常微分方程的基本概念.docx
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常微分方程的基本概念
考点:
常微分方程的基本概念【☆☆☆☆☆】
1•微分方程:
含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程.
若未知函数是一元函数,则称为常微分方程;
若未知函数是多元函数,则称为偏微分方程.
考題链接:
例:
y*=x,y*+x+3y=2,xdy+yclx=0
2•阶:
未知函数的最高阶导数的阶数.
考题链接:
例:
微分方程+)(-心=0的阶数是()
A.lB.2C.3D.4
3.性微分方程:
Z)(x)-y+/1(x)-/+/2(x)-/+...+/„(x)-yw=/(x)
考题链接:
例:
判断下列函数是否为线性方程.
(1)x+
(2)y=a2+y+sinx
(3)yr-A-l-siny=0
(4)yn-yy*=x2
(5)(y)2=3x+y
4.解:
若y=(p(x)代入方程成为恒等式,则称y=(p(x)为方程的一个解.
(1)通解:
含有相互独立(不能合并,),=6>+。
2工与y=+)的任意常数,
且任意常数的个数与方程的阶数相同的微分方程的解.
(2)特解:
不含任意常数的解.
例1:
某二阶常微分方程的下列解中为通解的是()
B.
A.y=Csinx
y=C{sinx+C,cosx
例2:
函数y=Csinx(其中C为任意常数)是微分方程<+y=0的()
A.通解B.特解C.解D.不是解
例3:
已知微分方程y,+ay=ex的一个特解为y=xex,Pl1,a=.
考点:
可分离变量的微分方程【☆☆☆☆☆】
<1)标准形式:
/(y)dy=g(x)dx
(2)解法:
①分离变量,化为标准形式;②两边同时积分.
例1:
微分方程-+^=0的通解是()
yx
A.x2+y2=25B.3x+4y=C
C.x2+y2=CD.y2-x2=7
例2:
方程sec2xtanydx+sec2ytanxdy=0的通解为・
例3:
微分方程dy-2xy2dx=Q满足条件y(l)=-l的特解是()
A・y=rB.y=——
C・y-x2D・y=-x2
考点:
齐次方程【☆☆☆☆☆】
(1)标准形式:
y=f[^
考题链接:
例:
=x4-y2不是
xy=A-2+/是
(2)解法:
①化为标准形式;
2令“=上,代入方程消去〃
X
3化为X与"的可分离变量的微分方程,求解.
例:
求xyf-xsin丄-y=0的通解.
x・
考点:
一阶线性微分方程【☆☆☆☆☆】
(1)标准形式:
yf+P(x)y=Q(x)
(2)解法:
①化为标准形式;
②套公式尸e卯(胆(沪%+C)
注:
在此公式中,解不定积分时,不加绝对值,也不加任意常数C.
例:
解方程xyf-y=x3・
考点:
二阶常系数非齐次线性微分方程y^py^qy=.f(x)【☆☆☆☆☆】
1.解的结构定理
y"+"(x)y'+g⑴y=o(齐次)①
y"+P(X)/+q(a)>•=/(x)(非齐次)②
若y(x)是①的通解,/(X)是②的特解,则r(x)+/(x)为②的通解.
2•写出特解形式
‘0兄不是特征根
1若y(x)=£,(x)/“,特解形式应设为〉「=兀乜(人片,其中打1几是单根
2兄是重根
例1.用待定系数法求方程y"-4F+4y=(2x+l)0的特解时,特解应设为.
例2.微分方程y"+y-2y=x严的特解用特定系数法可设为()
A.才=x(ax^b)e~x
B.才=x2(ax^b)e^1
C.y・=(Q+b)k
D・y*=axe^
例3.微分方程y"+y'=xe~x的特解形式应设为〉「=()
A.+厂B.ax+b
C・(Q+b)严D・F(or+b)严
例4.对于微分方程_y*-2y=x2利用待定系数法求特解y•时,下列特解设法正确的是()
A.才=ax2+bx+cB.y*=x2((vc2+hx+c)
C・y*=x(ax+/?
)D・/=x(av2+Zzx+c)
2若f(^)=(Ccosa)x4-Dsina)x)eXx,特解形式应设为y*=xk(Acosty.¥+Bsincox)e^x,其
=A±coi不是特征根
[1A±coi是特征根
考题链接:
例1:
微分方程y*+y=sinx+cosx特解形式应设为_/=
例2:
微分方程y*+3y'+2y=e~xcosx特解形式应设为y'=(
A.CexcosxB.e'(C]cosx+C,sina)
C.xex(C]cosx+C2sina)D.x'e'(C,cosx+C2sina)
3•求通解
1求出与其对应的齐次方程>■*+py*+qy=0的通解Y;
2利用待定系数法求出非齐次的一个特解)「;③写出非齐次的通解y=Y+y.
