湖南省怀化市学年高二下学期期末考试数学试题含答案.docx
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湖南省怀化市学年高二下学期期末考试数学试题含答案
怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷
2020年上期期末考试髙二数学
一、单项选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的.
4.已知各项均为正数的等比数列{①}的前4项和为15,且%=3q+4"2,则①=()
A.16B.8C.4D.2
5.已知函数的图象如图所示,则该图象对应的函数解析式可能是()
D.y=(x2-2X^eX
A.y=2λ-X2-1By=2λsinX
Cy=—
SInX
6•下列有关命题的说法正确的是()
A.若命题/7:
3x0∈R,ex"<1,则命题r”∀xwR,Hnl
B.“sinx=匣”的一个必要不充分条件是U=巴”
23
c.若∣5+^∣=IaI-I,则alb
D.α∙0是两个平而,加,n是两条直线,如果加丄加丄n//β,那么α丄0
34
7.设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为二和一,且各次射击相互独立,若按甲、乙.甲、乙…的次
45
序轮流射击,直到有一人击中目标就停止射击,则停止射击时甲射击了两次的概率是()
A.—B.——C-D.——
202580400
8.已知/(x)是/?
上的偶函数,/(x+λ∙)=∕(x),当OSX≤?
时,f(x)=sinx,则函数y=f(x)-Ig国2
的零点个数是()
A.12BlOC.6D.5
二、多项选择题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分•在每小题给岀的四个选项中,有多项是符合题目要求的,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9•已知抛物线x2=-y的焦点为F,M(Xl,y1),N(X2iy2)是抛物线上两点,则下列结论正确的是()
2
1A
A.点F的坐标为-,0
8丿
B.若直线MN过点F,则X1X7=-丄
-16
C若MF=λNF,则IMVl的最小值为*
35
D.若∖MF∖+∖NF∖=则线段MN的中点P到X轴的距离为二
28
10•已知A,B,C三点均在球。
的表而上,AB=BC=CA=2,且球心O到平面ABC的距离等于球半径的则下列结论正确的是()
3
3
A.球O的半径为-B.球O的表面积为6π
2
C.
球O的内接正方体的棱长为√6D.球O的外切正方体的棱长为√6
结论,英中正确结论为()
CfM的图象在点(1,0)处的切线方程为y=X
1Yr1
D.若关于%的不等式一≤-有正整数解,则2≥9
IX丿27
三、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若(2-3x)6=α0+aix+a2x2+…+a6x6,则al+a2+a3+∙∙∙+a6等于.
14.已知SH是等遼数列{©}的前"项和,若纠=一2,2≡-⅛L=2,则池=
"lnf1202020182019
22
15.已知双曲线二一刍=1(d>0,/?
>0)的离心率为2,过右焦点F且垂直于X轴的直线与双曲线交于
a~b~
A,B两点,设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为山和〃2,且心+心=6,则双曲线的方程
为
16.在而积为1的平行四边形ABCDZDAB=-,则丽•说=:
点P是直线AD上的动点,
6
则~PB2+PC2-PBPC的最小值为.
四、解答题:
共70分,解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本题满分10分)
已知等比数列{aιl}满足a2=2,且勺,吗+1,為成等差数列.
(1)求数列{d”}的通项公式;
(2)设bn=an-2n+∖t求数列{$}的前"项和7;.
18.(本题满分12分)
已知∕∖ABC中,内角A,B,C的对边分别为",b,C,αcosC+ecos4=bsinB,b=2c,
(1)求角C的大小;
(2)若点D与点3在4C两侧,且满足AD=2,AB=I,求平面四边形ABCD而积的最大值.
19.(本题满分12分)
如图,在三棱柱ABC-AiBICi中,AA丄底而ABC,AABC是边长为2的三角形,AAI=3,D,E分
(1)求证:
Cz)丄平而AΛ,B1B:
(2)求二面角B-AE-BI的余弦值.
20.(本题满分12分)
近年来,我国大学生毕业人数基数大而且增长不断加快,大学毕业生的就业压力非常大,大学生就业已经成为社会关注的热点问题•在某大型公司的赞助下,某大学就业部从该大学2019届已就业的A,B两个专业的大学本科毕业生中随机抽取了200人进行月薪情况的问卷调查,经统计发现他们的月薪收入在3000元到9000元之间,具体统讣数拯如下表:
月薪/百元
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
人数
20
36
44
50
40
10
将月薪不低于7000元的毕业生视为“髙薪收入群体S月薪低于7000元的毕业生视为“非高薪收入群体S
并将频率视为概率,已知该校2019届大学本科毕业生小明参与了本次调查问卷,其月嶄为3500元.
