LDPC码及其译码实现.docx

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LDPC码及其译码实现

LDPC码及其译码实现

一、 LDPC码简介

LDPC码最早在 20 世纪 60 年代由Gallager在他的博士论文中提

出，但限于当时的技术条件，缺乏可行的译码算法，此后的 35 年间

基本上被人们忽略，其间由Tanner在 1981 年推广了LDPC码并给出了

LDPC码的图表示，即后来所称的Tanner图。

1995 年前后MacKay和Neal

等人对LDPC码重新进行了研究，提出了可行的译码算法，从而进一步

发现了LDPC码所具有的良好性能，迅速引起强烈反响和极大关注。

LDPC码（低密度奇偶校验码）本质上是一种线形分组码，它通过

一个生成矩阵G将信息序列映射成发送序列，也就是码字序列。

对于

生成矩阵G，完全等效地存在一个奇偶校验矩阵H，所有的码字序列C

构成了H的零空间（null space），即HCT=0。

LDPC码的奇偶校验矩

阵H是一个稀疏矩阵，相对于行与列的长度，校验矩阵每行、列中非

零元素的数目（我们习惯称作行重、列重）非常小，这也是LDPC码之所

以称为低密度码的原因。

由于校验矩阵H的稀疏性以及构造时所使用

的不同规则，使得不同LDPC码的编码二分图（Taner图）具有不同的闭

合环路分布。

而二分图中闭合环路是影响LDPC码性能的重要因素，它

使得LDPC码在类似可信度传播（Belief ProPagation）算法的一类迭

代译码算法下，表现出完全不同的译码性能。

当H 的行重和列重保持不变或尽可能的保持均匀时，我们称这样

的LDPC码为正则LDPC码，反之如果列、行重变化差异较大时，称为

非正则的LDPC码。

根据校验矩阵H中的元素是属于GF

（2）还是

GF（q）（q=2p），我们还可以将LDPC码分为二元域或多元域的LDPC码。

二、LDPC译码算法

2.1、Gallager概率译码算法

Gallager当初为了介绍LDPC码，同时还提出了一种迭代的概率译

码算法，Gallager概率译码算法，后来在此基础上又发展出了置信度

传播译码算法（BPA，也称SPA或者MPA）。

假设一个二进制序列是一个LDPC码字，那么这n个比特就要满足

由该码字的校验矩阵所确定的一系列的校验方程。

并且，包含某一比

特 C 的校验方程可能不止一个，这些校验方程中的其他比特又可能包

i

含在其他更多的校验方程中。

为了直观的表示这种关系，Gallager引

入了校验集合树的概念。

图 2.1 所示为某一比特的校验集合树。

（1,1）（1,2）（1,3）（2,1）（2,2）（2,3）（3,1）（3,2）（3,3）

d

图 2.1校验集合树

根节点表示比特d，和d相连的每一条边表示包含d的一个校验方

程，在图 2.1 中，d包含在 3 个校验方程中；第一层中的每一线段上

的节点表示这一校验方程中除d以外的其他比特，因此包含d的 3 个校

验方程分别是：

C

C

C

d

d

d

+ C

+ C

+ C

1,1

2,1

3,1

+ C

+ C

+ C

1,2

2,2

3,2

+ C

+ C

+ C

1,3

2,3

3,3

= 0

= 0

= 0

校验方程中的加法是模 2 加。

C 即为比特d的数值，C 即为比特

d1,1

（1,1）的数值。

与第一层各节点相连接的每条边同样表示包含该比特的一个校

验方程，第二层中的每一线段上的节点同样表示该校验方程中除第一

层比特以外的其他比特。

以比特（2,2）为例，和比特（2,2）相连接

的边有 3 条，其中一条与本层节点（2,1），（2,3），及根节点d相连，

另外两条与第二层中节点u,v,w和x,y,z相连。

因此包含比特（2,2）的 3

个校验方程分别为：

C

2,2

+ C

2,1

+ C

2,3

+ C

d

= 0

C

C

2,2

2,2

+ C

+ C

u

x

+ C

+ C

v

y

+ C

+ C

w

z

= 0

= 0

第三层（图中未画出）及以后的各层依此类推，每个比特都有相

应的以该比特为根节点的校验集合树。

假设信道是无记忆信道， y

i

仅与 c

i

及信道噪声有关，考虑根

节点 d 和第一层节点组成的集合，这些比特组成了包含比特 d 的

j 个校验方程，每个校验方程由 k 个比特组成（包含比特 d ），显

然发送的这些比特满足这 j 个校验方程。

因此假设当发送的码字是

c = （ c, c , L, c

01

n - 1

） 时，那么在以上情况下接收到的符号即

为 y = （ y, y , L, y

01

n - 1

） 。

这样在传送码字 c 时，码字中的各比特满足包含比特 d 的 j

个校验方程。

当接收到相应的符号序列 y时，比特 d 为 1 的条件

概率可以表示为 P （ c

d

= 1 | y , c ） 。

同理，比特d 为 0 的条件

概率表示为 P （ c

d

= 0 | y , c ） 。

又令当不考虑发送比特间的相

关性时， d 为 1 的概率表示为 P （ c

有关。

d

= 1 | y ） ，它与信道模型

令 P

d

= P （ c

d

= 1 | y ） ， P

il

表示 d 的校验集合树第一