—(X)型
解法:
作”次不定积分
考题链接:
例:
微分方程>•*=24x通解为•
2./=/(x,y)型
解法:
令y=P,两边对x求导,>,“=//,然后代入原方程,转化为一阶微分方程求解.
例:
微分方程+y=的通解为.
3-/=/(y>V)型
解法:
令/=/;,两边对X求导,卄业=也虫=p也,然后代入原方程,转化dx(lydxdy
为一阶微分方程求解.
例:
求微分方程y/-(/)2=0的通解.
考点:
二阶常系数齐次线性微分方程【☆☆☆☆☆】
1•解的结构定理:
若x(x),),2(x)都是方程y"+p(x)y'+"(x)y=0的解,则线性组合C]^+C2y2(C{,C2为任意常数)仍为它的解•若y,(A>儿(勿线性无关(儿工辎("0)),则c』+c*2为它的通解.
2•求通解:
1写出相应的特征方程厂+/"•+g=0
2求出特征根<1
3写出通解.
通解形式:
不同实根“牛,y=+G严
重根斤=乙=八y=cxerx+C2xen
共麵复根rl2=a±pi,y=eax(C,cosfix+C2sinfix)
B・G+q严
例1:
微分方程/+2/+y=0的通解为()
C.C{e^+C2e^例2:
微分方程/-4y=0的通解为()
A.y=C{e2x+C严B.y=(C,+C2x)e2t
C.y=G+C2e2xD.y=C}cos2a+C2sin2x
例3:
求微分方程2空+4空+3y=0的通解.
dx^(lx
3•已知通解,反求微分方程
1找出特征根;
2写出特征方程;
3写出微分方程.
考題链接:
例1:
通解为>'=C,^+C2^(为任意常数)的二阶线性常系数齐次微分方程为
1•空间直角坐标系
三个坐标轴:
X轴(横轴),尹轴(纵轴),Z轴(竖轴),它们的正向满足右手法则
三个坐标平面
八个卦限
2.空间內点的坐标(x,>•,z)
(1)坐标轴上的点:
x轴(x,0,0),y轴(0,y,0),z轴(0,0,z)
(2)坐标平面上的点:
X0;平面(兀,y,0),yOz-面(0,y,z),xOz平面(x,
0,z)
3•两点间的距离
MJ®_v,,zj,A/:
(x2,儿,
阿函』=-x+(儿一)J+(E-zJ
考点:
向量的概念【☆☆☆☆☆】
(1)向量的定义:
既有大小又有方向的量.
(2)向量的表示方法
1坐标表不:
“=("<‘“、.,«.)
已知人(召,y(,zj,B(x2,y2,z2),则人〃=(吃一召,y2-yez2-zxY
2向量表不:
a=axi+ayj+a;k
其中分别为沿坐标轴x,y,z正向的单位向量,即7=(1,0,0),J=(O,l,0),jl=(0,0,1)
(3)向量的横:
“=
考题链接:
例:
向量a=3i+4j-k的模0=.
(4)单位向量:
模长为1的向量.
(5)单位化:
4
(6)方向角与方向余弦
1方向角:
非零向量"与三条坐标轴的夹角8卩、丫称为向量2的方向角.
a,0,/e[Ot刃
2方向余弦:
coscr=*,cos0=丄,cosy=二,cos2a+cos20+cos2y=1
ciaa
例1:
已知两点A(2,2,>/2)和B(l,3,0)计算向量AP的模、方向余弦和左向角.
例2:
下列各组角中,可以作为向量的一组方向角的是()
a7t7TnrvTCJT7t厂<717C龙TC
2jl.—♦—9—JO•—9~~9~~•—f~-JLx•—f—f—
446432434433
考点:
向量的线性运算【☆☆☆☆☆】
(1)“±b={ya±b9a土〃.}
(2)Au=(入心加、,入I)9久“与"平行.
定理:
厶//"Ob=2"O*=—=奴
乞竹6
考题链接:
例:
已知向量厶={5,兀-2}和/;={”6,4}平行,则X和y的值分别为・
考点:
向量的数量积(点积、内积)
(1)定义:
ab=abcosa,h=abcos6
两向量的夹角余弦:
(2)计算:
ab=axbx+。
、九+a.b..
例]:
已知向量fl={1,1,2}和厶={2,-1.1}的夹角为.
例2:
已知向量2={01丄2}和/;={2,0,1}的夹角为.