(1)请根据上述表格中的统讣数据填写下而的2x2列联表,并通过计算判断,能否在犯错误的概率不超过
0.025的前提下认为“髙嶄收入群体”与所学专业有关.
非高崭收入群体
髙薪收入群体
合计
A专业
8专业
20
110
合计
(2)经统讣发现该大学2019届的大学本科毕业生月嶄X(单位:
百元)近似地服从正态分布N("J90),其中“近似为样本平均数无(每组数拯取区间的中点值作代表).若X落在区间("-2b,"+2b)外的左侧,
则可认为该本科毕业生属于“就业不理想”的学生,学校将联系本人,咨询月嶄过低的原因,为以后的毕业生就业提供更好的指导.
1试判断小明是否属于“就业不理想”的学生;
2该大型公司为这次参与调査的大学本科中业生制左了赠送话费的活动,赠送方式为:
月薪低于“的获赠两次随机话费:
月嶄不低于“的获赠一次随机话费.每次赠送的话费Z及对应的概率如下:
赠送话费Z/
元
60
120
180
概率
1
2
1
3
1
6
求小明获得的话费总金额的数学期望.
附:
P{κ≥k^
0.025
0.010
0.005
5.024
6.635
7.879
Kl=□3-bcf
(a+b)(a+C)(C+d)(b+〃)
其中n=a+b+c+d
21.
√190≈14.
(本题满分12分)已知函数/(x)=lnx--.
(1)当0=1时,求/(X)的最大值.
(2)若/(x)在区间(2上)上存在零点,求实数e的取值范围.
22.
(本题满分12分)
(1)求直线y=d+l被椭圆C截得的线段长(用“、R表示);
(2)若任意以点A(OJ)为圆心的圆与椭圆C至多有3个公共点,求椭圆C离心率£的取值范囤.
2020年怀化市髙二期末测试(7月21B)数学答案
一、单项选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
C
C
D
A
D
B
3解:
∙∣=£Iog20192019Va=Iog2019√2020=+Iog20192020<∣Iog20192019’=1,01.
对于y=2v-x2-l,当x=-2时,y=2-2-(-2)2-l<0,故排除A.
4解:
设等比数列{©}的公比为q(q>O),
≤!
ξ≤1=IS(a=1
则{—[∑7-解得<1,所以^=Λ1√=l×22=4.i½选C.
S彳B=2,
a}q=3alq+4qq,
5解:
y=2Λ∙sinx为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除B;
函数y=If7的左义域为{xIOVXvI,或r>1},故排除C:
6解:
对于A,命题L3λ0∈R,£心<1,则命题-v八∀xwR,ex≥∖,A正确:
对于B,当“尹心=£成立,所以"彳”是的充分条件,B错误:
对于C,当满足N丄/;时ci+h=∖d∖-∖b不成立C错误:
对于D,若加丄n,mla,n∣∣0,则α,0的位置关系无法确定,故错误.
7解:
设A表示甲命中目标,〃表示乙命中目标,则4、B相互独立,
停止射击时甲射击了两次包括两种情况:
①第一次射击甲乙都未命中,甲第二次射击时命中,此时的概率λ>=P(A-B-A)=fl--Wl-i]×-=-
(4丿I5丿480
②第一次射击甲乙都未命中,甲第二次射击•未命中,而乙在第二次射击时命中,
3110
故停止射击时甲射击了两次的概率P話“祐怙=而:
故选D∙
8解:
得函数/(X)的周期为龙,作出函数y=f{x)与y=lg国的图象,由图象可知,当x>0时,两函数
图象有5个交点.又函数y=f(x)与y=IglXl均为偶函数,所以函数y=∕(x)-lglxl的零点个数是10.
