人教版九年级数学中考专题复习 四边形 解答题.docx
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人教版九年级数学中考专题复习四边形解答题
2022年人教版九年级数学中考专题复习四边形解答题
解答题
如图,将ABCD的边AB延长到点E,使BE=AB,连接DE,交边BC于点F.
(1)求证:
△BEF≌△CDF.
(2)连接BD,CE,若∠BFD=2∠A,求证四边形BECD是矩形.
【答案】
(1)证明见解析;
(2)证明见解析.
【解析】试题分析:
(1)根据平行四边形的判定与性质得到四边形BECD为平行四边形,然后由SSS推出两三角形全等即可;
(2)要证明四边形BECD是矩形,只需推知BC=ED.
试题解析:
(1)在平行四边形ABCD中,AD=BC,AB=CD,AB∥CD,则BE∥CD,又∵AB=BE,∴BE=DC,∴四边形BECD为平行四边形,∴BD=EC,在△ABD与△BEC中,∵AB=BE,BD=EC,AD=BC,∴△ABD≌△BEC(SSS);
(2)由
(1)知,四边形BECD为平行四边形,则OD=OE,OC=OB.∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠A=∠BCD,即∠A=∠OCD,又∵∠BOD=2∠A,∠BOD=∠OCD+∠ODC,∴∠OCD=∠ODC,∴OC=OD,∴OC+OB=OD+OE,即BC=ED,∴平行四边形BECD为矩形.
解答题
如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M,与BD相交于点N,连接BM,DN.
(1)求证:
四边形BMDN是菱形;
(2)若AB=4,AD=8,求MD的长
【答案】
(1)证明见解析;
(2)5.
【解析】证明:
(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC
∴∠BNO=∠DMO,∠NBO=∠MDO.
∵MN是BD的中垂线,∴OB=OD,BD⊥MN.
∴△BNO≌△DMO(AAS)∴ON=OM.
∴四边形BMDN的对角线互相平分.
∴四边形BMDN是平行四边形.
∵BD⊥MN
∴平行四边形BMDN是菱形
(2)∵四边形BMDN是菱形,∴MB=MD.
设MD长为xcm,则MB=DM=xcm,AM=8-x.
∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90
在Rt△AMB中,,即,解得:
x=5
菱形的面积=20
解答题
如图,在▱ABCD中,连结BD,在BD的延长线上取一点E,在DB的延长线上取一点F,使BF=DE,连结AF,CE.
求证:
AF∥CE.
【答案】见解析
【解析】试题分析:
由平行四边形的性质得出AD∥BC,AD=BC,证出∠ADF=∠CBE,DF=BE,由SAS证明△ADF≌△CBE,得出对应角相等,再由平行线的判定即可得出结论.
试题解析:
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=CB,
∴∠ADF=∠CBE,
∵BF=DE,
∴BF+BD=DE+BD,即DF=BE,
在△ADF和△CBE中,AD=CB,∠ADF=∠CBE,DF=BE.
∴△ADF≌△CBE(SAS),
∴∠AFD=∠CEB,
∴AF∥CE.
解答题
(本小题满分8分)如图,点E、F为线段BD的两个三等分点,四边形AECF是菱形.
(1)试判断四边形ABCD的形状,并加以证明;
(2)若菱形AECF的周长为20,BD为24,试求四边形ABCD的面积.
【答案】
(1)四边形ABCD为菱形,证明过程见解析;
(2)S四边形ABCD=72.
【解析】
试题分析:
(1)连接AC,根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD,AO=OC,EO=OF,再求出BO=OD,然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形证明;
(2)根据菱形的四条边都相等求出边长AE,根据菱形的对角线互相平分求出OE,然后利用勾股定理列式求出AO,再求出AC,最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解.
试题解析:
解:
(1)四边形ABCD为菱形.
理由如下:
如图,连接AC交BD于点O,
∵四边形AECF是菱形,
∴AC⊥BD,AO=OC,EO=OF.
又∵点E、F为线段BD的两个三等分点,
∴BE=FD,
∴BO=OD.
∵AO=OC,
∴四边形ABCD为平行四边形.
∵AC⊥BD,
∴四边形ABCD为菱形;
(2)∵四边形AECF为菱形,且周长为20,∴AE=5.
∵BD=24,∴EF=8,OE=EF=×8=4.
由勾股定理得,AO===3,
∴AC=2AO=2×3=6.
∴S四边形ABCD=BD•AC=×24×6=72.
解答题
如图,四边形ABCD中AB∥CD,对角线AC,BD相交于O,点E,F分别为BD上两点,且BE=DF,∠AEF=∠CFB.
(1)求证:
四边形ABCD是平行四边形;
(2)若AC=2OE,试判断四边形AECF的形状,并说明理由.
【答案】
(1)
(2)见解析
【解析】试题分析:
(1)已知AB∥CD,根据两直线平行,内错角相等可得∠ABD=∠CDB,由∠AEF=∠CFB,根据平角的定义可得∠AEB=∠CFD,利用ASA证得△ABE≌△CDF,根据全等三角形的性质可得AB=CD,由AB∥CD,根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得四边形ABCD是平行四边形;
(2)平行四边形AECF是矩形,根据平行四边形的性质可得OB=OD,OA=OC=AC,由BE=DF证得OE=OF,根据对角线互相平分的四边形为平行四边形可判定四边形AECF是平行四边形,再证得AC=EF,根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定平行四边形AECF是矩形.
