知识梳理与自测人教A版文科数学《 25指数与指数函数》.docx
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知识梳理与自测人教A版文科数学《25指数与指数函数》
§2.5 指数与指数函数
最新考纲
考情考向分析
1.了解指数函数模型的实际背景.
2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.
3.理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点,会画底数为2,3,10,,的指数函数的图象.
4.体会指数函数是一类重要的函数模型.
直接考查指数函数的图象与性质;以指数函数为载体,考查函数与方程、不等式等交汇问题,题型一般为选择、填空题,中档难度.
1.分数指数幂
(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是
=(a>0,m,n∈N*,且n>1).于是,在条件a>0,m,n∈N*,且n>1下,根式都可以写成分数指数幂的形式.正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿,我们规定
=
(a>0,m,n∈N*,且n>1).0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理数指数幂的运算性质:
aras=ar+s,(ar)s=ars,(ab)r=arbr,其中a>0,b>0,r,s∈Q.
2.指数函数的图象与性质
y=ax
a>1
0 图象 定义域 (1)R 值域 (2)(0,+∞) 性质 (3)过定点(0,1) (4)当x>0时,y>1;当x<0时,0 (5)当x>0时,0 (6)在(-∞,+∞)上是增函数 (7)在(-∞,+∞)上是减函数 概念方法微思考 1.如图是指数函数 (1)y=ax, (2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象,则a,b,c,d与1之间的大小关系为. 提示 c>d>1>a>b>0 2.结合指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象和性质说明ax>1(a>0,a≠1)的解集跟a的取值有关. 提示 当a>1时,ax>1的解集为{x|x>0};当01的解集为{x|x<0}. 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)=()n=a(n∈N*).( × ) (2)分数指数幂 可以理解为个a相乘.( × ) (3)函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数.( √ ) (4)若am (5)函数y=2-x在R上为单调减函数.( √ ) 题组二 教材改编 2.[P59A组T4]化简(x<0,y<0)=. 答案 -2x2y 3.[P56例6]若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点P,则f(-1)=. 答案 解析 由题意知=a2,所以a=, 所以f(x)=x,所以f(-1)=-1=. 4.[P59A组T7]已知a= ,b= ,c= ,则a,b,c的大小关系是. 答案 c 解析 ∵y=x是R上的减函数, ∴ > >0, 即a>b>1, 又c= <0=1, ∴c 题组三 易错自纠 5.计算: ×0+ ×- =. 答案 2 解析 原式= ×1+ - =2. 6.若函数f(x)=(a2-3)·ax为指数函数,则a=. 答案 2 解析 由指数函数的定义可得解得a=2. 7.若函数y=(a2-1)x在(-∞,+∞)上为减函数,则实数a的取值范围是. 答案 (-,-1)∪(1,) 解析 由题意知0 得- 8.若函数f(x)=ax在[-1,1]上的最大值为2,则a=________. 答案 2或 解析 若a>1,则f(x)max=f (1)=a=2; 若0 所以,a=2或. 题型一 指数幂的运算 1.若实数a>0,则下列等式成立的是( ) A.(-2)-2=4B.2a-3= C.(-2)0=-1D. = 答案 D 解析 对于A,(-2)-2=,故A错误;对于B,2a-3=,故B错误;对于C,(-2)0=1,故C错误;对于D, =,故D正确. 2.计算: +0.002 -10(-2)-1+π0=. 答案 - 解析 原式=-2+ -+1 =+10-10-20+1=-. 3.化简: · (a>0,b>0)=. 答案 解析 原式=2× =21+3×10-1=. 4.化简: =(a>0). 答案 a2 解析 原式= 思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意: ①必须同底数幂相乘,指数才能相加; ②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. 题型二 指数函数的图象及应用 例1 (1)函数f(x)=1-e|x|的图象大致是( ) 答案 A 解析 f(x)=1-e|x|是偶函数,图象关于y轴对称, 又e|x|≥1,∴f(x)≤0.符合条件的图象只有A. (2)若函数y=|4x-1|在(-∞,k]上单调递减,则k的取值范围为____________. 答案 (-∞,0] 解析 函数y=|4x-1|的图象是由函数y=4x的图象向下平移一个单位后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图象如图所示. 由图象知,其在(-∞,0]上单调递减,所以k的取值范围是(-∞,0]. 