二、多项选择题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的五个选项中,有多项是符合题目要求的,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
题号
9
10
11
12
答案
BCD
BD
ABC
AD
9解:
易知点F的坐标为∣0,ij.选项A错误;根据抛物线的性质知,MN过焦点F时,A1X2=-p2=-右,
选项B正确:
若MF=ANF,则MN过点F,则IMNl的最小值即抛物线通经的长,为2”,即选项
1(1\1
C正确,抛物线√=-y的焦点为0,-,准线方程为y=-->过点M,N,P分别做准线的垂直线
2kOJ8
MM,>NN',PP',垂足分别为M',M,P,所以IMM'∣=∣MFl,∣NN'∣=∣NF
所以IMM[+∖NN,∖=IMFI+∖NF∖=-,所以线段∖PP'∖=田NNl=2
22
2χΛ
10解:
设球。
的半径为IZkABC的外接圆圆心为O,半径为R易得/?
==—.因为球心0到平面ABC的距离等于球0半径的丄,所以r2-ir2=-,得r2=-.^以球0的表而积S=4πr2=4π×-=6π,选
39322
4
项B正确:
球0的内接正方体的棱长"满足√¾∕=2r,显然选项C不正确;球0的外切正方体的棱长b满足b=2r,显然选项D正确.
A.函数的周期为兀,可知A正确
12解:
f(x)=—,则广(X)=上竺,易知/(χ)在(0,e)上单调递增,在(e,*o)上单调递减,A正确:
Xf
又/
(2)=竽=学,/(3)=罟=孚,所以/
(2)<∕(3),B错误,对于C,/'
(1)=1,/(0)=0,
2O3O
故切线方程y=x-l,C不正确:
若一
IiT有正整数解,则xτ≥27,所以-InX≥31n3,因为x>0,
27X
所以λ>0.所以—≥-,所以/(3)=—>—,即2≥9,故选AD.Xλ3λ
三、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.-6314.201615.--^=116.√3(2分)√3(3分)
13解:
∙.∙(2-3x)"=。
0+。
$+6十+…+耳”,令x=0,可得q=64,
再令X=I,可得64+q+4+冬+•••+“6=1,.∙.eq÷CII+ci-it+∙∙∙+Cl^=—63>
14解:
VSa是等差数列{/}的前”项和,・•・]巳Lj是等差数列,设其公差为d.
CQQ
T巳込一巳匹=2,∙∙.2d=2,^=IV6/.=-2,∕Λ=-2.
202020181
λ^=-2+(∕z-1)×1=π-3.λ-5≡^=2016.
n2019
15解:
由双曲线的对称性,不妨取渐近线y=-ix.如图所示,∖AD∖=d^∖BC∖=d2,过点F作EF丄CD于点E.
由题易知EF为梯形ABCD的中位线,所以IEFl=_(%+〃2)=3・
2
所以b=3,b2=9因为e=-=29c2=Cr+b2,所以Cr=3
所以双曲线的方程FF-
16解:
由平行四边形的而积为1可得ABAD=2,根据向屋数量积的左义即可得出ABBC的值:
由于
PB'+PC2-PBIjC=BC2+ljBPC,取BC的中点0,连接PQ,贝IJ^PBΛ-~PC=IPQ,Pδ∙PC=l[(Pδ+PQ2-(PB-PQ2],再利用基本不等式的性质即可得出结果•
【详解】
∙.∙平行四边形ABCD的面积为1,即AB∙ADSinADAB=1,
.∖AB∙AD=2f
取BC的中点0,连接P0,
≥=^3∖bc[∖pq∖≥√⅛边形昨=也
^=T≡∙
17解:
(1)设等比数列{©}的公比为g(不为0〉,
因为①,@+1,"4成等差数列,所以2(6+1)=©+厲,
因为a2=2f所以2(2g+l)=2+2gS
所以al=^=l,所以数列{①}的通项公式为①=2心
(2)设cn=an-2π+l=2n'l-2n+l
18解:
(1)因为acosC+ccosA=bsinβ,
所以SinB=I,所以B=-4分
2
因为b=2c,所以SinB=2sinC,得SinC=1,所以C=-
26
(2)∙.∙AD=LC=-,B=-:
.AC=2,BC=√3,
62
设ZDAC=a.则四边形ABCD的面积
1I
S=S“Be+SUDC=一X1X£+—×2×2×sinα=—+2SintZ≤2+—
2222
当Sin-I即。
誇时,取到最大值;
19解:
(1)证明在三棱柱ABC_AIBc中,
VAΛ1丄底而ABC,CDU平而ABC.AAAI丄CD.
