第三单元因数和倍数教材分析.docx
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第三单元因数和倍数教材分析
【第三单元因数和倍数】
本单元继续教学整数的知识,编排目的主要有两点:
一是进一步丰富自然数的知识,二是为即将教学分数作知识准备。
一到四年级教学整数,重点放在数的意义和计数方法上。
学会了自然数的读写方法,领会了自然数的基数含义与序数含义,掌握了自然数的顺序和大小,会用自然数表示日常生活里的事情或现象……本单元着重教学自然数之间的因数与倍数关系,求各个自然数的因数与倍数、两个自然数的公因数与公倍数。
显然,这些知识能丰富学生对自然数的认识,而且为教学分数的约分、通分作了必要的知识准备。
全单元一共编排十二道例题,具体安排见下表:
例1因数和倍数的含义
例2找出一个数的全部因数
例3从小到大列举出一个数的倍数
例42和5的倍数的特征
例53的倍数的特征
例6质数和合数的意义
例7质因数的意义
例8分解质因数
例9公因数的意义
例10求两个数的公因数与最大公因数
例11公倍数的意义
例12求两个数的公倍数与最小公倍数
从上表可以看到本单元教学内容的编排有以下两个特点:
第一,十分重视知识的内在联系,把相关的知识内容组织成“块”,一块一块地教学,帮助学生建立良好的认知结构。
如,因数和倍数是两个既相互对立又密切联系的概念,把因数与倍数的教学结合起来,有助于理解两个有关自然数之间的因数与倍数关系,并在理解概念的基础上,掌握求一个数的因数与倍数的方法。
又如,2、3、5的倍数的特点直接关系到分数的四则计算,必须很好地掌握。
2和5的倍数的特点表现在这些数的个位上,3的倍数特点表现在它各位上的数的和上面。
把2和5的特点结合起来教学能节省教学时间,避免乏味的重复。
把3的倍数特点和2、5的倍数特点分开教学,有利于分散难点、突破难点。
再如,把质数、合数以及分解质因数结合起来教学,可以突出“质数”概念,既理解其意义,又应用于分解质因数的活动。
另外,两个数的公因数、公倍数知识,要建立在一个数的因数与倍数的基础上,尽管公因数与公倍数是不同的概念,却也有一定的相似性。
例9~12先教学两个数的公因数,接着教学两个数的公倍数,前面知识的教学会影响后面知识的教学。
像这些有次序地安排概念教学,体现了概念形成的一条原理:
适当改变已有概念的内涵,能产生新的概念。
第二,密切关注基本技能的及时形成。
本单元教学的知识将直接影响分数的四则计算,进行分数加、减计算经常要通分,需要求两个数的最小公倍数;进行分数乘、除计算经常要约分,需要求两个数的最大公因数。
这些都表明,求两个数的最大公因数和最小公倍数是分数计算的基础,必须很好地掌握。
为此,教材细致地安排了求一个数的因数与倍数,求两个数的公因数与公倍数,以及2、5、3的倍数特征的教学,并且配备了比较充分的练习,确保基本技能的逐步形成。
(一)联系具体的乘法算式,教学非0自然数之间的因数与倍数关系,探索找出一个数的全部因数与部分倍数的方法
研究因数和倍数一般在非0自然数范围内进行,可以避免不必要的麻烦,使因数和倍数知识更有应用价值。
教材在本单元的标题上加了*号,用底注明确规定了“所说的数一般指不是0的自然数”。
本单元的前三道例题,先教学因数与倍数的概念,再分别教学求一个数的因数和倍数的方法。
这三道例题密切相关,是建立概念并应用概念的过程,为全单元的教学奠定了基础。
1.在拼长方形活动中得出乘法算式,利用乘法算式介绍因数和倍数的概念。
例1的教学分两段进行:
先是用12个同样大的正方形拼一个长方形。
学生对这个活动应该很熟悉,几乎人人都知道有不同的拼法,能够顺利地拼出三个长、宽各不相同的长方形,并且根据各个长方形中每行正方形的个数与行数,把三个长方形分别表示成4×3=12、6×2=12、12×1=12。
然后以4×3=12为例,指出4和3都是12的因数,12是4的倍数,也是3的倍数。
揭示了整数乘法式子里的因数和倍数关系。
还要求学生说出另两道乘法算式里,谁是谁的因数、谁是谁的倍数,初步内化因数和倍数的概念。
教材这样安排有两个原因:
一是置枯燥的数学内容于有趣的操作活动之中,在现实的情境里提取数学材料,给抽象的概念以具体的背景,有助于学生联系现实情境和已有经验,意义接受因数和倍数的含义。
二是给学生提供举一反三的机会,用4×3=12里学到的因数、倍数知识,解释6×2=12、12×1=12这两个乘法式子里的因数、倍数关系,能调动学习的积极性和主动性,在比较丰富的素材里充分体会数学概念的内涵与外延,使形成的概念扎实、厚实。
教学这道例题一定要注意,因数和倍数是描述自然数之间关系的概念,客观存在于两个具体的自然数之间。
因此要用完整的语句表示这些关系。
如12是4的倍数,4是12的因数。
不能说成12是倍数、4是因数。
小学数学不给因数和倍数下抽象的定义,只是列举若干个实例,指出两个自然数之间的因数与倍数关系。
为了使学生充分体会因数和倍数的概念,练习五第1、2两题,联系做团体操排队和乘坐小艇付费这些具体事例,根据“每排人数×排数=24(人)”“4(元)×乘坐人数=应付钱数”,理解这里的每排人数和排数都是24的因数,应付元数都是4的倍数。
这两题有充实体验、加强概念的作用。
2.在因数和倍数概念的基础上,探索求一个数的因数与倍数的方法。
例2和例3分别求一个数的因数和求一个数的倍数。
虽然教学内容不同,教学方法却很相似。
都是利用初步建立的因数或倍数概念,联系已经掌握的乘、除法口算,在探索中推理、计算,找到相应的方法。
例2要求找出36的全部因数。
教材围绕两点组织教学活动:
一是什么样的数才是36的因数?
