沪科版八年级数学下勾股定理同步练习含答案.docx
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沪科版八年级数学下勾股定理同步练习含答案
勾股定理
一.选择题
1.已知Rt△ABC中,∠C=90°.若a+b=14cm,c=12cm,则Rt△ABC的面积是( )
A.13cm2B.26cm2C.48cm2D.52cm2
2.如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形,若小正方形边长为1,大正方形边长为5,则一个直角三角形的周长是( )
A.6B.7C.12D.15
3.如图,四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH,即赵爽弦图.连接AC,分别交EF、GH于点M,N,连接FN.已知AH=3DH,且S正方形ABCD=21,则图中阴影部分的面积之和为( )
A.
B.
C.
D.
4.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab=6,大正方形的面积为16,则小正方形的面积为( )
A.8B.6C.4D.3
5.有一个面积为1的正方形,经过一次“生长”后,在他的左右肩上生出两个小正方形,其中,三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过一次“生长”后,变成了如图,如果继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”,请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是( )
A.1B.2021C.2020D.2019
6.如图,△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形,在△BCD中,∠BCD=90°,∠D=60°,E为BD的中点,AB的延长线与CE的延长线交于点F,则∠F的大小为( )
A.15°B.30°C.45°D.25°
二.填空题
7.汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中,四个直角三角形都是全等的,它们的两直角边之比均为2:
3,则中间围成的小正方形的面积与整个图形(大正方形)的面积之比为 .
8.将一副直角三角板如图放置,使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合,则∠1+∠2的度数为 .
9.已知,在△ABC中,∠ACB=90°,点O为△ABC的三条角平分线的交点,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,点D、E、F是垂足,且AB=17,BC=15,则OF、OE、OD的长度分别是 .
10.把一块等腰直角三角板和直尺如图放置,如果∠1=32°,则∠2的大小为 °.
三.解答题
11.三角板是我们学习数学的好帮手.将一副直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上,点B在ED上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,若AC=2,求CD的长.
12.在综合与实践课上,老师让同学们以“两条平行线AB,CD和一块含60°角的直角三角尺EFG(∠EFG=90°,∠EGF=60°)”为主题开展数学活动.
(1)如图
(1),若三角尺的60°角的顶点G放在CD上,若∠2=2∠1,求∠1的度数;
(2)如图
(2),小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上,请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系.
13.如图,在四边形ABFC中,∠ABC=90°,CD⊥AD,AD2=2AB2﹣CD2.求证:
AB=BC.
14.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,∠CBE=45°,BE分别交AC,AD于点E、F.
(1)如图1,若AB=13,BC=10,求AF的长度;
(2)如图2,若AF=BC,求证:
BF2+EF2=AE2.
15.如图所示,已知△ABC中,∠B=90°,AB=16cm,AC=20cm,P、Q是△ABC的边上的两个动点,其中点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为每秒1cm,点Q从点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为每秒2cm,它们同时出发,设出发的时间为ts.
(1)则BC= cm;
(2)当t为何值时,点P在边AC的垂直平分线上?
此时CQ= ;
(3)当点Q在边CA上运动时,直接写出使△BCQ成为等腰三角形的运动时间.
参考答案
一.选择题
1.A.
2.C.
3.B.
4.C.
5.B.
6.A.
二.填空题
7.1:
13.
8.210°.
9.3.
10.3.
三.解答题
11.CD=3﹣
.
12.解:
(1)如图
(1),∵AB∥CD,
∴∠1=∠EGD,
又∵∠2=2∠1,
∴∠2=2∠EGD,
又∵∠FGE=60°,
∴∠EGD=
(180°﹣60°)=40°,
∴∠1=40°;
(2)如图
(2),∵AB∥CD,
∴∠AEG+∠CGE=180°,
即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC=180°,
又∵∠FEG+∠EGF=90°,
∴∠AEF+∠FGC=90°.
13.证明:
∵在△ABC中,∠ABC=90°,
∴AB2+BC2=AC2.
∵在△ACD中,CD⊥AD,
∴AD2+CD2=AC2,
∴AB2+BC2=AD2+CD2,
又AD2=2AB2﹣CD2,
∴AB2+BC2=2AB2﹣CD2+CD2,
即AB2=BC2,
∴AB=BC.
14.
(1)解:
如图1,∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD,
∵BC=10,
∴BD=5,
Rt△ABD中,∵AB=13,
∴AD=
=
=12,
Rt△BDF中,∵∠CBE=45°,
∴△BDF是等腰直角三角形,
∴DF=BD=5,
∴AF=AD﹣DF=12﹣5=7;
(2)证明:
如图2,在BF上取一点H,使BH=EF,连接CH,
在△CHB和△AEF中,
∵
,
∴△CHB≌△AEF(SAS),
∴AE=CH,∠AEF=∠BHC,
∴∠CEF=∠CHE,
∴CE=CH,
∵BD=CD,FD⊥BC,
∴CF=BF,
∴∠CFD=∠BFD=45°,
∴∠CFB=90°,
∴EF=FH,
Rt△CFH中,由勾股定理得:
CF2+FH2=CH2,
∴BF2+EF2=AE2.
15.解:
(1)∵∠B=90°,AB=16cm,AC=20cm
∴BC=
=
=12(cm).
故答案为:
12;
(2)∵点P在边AC的垂直平分线上,
∴PC=PA=t,PB=16﹣t,
在Rt△BPC中,BC2+BP2=CP2,即122+(16﹣t)2=t2
解得:
t=
.
此时,点Q在边AC上,CQ=
(cm);
故答案为:
13cm.
(3)①当CQ=BQ时,如图1所示,
则∠C=∠CBQ,
∵∠ABC=90°,
∴∠CBQ+∠ABQ=90°.
∠A+∠C=90°,
∴∠A=∠ABQ,
∴BQ=AQ,
∴CQ=AQ=10,
∴BC+CQ=22,
∴t=22÷2=11秒.
②当CQ=BC时,如图2所示,
则BC+CQ=24,
∴t=24÷2=12秒.
③当BC=BQ时,如图3所示,
过B点作BE⊥AC于点E,
∴
,
∴
=
.
∴CQ=2CE=14.4,
∴BC+CQ=26.4,
∴t=26.4÷2=13.2秒.
综上所述:
当t为11秒或12秒或13.2秒时,△BCQ为等腰三角形.
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- 沪科版 八年 级数 勾股定理 同步 练习 答案