试题解析:
(1)证明:
∵AB∥CD,
∴∠ABD=∠CDB,
又∵∠AEF=∠CFB,
∴∠AEB=∠CFD,
又∵BE=DF,
∴△ABE≌△CDF(ASA),
∴AB=CD,
又∵AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形;
(2)平行四边形AECF是矩形,理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD,OA=OC=AC,
∵BE=DF,
∴OB﹣BE=DO﹣DF,
∴OE=OF,
又∵OA=OC,
∴四边形AECF是平行四边形,
又∵AC=2OE,EF=2OE,
∴AC=EF,
∴平行四边形AECF是矩形.
解答题
如图,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG.
(1)求证:
AE=CG;
(2)观察图形,猜想AE与CG之间的位置关系,并证明你的猜想.
【答案】
(1)见解析;
(2)AE⊥CG
【解析】
试题分析:
可以把结论涉及的线段放到△ADE和△CDG中,考虑证明全等的条件,又有两个正方形,∴AD=CD,DE=DG,它们的夹角都是∠ADG加上直角,故夹角相等,可以证明全等;再利用互余关系可以证明AE⊥CG.
(1)如图,
∵AD=CD,DE=DG,∠ADC=∠GDE=90°,
又∵∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE,
∴△ADE≌△CDG(SAS).
∴AE=CG.
(2)如图,设AE与CG交点为M,AD与CG交点为N.
∵△ADE≌△CDG,
∴∠DAE=∠DCG.
又∵∠ANM=∠CND,
∴△AMN∽△CDN.
∴∠AMN=∠ADC=90°.
∴AE⊥CG.
解答题
如图所示,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,点E是AD边的中点,点M是AB边上一动点(不与点A重合),延长ME交射线CD于点N,连接MD,AN.
(1)求证:
四边形AMDN是平行四边形;
(2)①当AM为何值时,四边形AMDN是矩形?
②当AM为何值时,四边形AMDN是菱形?
【答案】
(1)见解析;
(2)①当AM=1时,四边形AMDN是矩形,②当AM=2时,四边形AMDN是菱形.
【解析】试题分析:
(1)利用菱形的性质可得ND∥AM,根据平行线的性质可得∠NDE=∠MAE,∠DNE=∠AME,利用AAS证明△NDE≌△MAE,根据全等三角形的性质可得ND=MA,由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可的四边形AMDN是平行四边形;
(2)①有
(1)可知四边形AMDN是平行四边形,利用有一个角为直角的平行四边形为矩形即∠DMA=90°,所以AM=AD=1时即可;②当平行四边形AMND的邻边AM=DM时,四边形为菱形,利用已知条件再证明△AMD是等边三角形即可.
试题解析:
(1)证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴ND∥AM,
∴∠NDE=∠MAE,∠DNE=∠AME.
又∵点E是AD边的中点,
∴DE=AE,
∴△NDE≌△MAE,
∴ND=MA,
∴四边形AMDN是平行四边形.
(2)①当AM=1时,四边形AMDN是矩形.
理由如下:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD=2.
当AM=1=AD时,可得∠ADM=30°.
∵∠DAM=60°,
∴∠AMD=90°,
∴平行四边形AMDN是矩形.
②当AM=2时,四边形AMDN是菱形.
理由如下:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD=2.
∵AM=2,
∴AM=AD=2,
又∠DAM=60°,
∴△AMD是等边三角形,
∴AM=DM,
∴平行四边形AMDN是菱形.
解答题
如图,点O是△ABC内一点,连结OB、OC,并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结,得到四边形DEFG.
(1)求证:
四边形DEFG是平行四边形;
(2)若M为EF的中点,OM=3,∠OBC和∠OCB互余,求DG的长度.
【答案】
(1)证明见解析;
(2)6.
【解析】试题分析:
(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF=BC,DG∥BC且DG=BC,从而得到DE=EF,DG∥EF,再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可;
(2)先判断出∠BOC=90°,再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,求出EF即可.
试题解析:
(1)∵D、G分别是AB、AC的中点,∴DG∥BC,DG=BC,∵E、F分别是OB、OC的中点,∴EF∥BC,EF=BC,∴DE=EF,DG∥EF,∴四边形DEFG是平行四边形;
(2)∵∠OBC和∠OCB互余,∴∠OBC+∠OCB=90°,∴∠BOC=90°,∵M为EF的中点,OM=3,∴EF=2OM=6.
由
(1)有四边形DEFG是平行四边形,∴DG=EF=6.
解答题
如图,已知O为坐标原点,四边形OABC为长方形,A(10,0),C(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动.
(1)当△ODP是等腰三角形时,请直接写出点P的坐标;
(2)求△ODP周长的最小值.(要有适当的图形和说明过程)
【答案】P的坐标为:
(2.5,4)或(3,4)或(2,4)或(8,4);
(2)△ODP周长=5+
【解析】试题分析:
(1)当P1O=OD=5或P2O=P2D或P3D=OD=5或P4D=OD=5时,分别作P2E⊥OA于E,DF⊥BC于F,P4G⊥OA于G,利用勾股定理P1C,OE,P3F,DG的值,就可以求出P的坐标;
(2)作点D关于BC的对称点D′,连接OD′交BC于P,则这时的△POD的周长最小,即△POD的周长=OD′+OD,根据勾股定理得到OD′的长,即可求得△POD的周长.
试题解析:
(1))当P1O=OD=5时,由勾股定理可以求得P1C=3,
当P2O=P2D时,作P2E⊥OA,∴OE=ED=2.5;
当P3D=OD=5时,作DF⊥BC,由勾股定理,得P3F=3,∴P3C=2;
当P4D=OD=5时,作P4G⊥OA,由勾股定理,得DG=3,∴OG=8.
∴P1(2,4),P2(2.5,4),P3(3,4),P4(8,4);
(2)作点D关于BC的对称点D′,连接OD′交BC于P,
则这时的△P
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