二是怎样找到36的全部因数?
关于前面一点,抓住因数的概念可以得出“凡是乘积为36的两个自然数,都是36的因数”,这就是“辣椒”卡通的想法“看36是哪两个数相乘得到的”。
如果用数学式子表示就是“蘑菇”卡通想的“依次列举积是36的乘法算式:
1×36=36,2×18=36……”每一个这样的乘法算式中,都能找到36的两个(或一个)因数。
这是求一个数因数的基本思路,它既从因数的概念得出,又加强了对因数概念的理解。
部分学生还能在除法算式里看出因数与倍数关系,所以也会有人像“萝卜”卡通那样思考“依次列举除法算式:
36÷1=36,36÷2=18……”在每一个除法算式里找到36的两个(或一个)因数。
教学不要把上面两种方法割裂开来,更不要对立起来,而应该有机联系起来。
利用乘、除法的关系,把想乘法式子里的乘数,转化为想除法算式的除数与商。
如果一个乘数是2,另一个乘数是36÷2=18;如果一个乘数是3,另一个乘数是36÷3=12……例题里可以找到的乘数比较多,也就是36的因数比较多,需要有序地寻找,才会不重复、不遗漏地找到36的全部因数。
于是从1×()=36或者从36÷1=()开始,依次尝试2×()=36或36÷2=()、3×()=36或36÷3=()、4×()=36或36÷4=()、6×()=36或36÷6=()。
教材只写出少量几道乘法算式或除法算式,留出大部分算式让学生填写,按照乘数或除数是1、2、3……的次序,继续列举后面的乘法算式或除法算式。
教学还应该在5不是36的因数,以及算到36÷6为止这两点上稍作停留,让学生体会有序寻找的重要性。
找到一个数的全部因数以后,可以用陈述的语言把因数从小到大一一列出,如“36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36”或者用集合的形式表示,画一个椭圆,在它上面注明“36的因数”,里面写找到的全部因数。
“试一试”分别找出15、16的因数。
15的因数较少,容易找全;16的因数较多,往往会遗漏。
仍然要抓住什么样的数是15(16)的因数,怎样有序地找到15(16)的所有因数,以帮助学生及时消化求一个数的因数的思路与方法。
教材还要求观察36、15、16的因数,寻找其中蕴含的规律,发现一个数的因数的个数是有限的,最小的因数是1,最大的因数是它本身。
这些规律有助于学生开展找因数的活动:
通常从1开始,找到本身为止,其他因数都在1和它本身之间。
例3从小到大找出若干个3的倍数,教学线索与例2相似,也是先形成思路,再有序地寻找。
采用的思路是“3和任何非0自然数的乘积都是3的倍数”,这个思路与倍数的意义完全一致,容易理解,还容易操作。
教学这道例题要注意两点:
一是引导学生从“3的倍数是什么样的数”想起,形成思路、确定算法。
然后从小到大逐个寻找,并按顺序写出来。
二是让学生注意教材写出的几个省略号。
写在“蘑菇”卡通的算式3×1=3、3×2=6下面的那个省略号,表示继续把3依次乘3、4、5、6等等,可以一直乘下去,每个乘积都是3的倍数。
写在“萝卜”卡通自然数1、2、3后面的那个省略号,表示有无数多个自然数与3相乘。
写在排列3的倍数的陈述语句后面的省略号,表示3的倍数的个数无限多。
这样,学生就能理解一个数的倍数的个数是无限的,最小倍数是它本身,没有最大的倍数。
练习五第3题配合例2和例3的教学。