(3)性质:
®aa=a2®ab=ba
(4)充要条件:
ab=0<=>ci丄〃
考点:
向量的向量积(叉积、外积)
(1)定义:
c=axb
1大小:
"xb=“方sin0
几何意义:
以N厶为邻边的平行四边形的面积.
2方向:
2丄6,2丄方,且ci,h,c满足右手法则.
(2)计算:
iJk
ayaz
»Shz
例1:
设a={2丄一1}/={1,一1,2},贝•]axh=・
例2:
若方={0丄1}力={101}1={1,1・0},则(Nx5)・2=.
例3:
由方={1.0,-1}/={0丄2}为邻边构成的平行四边形的面积为
例4:
已知点A(4.-L2),3(12-2),C(2,0,1),求AABC的面积.
(3)性质:
1核;=0
2axb=-bxa
考题链接:
例:
对任意两向量亦;,下列等式不恒成立的是()
i**f—B・ub=ba
D.[ab)2+(axb)=ab2
axb=6<=>a//b
考点:
2在厶上的投影【☆☆☆☆☆】
例:
向量2={1,-1,2}在/;={0.3,4}上的投影为
1•球面
球心在点(和y。
,Zo),半径为人的球面方程为
(X—兀『+(y-y0)2+(z-Zo)2=R2
球面的一般方程:
Ax2+Ay2+Az2+D.x+Ey+Fz+G=0
球面方程特点:
①三元二次方程,②缺交叉项③平方项系数相同.
2•柱面
柱面:
直线(母线)沿着定曲线(准线)平行移动所产生的曲面.
柱面方程特点:
二元方程.
考题链接:
例1:
方程2a-2-y2=1表示的二次曲面是()
A.球面B.族转抛物面
C.柱面D.圆锥面
例2:
下列方程在空间直角坐标系中所表示图形为柱面的是()
2》J,
A.£+£=v2B.z-i=£-2L
73•44
222
C.—=1-—D.x2+/-2a=0
4169
3.旋转曲面
(1)坐标面内的曲线绕某坐标轴旋转,得到的旋转曲面的方程为:
该坐标轴对应的变量不变,而另一变量改成该变量与第三个变量平方和的正负平方根.
1平面上的曲线卩W習°,
z=0
绕x轴旅转得到的曲面方程为:
/(x,±77^)=o
绕丁轴族转得到的曲面方程为:
/(±>/777,y)=0
2yOz平面上的曲线
绕y轴旅转得到的曲面方程为:
/(^±77+?
)=0
绕z轴旋转得到的曲面方程为:
/(±后不z)=o
3兀6平面上的曲线卩("Z)=°,
y=o
绕x轴族转得到的曲面方程为:
/卜,±何7)=0绕z轴旋转得到的曲面方程为:
/(士启孑,十0
22
例1:
双曲线T_T=1绕z轴旋转所成的曲面方程为(
y=0
例2:
曲线厶f=2x绕x轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为
[z=0
(2)特点:
至少有2个变量的二次项系数相等.
考题链接:
例:
下列方程在空间直角坐标系中表示的图形为旋转曲面的是(
A.—+—=1B.z=x2-r
32
C.y2=x-z2D.z2-x'=2y2
4•常见的二次曲面
(1)椭球面:
匚+#+M=l
cCb"
■
(2)单叶双曲面:
4+4-4=i
crl
双叶双曲面:
c+4-4=i
alyL
(3)锥面:
4+4-4=°
/h2C2
(4)椭圆抛物面:
—+_=z(p,g同号)
2p2q
双曲拋物面:
—=z(p,g同号)
2p2q
考点:
空间平面方程【☆☆☆☆☆】
1.平面的点法式方程:
A(a:
-a0)+-y0)+C(z-z0)=0
考题链接:
例:
求过点(2,-3,0)且以方=(1,-2,3)为法向量的平面方程.
2.平面的一般式方程:
Ax+By+Cz+D=O
特殊的平面方程:
1£>=0,斤过原点(0,0,0);
2C=O,兀//z轴;
3C=D=O,兀,兀过z轴;
4B=C=0,rrllyOz.平面.
例:
求通过x轴和点(4,-3,-1)的平面的方程.
3•平面的截距式方程兰+上+三=1(“,b,c平面在x,“z轴上的截距)
abc
4.平面方程的求法
方法一:
点法式法
1确定平面上一点(兀,儿,5)
2求出平面的一法向量"=(A,B,C)
3代入点法式方程,化简为一般式.
方法二:
待定系数法
1设出所求方程;
2将已知点的坐标代入方程,解方程(组);
3回代,化简得方程.