思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断选项中的图象是否过这些点,若不满足则排除. (2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 跟踪训练1 (1)已知实数a,b满足等式2019a=2020b,下列五个关系式: ①0 其中不可能成立的关系式有( ) A.1个B.2个 C.3个D.4个 答案 B 解析 如图,观察易知,a,b的关系为a (2)方程2x=2-x的解的个数是. 答案 1 解析 方程的解可看作函数y=2x和y=2-x的图象交点的横坐标,分别作出这两个函数的图象(如图). 由图象得只有一个交点,因此该方程只有一个解. 题型三 指数函数的性质及应用 命题点1 比较指数式的大小 例2 (1)已知a= ,b= ,c= ,则( ) A.b 答案 A 解析 由a15=(2 )15=220,b15=(2 )15=212,c15=255>220,可知b15 (2)若-1 ,a3的大小关系是.(用“>”连接) 答案 3a>a3>a 解析 易知3a>0,a <0,a3<0,又由-1 ,即-a3<-a ,所以a3>a ,因此3a>a3>a . 命题点2 解简单的指数方程或不等式 例3 (1)(2018·福州模拟)已知实数a≠1,函数f(x)=若f(1-a)=f(a-1),则a的值为. 答案 解析 当a<1时,41-a=21,解得a=; 当a>1时,代入不成立.故a的值为. (2)若偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则不等式f(x-2)>0的解集为. 答案 {x|x>4或x<0} 解析 ∵f(x)为偶函数, 当x<0时,-x>0,则f(x)=f(-x)=2-x-4, ∴f(x)= 当f(x-2)>0时,有或 解得x>4或x<0. ∴不等式的解集为{x|x>4或x<0}. 命题点3 指数函数性质的综合应用 例4 (1)已知函数f(x)=2|2x-m|(m为常数),若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则m的取值范围是. 答案 (-∞,4] 解析 令t=|2x-m|,则t=|2x-m|在区间上单调递增,在区间上单调递减.而y=2t在R上单调递增,所以要使函数f(x)=2|2x-m|在[2,+∞)上单调递增,则有≤2,即m≤4,所以m的取值范围是(-∞,4]. (2)函数f(x)=4x-2x+1的单调增区间是. 答案 [0,+∞) 解析 设t=2x(t>0),则y=t2-2t的单调增区间为[1,+∞),令2x≥1,得x≥0,又y=2x在R上单调递增, 所以函数f(x)=4x-2x+1的单调增区间是[0,+∞). (3)若函数f(x)= 有最大值3,则a=. 答案 1 解析 令h(x)=ax2-4x+3,y=h(x),由于f(x)有最大值3,所以h(x)应有最小值-1, 因此必有解得a=1, 即当f(x)有最大值3时,a的值为1. 思维升华 (1)利用指数函数的函数性质比较大小或解方程、不等式,最重要的是“同底”原则,比较大小还可以借助中间量; (2)求解与指数函数有关的复合函数问题,要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 跟踪训练2 (1)函数f(x)=x2-bx+c满足f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3,则f(bx)与f(cx)的大小关系是( ) A.f(bx)≤f(cx)B.f(bx)≥f(cx) C.f(bx)>f(cx)D.与x有关,不确定 答案 A 解析 ∵f(x+1)=f(1-x),∴f(x)关于x=1对称, 易知b=2,c=3, 当x=0时,b0=c0=1,∴f(bx)=f(cx), 当x>0时,3x>2x>1,又f(x)在(1,+∞)上单调递增,∴f(bx) 当x<0时,3x<2x<1,又f(x)在(-∞,1)上单调递减, ∴f(bx) 综上,f(bx)≤f(cx). (2)已知f(x)=2x-2-x,a= ,b= ,则f(a),f(b)的大小关系是. 答案 f(b) 解析 易知f(x)=2x-2-x在R上为增函数, 又a= = > =b, ∴f(a)>f(b). (3)若不等式1+2x+4x·a≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,则实数a的取值范围是. 答案 解析 从已知不等式中分离出实数a, 得a≥-.∵函数y=x+x在R上是减函数,∴当x∈(-∞,1]时,x+x≥+=,从而得-≤-. 故实数a的取值范围为. 1.设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是( ) A.a 答案 C 解析 因为函数y=0.6x在R上单调递减,所以b=0.61.51,所以b 2.已知函数f(x)=5x,若f(a+b)=3,则f(a)·f(b)等于( ) A.3B.4C.5D.25 答案 A 解析 ∵f(x)=5x,∴f(a+b)=5a+b=3,∴f(a)·f(b)=5a×5b=5a+b=3.故选A. 3.设x>0,且ax A.b C.1 答案 B 解析 若ax<1且x>0,则必有0a,故选B. 4.已知f(x)=3x-b(2≤x≤4,b为常数)的图象经过点(2,1),则f(x)的值域为( ) A.[9,81]B.[3,9]C.[1,9]D.[1,+∞) 答案 C 解析 由f(x)过定点(2,1)可知b=2, 因为f(x)=3x-2在[2,4]上是增函数, f(x)min=f (2)=1,f(x)max=f(4)=9.故选C. 5.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1)满足f (1)=,则f(x)的单调递减区间是( ) A.