30的因数应该一个不漏全部写出;4的倍数只能从小到大列举出若干个,并用省略号表示还有许许多多没有写出来;50以内7的倍数有7、14、21、28、35、42和49,应该依次全部写出,但不能写省略号,因为50以内7的倍数只有七个。
第4题,数轴上已经表示出0~24各数,要求在6的因数上画“△”,在6的倍数上画“○”。
这题能帮助学生体会6的因数都小于或等于6,6的倍数都等于或大于6,6的最大因数和最小倍数是它本身。
(二)在“百数表”里找5的倍数、2的倍数、3的倍数,认识5、2、3的倍数的特征
例4和例5教学5、2、3的倍数的特征。
掌握这些特征,能够判断哪些数有因数5、2、3,将对以后的约分有积极的作用。
判断一个数是不是2的倍数,是不是5的倍数,都看这个数的个位上是几,方法是一致的。
判断一个数是不是3的倍数,要看它各位上数的和是不是3的倍数,方法与2和5的倍数完全不同。
所以教材编排两道例题,把5和2的倍数特征安排在一道例题里教学,把3的倍数特征放在另一道例题里教学。
两道例题以及配套的“练一练”都是“寻找特点——利用特点”的教学线索,给学生很大的自主活动空间。
1.5的倍数的特征比2的倍数更为简单,例4由易到难,先教学5的倍数的特征,再教学2的倍数的特征。
教材给出一张“百数表”,便于寻找5的倍数和2的倍数,容易看到5的倍数与2的倍数的特点。
圈数、观察、归纳、验证是主要的学习活动。
在百数表里5的倍数上画“△”,2的倍数上画“○”,于是表里出现二列画“△”的数、五列画“○”的数,其中一列数上既画“△”也画“○”。
这些符号把学生的注意集中到5的倍数或2的倍数上,启发学生发现它们个位上的规律,产生关于5的倍数或2的倍数的特征猜想。
百数表里还有许多没有画“△”也没有画“○”的数,它们个位上的数与5的倍数、2的倍数个位上的数不同,它们都不是5的倍数或不是2的倍数。
这些反例也证实5、2的倍数特征表现在数的个位上,于是得出像“蘑菇”“萝卜”卡通说的那些结论:
5的倍数,个位上是5或0;2的倍数,个位上是2、4、6、8或0。
在初步认识5的倍数与2的倍数的特征的基础上,教材里还安排两点内容:
一是什么样的数既是2的倍数,又是5的倍数?
这样的数同时具有2的倍数特征和5的倍数特征,即具备2的倍数和5的倍数的共同特征。
在个位上是5和0的数中,后者也是2的倍数。
在个位上是2、4、6、8、0的数中,最后一种也是5的倍数。
所以说,一个数如果既是2的倍数,又是5的倍数,它的个位上一定是0。
这个规律在“百数表”中既画“△”又画“○”的那一列数上表现得很清楚。
二是什么样的数是偶数,什么样的数是奇数?
认识偶数与奇数,能进一步加强对2的倍数的体验,也是对自然数的进一步了解。
在教学奇数、偶数以后,还可以组织学生反思5的倍数、2的倍数的特征。
5的倍数是5乘1、2、3……的积,如果5乘一个奇数,积的个位上一定是“5”;如果5乘一个偶数,积的个位上一定是“0”。
这些也表明5的倍数特征表现在它的个位上。
关于2的倍数特征,也能像这样体会。
2.发现3的倍数的特征比较难,应给学生较多点拨与帮助。
教学3的倍数的特征,例5作了五步安排,既给学生充分的活动空间,又及时调控他们的思考。
第一步在百数表里3的倍数上画“○”,初步看到3的倍数与2或5的倍数不同,分散在表的各行各列。
由此联想3的倍数的特征可能与2、5的倍数不同。
第二步集体讨论“个位是3、6、9的数都是3的倍数吗?