例1:
一平面过点(1,0,-4)且平行于向量«={2,1,-1}和/;={1.-1,2},求此平面的方程.
例2:
过6轴及点(3,-2,4)的平面方程为()
A.3x+2y=0B.2y+z=0
心Aix+Bly+Clz+Dl=0=(A,Cj
心A>x+B2y+C2z+D2=0n2=(A2,C2)
(2)/\A2+B\B、+C}C2=0oq丄n2O街丄/r?
.
—•
—
n2
,九0冷
③cos&=cosnen2
考题链接:
例1:
平面3x+2y-z+5=0与x-2y-z-4=0的位置关系是()
例2:
平面x+y+z=l与x+y-z=2的位置关系是()
A.重合B•平行C•垂直D・相交但不垂直
例3:
已知平面坷:
x+2y-5z+7=0与平面tt2Ax+3y+mz+13=0垂直,贝Um
■
考点:
点到平面的距离【☆☆☆☆☆】
1.点(和儿,君到平面加Ar+By+Cz+D=0的距离为心出
>Ja2+b2+c2
考题链接:
例:
点(3,2,-1)到平面x+y+z-l=0的距离是.
2两平行平面间的距离
7T}:
Ax+By+Cz+D}=0
tt2zAx+By+Cz+D2=0
Ja2+b2+c2
考点:
空间直线方程【☆☆☆☆☆】
1•直线的一般方程
B{y+C{z+D{=0
A^x++C\z+D,=0
2.直线的点向式方程二=上二丸=二
ninp
考题链接:
例:
过点(4,-1,3)且平行于直线口=上=口的直线方程为.
3.直线的参数方程
x=x0+mty=y0+^Z=Zo+M
考題链接:
例:
过两点M,(3.-2.1)和M2(-1,0,2)的直线方程为.
5.直线的方程的求法
1确定直线上一点(心儿,%)
2求出直线的一方向向量S=(/?
?
H,/));
3代入点向式方程.
例1:
求过点刃(1,2,1)且与直线/:
P-V_4-V?
=^平行的直线方程.
3x-y-2z=9
例2:
求过点刃(2,-3,-1)且与直线/:
(2-v+3rz=5平行的直线方程.
x+2z=l
考点:
两直线的位置关系【☆☆☆☆☆】
例X直线卩宁晋和严存号的关系是
x=1
例2:
直线卜出和千=号=孚的关系是()
A.平行但不重合E.重合C.垂直但不相交D•垂直相交
考点:
直线与平面的位置关系【☆☆☆☆☆】
儿匸玉二匕二二?
=伽,介卩)mnp
mAx+By+Cz+D=0n=(A»B,C)
®
ABC-*.rtf
—=—=—On11sOL11Jt
mnp
②Am4-Bn+C/7=0<=>?
?
丄sO厶///r
将直线上已知点的坐标(心y0,©)代入平面方程中,若恒成立,则直线在平面上,否则,平行.
3sin0=cosF,/j]=jj^:
O.y
例1:
直线Z:
-~~='-二=~~与平面2x-3y+z-4=0的位置关系是()
2-31
A.厶在兀上B.Z与兀垂直相交
C.厶与兀平行D.Z与兀相交,但不垂直
例2:
直线~=-—!
•=-~-平面x+2y-z+3=0的位置关系是()
3-11
A.互相垂直B.互相平行但直线不在平面上
C.直线在平面上D.斜交
例3:
直线-~-=丄=-—耳平面x-_y-z+1=0的位置关系是()
1—12
A.垂直B.相交但不垂直
C.直线在平面上D.平行
例4:
若直线厶:
二1=出=三与平面加x-2y+z-l=0平行,则加=・
加2—1
考点:
空间曲线及其在坐标面上的投影
1.判断空间曲线的一般方程萨E门*2°所表示的曲线类型
[F2(x,y,z)=0
方法:
解方程组后再判断.
考題链接:
例1:
方程P2;-v2=8z在空间直角坐标下的图形为•
z=8
例2:
方程U+T=1在空间直角坐标下的图形为.
x=-2
2.空间曲线在坐标面上的投影
(1)空间曲线关于坐标面的投影柱面方程(二元方程);
1母线平行于哪个坐标轴,就把它对应的变量消去.
2求关于哪个坐标面的投影柱面,就把另外的变量消去.
(2)空间曲线在坐标面上的投影(曲线)方程(方程组):
由上述二元方程和坐标面方程联立的方程组.
例1:
母线平行于X轴且以曲线[2£+>:
+彳=16为准线的投影柱面方程为、A-_+厂=0
■
例2:
曲线2="+2广关于x0y平面的投影曲线方程为.
z=2_兀・
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