因素不允许人口无限制地增长,它们对人口的增长起着阻滞作用,而且随着人口的增加,阻滞作用越来越大。
而且人口最终会饱和,趋于某一个常数。
这时模型二比较符合。
从图三看,在前一段吻合得比较好,但在最上面,若拟合曲线更接近原始数据,对将来人口的预测应该更好。
因而用将模型二进行改进后的模型三拟合,此时后面的值更为拟合,预测结果更为准确。
所以,1990-2030年的人口预测数目为251.4949,273.5988
,293.4904,310.9222,325.8466(百万),经过与1990,2000,2010的实际查找数据(251.4,281.4,308.7)比较,误差较小,可以作为预测数据。
8、参考文献
【1】姜启源,谢金星,叶俊,数学模型(第三版),北京:
高等教育出2003
9、附录
一.
functionf=fun1(a,t)
f=exp(a
(1)*t+a
(2));
t=1790:
10:
1980;
x=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976...
92106.5123.2131.7150.7179.3204226.5];
plot(t,x,'-*');
a0=[0.001,1];
a=lsqcurvefit('fun1',a0,t,x)
ti=1790:
5:
2040;
xi=fun1(a,ti);
holdon
plot(ti,xi,’.’);
t1=1990;
x1=fun1(a,t1)
t2=2000;
x2=fun1(a,t2)
t3=2010;
x3=fun1(a,t3)
t4=2020;
x4=fun1(a,t4)
t5=2030;
x5=fun1(a,t5)
holdoff
二.
x=1790:
10:
1980;
y=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976...
92106.5123.2131.7150.7179.3204226.5];
plot(x,y,'-*');
a0=[0.001,1];
a=lsqcurvefit('fun3',a0,x,y)
xi=1790:
5:
2040;
yi=fun3(a,xi);
holdon
plot(xi,yi);
t1=1990;
x1=fun3(a,t1)
t2=2000;
x2=fun3(a,t2)
t3=2010;
x3=fun3(a,t3)
t4=2020;
x4=fun3(a,t4)
t5=2030;
x5=fun3(a,t5)
holdoff
三.
functionf=fun4(a)
n=16;w=30;
x=1790:
10:
1980;
x1=x(1:
n);
x2=x(n+1:
20);
y=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976...
92106.5123.2131.7150.7179.3204226.5];
y1=y(1:
n);
y2=y(n+1:
20);
f=[fun3(a,x1)-y1,w*fun3(a,x2)-w*y2];
t=1790:
10:
1980;
x=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976...
92106.5123.2131.7150.7179.3204226.5];
plot(t,x,'-*');
a0=[300,0.03];
a=lsqnonlin('fun4',a0)
ti=1790:
5:
2040;
xi=fun3(a,ti);
holdon;
plot(ti,xi,t,x,'*');
t1=1990;
x1=fun3(a,t1)
t2=2000;
x2=fun3(a,t2)
t3=2010;
x3=fun3(a,t3)
t4=2020;
x4=fun3(a,t4)
t5=2030;
x5=fun3(a,t5)
holdoff
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