(-∞,2]B.[2,+∞) C.[-2,+∞)D.(-∞,-2] 答案 B 解析 由f (1)=,得a2=, 所以a=或a=-(舍去),即f(x)=|2x-4|. 由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增, 所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减.故选B. 6.已知函数f(x)=的值域是[-8,1],则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,-3]B.[-3,0) C.[-3,-1]D.{-3} 答案 B 解析 当0≤x≤4时,f(x)∈[-8,1],当a≤x<0时,f(x)∈,所以[-8,1],即-8≤-<-1,即-3≤a<0.所以实数a的取值范围是[-3,0). 7.若“m>a”是“函数f(x)=x+m-的图象不过第三象限”的必要不充分条件,则实数a能取的最大整数为. 答案 -1 解析 f(0)=m+,∴函数f(x)的图象不过第三象限等价于m+≥0,即m≥-,∵“m>a”是“m≥-”的必要不充分条件,∴a<-,则实数a能取的最大整数为-1. 8.不等式2 >x+4的解集为. 答案 (-1,4) 解析 原不等式等价于 >2-x-4, 又函数y=2x为增函数,∴-x2+2x>-x-4, 即x2-3x-4<0,∴-1 9.当x∈(-∞,-1]时,不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立,则实数m的取值范围是. 答案 (-1,2) 解析 原不等式变形为m2-m 因为函数y=x在(-∞,-1]上是减函数, 所以x≥-1=2, 当x∈(-∞,-1]时,m2-m 10.已知函数f(x)=2x-,函数g(x)=则函数g(x)的最小值是. 答案 0 解析 当x≥0时,g(x)=f(x)=2x-为单调增函数,所以g(x)≥g(0)=0;当x<0时,g(x)=f(-x)=2-x-=-2x为单调减函数,所以g(x)>g(0)=0, 所以函数g(x)的最小值是0. 11.已知9x-10·3x+9≤0,求函数y=x-1-4x+2的最大值和最小值. 解 由9x-10·3x+9≤0,得(3x-1)(3x-9)≤0, 解得1≤3x≤9,即0≤x≤2. 令x=t,则≤t≤1,y=4t2-4t+2=42+1. 当t=,即x=1时,ymin=1; 当t=1,即x=0时,ymax=2. 12.已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常量,且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24). (1)求f(x)的表达式; (2)若不等式x+x-m≥0在(-∞,1]上恒成立,求实数m的取值范围. 解 (1)因为f(x)的图象过A(1,6),B(3,24), 所以所以a2=4, 又a>0,所以a=2,b=3.所以f(x)=3·2x. (2)由 (1)知a=2,b=3,则当x∈(-∞,1]时,x+x-m≥0恒成立,即m≤x+x在(-∞,1]上恒成立. 又因为y=x与y=x在(-∞,1]上均为减函数,所以y=x+x在(-∞,1]上也是减函数,所以当x=1时,y=x+x有最小值,所以m≤,即m的取值范围是. 13.(2018·安徽滁州中学月考)设函数f(x)=则满足f(f(a))=2f(a)的a的取值范围是( ) A.B.[0,1]C.D.[1,+∞) 答案 C 解析 令f(a)=t,则f(t)=2t. 当t<1时,3t-1=2t,令g(t)=3t-1-2t,则g′(t)=3-2tln2,当t<1时,g′(t)>0,g(t)在(-∞,1)上单调递增,即g(t) (1)=0,则方程3t-1=2t无解. 当t≥1时,2t=2t成立,由f(a)≥1,得a<1,且3a-1≥1,解得≤a<1;a≥1,且2a≥1,解得a≥1. 综上可得a的取值范围是.故选C. 14.若函数f(x)=2|x+a|(a∈R)满足f(1-x)=f(1+x),f(x)在区间[m,n]上的最大值记为f(x)max,最小值记为f(x)min,若f(x)max-f(x)min=3,则n-m的取值范围是. 答案 (0,4] 解析 因为f(1-x)=f(1+x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,所以a=-1, 所以f(x)=2|x-1|. 作出函数y=f(x)的图象如图所示. 当m 15.设f(x)=|2x-1-1|,a 答案 < 解析 f(x)在(-∞,1]上是减函数,在[1,+∞)上是增函数,故结合条件知必有a<1. 若c≤1,则2a<2,2c≤2,故2a+2c<4; 若c>1,则由f(a)>f(c),得1-2a-1>2c-1-1, 即2c-1+2a-1<2,即2a+2c<4. 综上知,总有2a+2c<4. 16.已知函数f(x)=-+4(-1≤x≤2). (1)若λ=,求函数f(x)的值域; (2)若方程f(x)=0有解,求实数λ的取值范围. 解 (1)f(x)=-+4 =2x-2λ·x+4(-1≤x≤2). 设t=x,得g(t)=t2-2λt+4. 当λ=时,g(t)=t2-3t+4 =2+. 所以g(t)max=g=,g(t)min=g=. 所以f(x)max=,f(x)min=, 故函数f(x)的值域为. (2)方程f(x)=0有解可转化为 λ=2·2x+·(-1≤x≤2). 设φ(x)=2·2x+, 当2x=,即x=-1时,φ(x)min=2; 当2x=4,即x=2时,φ(x)max=. ∴函数φ(x)的值域为. 故实数λ的取值范围是.
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