层中包含 d 的第 i 个校验方程的第 l 个比特为 1 的概率，那么有：

P [ c

P [ c

d

d

= 0 | y , c ]   1 - P il

= l = 1

= 1 | y , c ] k - 1

d

k - 1

il

（2.1  ）

P

il

根据式 2.1，只要知道了图 2.1 的第一层中各比特为 1 的概率

，就可以算出比特 d 的条件概率。

在其他根节点的校验树里比

特 d 又作为一个节点参与到根节点的概率计算中去，即比特 d 从

与其有关的节点中获取信息计算出概率，再将其计算出的概率信息传

出用于计算其他的节点 c，由于在计算其他节点 c时同样会用到

ii

计算比特 d 时所用过的运算，所以可以通过共享计算的中间结果而

使计算量大为降低，进而发展出了BPA（也称SPA或MPA）。

2.2BP算法（也称SP或MP算法）

校验集合树虽然比较直观，但对于每一个节点都有不同的校验集

合树，因此在描述并行计算整个码字各比特的后验概率时，使用校验

集合树并不方便，因此介绍一种新的图形表示法，Tanner图。

对应于

图 2.1 的Tanner图如图 2.2 所示。

该图仅画出部分变量节点和校验节

点。

Tanner图中变量节点对应于校验集合树中的节点，校验节点对应

于校验集合树中的边。

（1,1）（1,2）（1,3）（2,1）（2,2）（2,3）（3,1）（3,2）（3,3）d

S

1              S

2             S

3             S

4

图 2.2对应于图 2.1 校验集合树的部分Tanner图

由Tanner图可看出，信息是在变量节点和校验节点之间来回传递

的，变量节点d将自身的固有信息再加上与它有关的 S ， S ， S 校验

123

节点传给它的额外信息一起传递给校验节点 S 。

同理，校验节点 c 也

4j

是将自身的固有信息再加上与它有关的除某一变量节点v 以外的其

i

余变量节点所传给 c 的额外信息一起传递给变量节点 v ，如此信息便

ji

在变量节点和校验节点之间来回传递，不断更新变量节点和校验节点

的值，所有变量节点和校验节点更新完一次称之为一次迭代结束，直

到变量节点译码成功或者达到最大的迭代次数译码输出。

因此，完整的BPA（也称SPA或MPA）表述如下：

1） 初始化：

 q1 = p1 = f 1 ， q0 = 1 - q1 ，其中 f 1 表示的是信道的先验

mlllmlmll

概率。

2） 校验节点更新：

 δ q≡ q 0 - q1 ， δ r ≡ r 0 - r1 ，则有

mlmlmlmlmlml

δ r ≡ （-1）z

ml

m

∏ δ q

ml'

（2.2）

l'∈L（m）/ l

r 0 = （1+ δ r ） / 2

mlml

r1 = （1+ δ r ） / 2

mlml

3） 变量节点更新：

（2.3）

（2.4）

q0 ≡ αp0

mlmll

q1 ≡ αp1

mlmll

∏

m'∈M （l ）/ m

∏

r 0

m'l

r1

m'l

（2.5）

（2.6）

m'∈M （l ）/ m

其中 α 是一个使得 q 0 + q1 = 1的值

mlmlml

4） 似后验概率更新

q0 ≡ α p0

lll

∏

r 0

ml

（2.7）

q1 ≡ α p1

lll

m∈M （l ）

∏ r1

ml

（2.8）

m∈M （l ）

同样 α 是一个使得 q 0 + q1 = 1 的值

lll

∧∧（

5） 比特判决：

如果 q0 > 0.5 ，判决 x = 0 ；否则判 x = 1 ， i = 1,2,L , N ）

iii

x

若 H Tx = 0 ，或者迭代次数达到最大迭代次数，则结束迭代，将∧

作为译码输出；否则返回到步骤 2）继续迭代。

2.3Log-BP算法

由 2.2 介绍的BP算法可以看出BP算法比较复杂，且该算法需要很

多连乘运算，需要大量的运算时间和消耗大量的硬件资源，不便于硬

件实现，因此，又发展出了一种更加简便的对数域的BP算法，简称

Log-BP算法。

考虑一个二值随机变量 x ，它的对数似然比 L（ x） 定义为

L（ x） = ln P（ x = 0）

P（ x = 1）

根据对数似然比的定义，令

f 0

v0 = lnl

l

l

v= ln

ml

q0

ml

q1

ml

q1

q0

v = lnl

l

l

u= ln rml

ml

ml

再对以上的BP算法在对数域内进行一系列的化简，最终可获得

Log-BP算法的完整表述：

1） 初始化：

v= v0

mll

2） 校验节点更新：

（2.9）

ml

3） 变量节点更新：

l'∈L（m）/ l'

ml'

（2.10）

v= v0 +

mll

∑    u

m'l

（2.11）

m'∈M （l ）/ m

4） 似后验概率更新：

v = v0 +

ll

∑  u

ml

（2.12）

若 H Tx = 0 ，或者迭代次数达到最大迭代次数，则结束迭代，将x

m∈M （l ）

∧∧

5） 比特判决：

如果v > 0 ，则判 x = 0 ；否则判 x = 1 ，（ l = 1,2,L , N ）

lll

∧

作为译码输出；否则返回到步骤 2）继续迭代。

2.4Min_Su