又ΔABC为等边三角形,D为力B的中点,
..CD丄AB.∙∙∙ABQAA1=A,
(2)解取ABl的中点F,连接DF.・•・D,F分别为AB^的中点、:
.DF丄A3.
由
(1)知CD丄AB,CD丄DF,
如图,建立空间直角坐标系D-QZ•由题意,得A(IaO),3(-1,0,0),C(0,0,√J),A(1,3,0),B](—1,3,0),
设平而AB}E的法向≡∕7=(xp,y1.z1),
3
n・AE=0,
则<即<
/t・ABl=0,
√3
^2x,+TZl=,
-2x1+3>t1=0.
令Xl=1,则y1=I,Z]=J5-9分
非高薪收
入群体
高薪收入
群体
合计
A专业
60
30
90
B专业
90
20
110
合计
150
50
200
20解:
(1)2x2列联表如下:
KI_200X(60X20-30×90)2
所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“髙耕收入群体”与所学专业有关4分
(2)①所调査的200需学生的月嶄频率分布表如下:
月薪/
百元
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
人数
20
36
44
50
40
10
频率
0.1
0.18
0.22
0.25
0.2
0.05
由题意知二面角—I为锐角,它的余弦值为穹
12分
=^≈6,061>5.024,
//=35×0.1+45×0.18+55×0.22+65×0.25+75×0.2+85×0.05=59.2.因为这200名学生的月薪X〜N("190),所以σ2=190,σ≈14,
所以“-b=59∙2-28=31∙2.
因为小明的月薪为3500元=35百元,〃-b=59・2-28=31・2,所以小明不属于“就业不理想”
的学生②由①知〃=59・2百元=5920元,小明的工资为3500元,低于5920元,所以小明可获蠅两次随机话费,
所获得的话费Z的所有可能取值为120,180,240,300,360,
P(Z=I20)=1×1=1,P(Z=180)=C;
故Z的分布列为
Z
120
180
240
300
360
P
1
4
1
3
5
TS
1
9
1
36
则小明获得的话费总金额的数学期望
EZ=120×-+180×→240×-+3∞×-+360×-=2∞(元)12分
4318936
21解:
(1)当α=l时,/(x)=InX-X+1,定义域为(0,+s),则/(x)=--l,
令ffM=O得x=l.
当λ∈(OJ)时广(X)>0,/(x)单调递增:
当Xe(h+oc)时f∖x)<0,f(x)单调递减
所以∕ωmax=∕0)=θ5分
(2)由题意知,方程f(x)=InX--~~=0在(2,α)上有实根.a
因为InXH0,所以方程可转化为a=—.7分
Inx
—1πx--(λ-1)In%+—-1
设g(χ)=F∙则g3=—=HAA
InX(InXY(InX)-
XX
当2
所以∕ι(x)>Λ
(2)=ln2-i>0,于是g'(x)>O,所以g(x)在(2,e)上单调递增2
所以g⑵Vg(χ)vg(w),即丄Vg(X)V0_1・
In2
综上所述,实数Q的取值范围是丄疋一1]12分
In2丿
设A(X)=Inx+--!
则力3=丄一丄
22解:
(1)设直线y=kx+l被椭圆截得的线段为AP,y=kx+∖
由,疋得(1+/疋)χ2+2(dkx=0,
⅛+r=I
∖+cΓk^
因此∖ap∖=√i+Ir∣χ1-χ2∣=
(2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,0,满足
M=m-
记直线APfA0的斜率分别为人,k2,且kik2>O,kl≠k2.
由⑴知,IA牛业辱LIAgTJF,
1+αAj1+akc
故2/鬧阿_2/約阿8分
∖+a2k^∖+a2k^
所以KY)[1+叶+疋+/(2一∕)W=0.
由kl≠k2f&,他>0得1+昇+忙+/(2一/)申;=0,
因此F7+l][p^+l=1+/(°2—2),①
因为①式关于人,3的方程有解的充要条件是1+/(/_2)>1,
所以λ>√210分
因此,任意以点A(0,l)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为OVa≤>∕2,
由6,=S=±ΩlL得,所求离心率的取值范围为0VeSvl12分
aCl2
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