”在百数表里看到画“○”的数的个位上不都是3、6、9,还有其他的数。
而有些个位上是3、6、9的数上没有画“○”,它们不是3的倍数。
如果再写出一些稍大的、个位上是3、6或9的数,逐一检验是不是3的倍数,能进一步知道,3的倍数的特征不表现在数的个位上。
于是产生像“辣椒”卡通那样的疑问“从个位上看不出3的倍数的特征,该怎么办”。
从而形成继续探索的心向。
第三步指点新的探索方向:
把3的倍数表示到计数器上,看看用了几颗数珠。
先找些较小的数,再找些较大的数。
算出表示每个数所用数珠的颗数,初步发现数珠的颗数总是3、6、9、12等。
这一步对发现3的倍数特征十分重要,要适当多安排些时间。
使学生知道,在计数器上表示3的倍数,需要的数珠会是3颗、6颗、9颗、12颗……而3、6、9、12等数,都是3的倍数。
第四步把数珠颗数转化为各位上数的和,初步发现3的倍数的特点。
这一步是教学的难点,要引导学生从“数的某一位上是几,计数器的这一位上就拨几颗数珠”这一事实,理解计数器上数珠的总颗数就是这个数各位上数的和。
从数珠颗数是3的倍数,推理出各位上数的和是3的倍数。
第五步通过反例证实3的倍数的特点。
找几个不是3的倍数,算算它们各位上数的和,看看是不是3的倍数。
从不是3的倍数,各位上数的和不是3的倍数,进一步确认3的倍数的特征。
上面五步教学活动是连贯的,步步深入,逐渐接近数学的本质内容。
还是严谨的,不仅研究了事件的正例,也研究了反例,得到的结论站得住脚。
更是符合儿童认识规律的,借助形象直观,及时进行抽象与归纳,能够有效地突破难点。
关于3的倍数的“练一练”,教材围绕“各位上数的和”这个关键,进一步加强对特征的认识。
除了直接根据3的倍数的特征,判断一些数是不是3的倍数,还有判断除数是3的除法有没有余数,其实就是判断被除数是不是3的倍数。
这种变化的问题能维持学生的练习热情,提高练习质量。
值得注意的是练习五第8题,像20□这样的三位数,如果是3的倍数,□里可以填1、4或7。
这样具有一定开放性的题,突出的是基础知识,活跃的是数学思考。
练习五第7题先让学生列举一些4的倍数,进而发现它们都是2的倍数。
第10题列举一些6的倍数,想想它们也是几的倍数。
从这些实例中可以概括出这样的结论:
某个数的倍数,一定是这个数因数的倍数。
第14题,3个连续自然数的和一定是3的倍数,3个连续奇数的和或3个连续偶数的和,也一定是3的倍数。
可以通过具体的数来证实,如15、16、17的和48,是3的倍数;24、26、28的和78,是3的倍数;17、19、21的和57,是3的倍数。
利用字母表示数也可以证明出上述结论是正确的。
如3个连续自然数a-1、a、a+1,它们的和3a,是3的倍数。
3个连续偶数(奇数)a-2、a、a+2,它们的和3a,是3的倍数。
(三)通过写因数、比因数个数等活动,建立质数和合数的概念
例6教学质数和合数。
教学活动的线索是:
分别找出2、3、5、6、8、9的因数→按因数的个数把这些自然数分类→揭示质数和合数的概念。
写出六个自然数的因数并不难,按因数个数把六个自然数分类,需要稍微点拨一下。
否则,学生有可能分成2个因数、3个因数、4个因数等几类,不按质数与合数的概念需要来分类。
揭示质数和合数的意义,教学语言必须十分准确。
尤其是“只有”“除了……还有”,一定要咬文嚼字,不能有半点含糊。
这部分教材在编写上有三个特点:
一是在写2、3、5、6、8、9的因数时,利用已有能力,让学生在独立写因数的过程中,体会这些自然数的因数个数不同。
二是用填空形式,把2、3、5、6、8、9按因数个数分成“因数只有两个”“因数有两个以上”两类,避免分类时的混乱和不必要的纠缠。
三是突出质数概念的内涵“只有……两个因数”,合数概念的内涵“除了……还有……”。
另外,教材还通过1只有一个因数,得出1既不是质数,也不是合数。
关于质数和合数的教学要求是:
理解质数与合数的意义,能够根据概念判断一个数是质数还是合数。
“试一试”和“练一练”都要求先写出各个自然数的所有因数,再说出这些自然数是质数还是合数。
练习六第1题运用“筛法”,在2~50这些数中划掉所有的合数,剩下50以内的质数。
从中能够体会到这样几点:
一是2、3、5、7等质数,除了本身,它们的倍数都是合数(应该划去的数);二是2~50这些数,不是质数,就是合数;三是非0自然数按因数的个数分类,有1、质数、合数三类。
如果能够记住20以内的八个质数:
2、3、5、7、11、13、17、19,会有利于以后的约分。
其实,判断一个数是不是质数,并不要把它所有因数都写出来。
如果这个数只有1和它本身两个因数,则一定是质数。
如果一个数除了1和它本身,只要再找到另一个因数,就能确认一定是合数。
如,练习六第6题,13、23、33、43这四个数中,33除了1和它本身,还有因数3,肯定是合数。
19、29、39、49这四个数中,49除了1和它本身,还有因数7,一定是合数。
教学质数和合数以后,学生可能对质数、合数、奇数、偶数等概念混淆不清。
为此,单元整理与练习中设计了第6题,在1~20的数表中,用“○”圈出偶数,用“△”圈出质数。
圈数时必须想什么是质数、什么是偶数,这就澄清了质数和偶数的概念。
还会思考“所有质数都是奇数吗?
所有合数都是偶数吗?
”数表里的2既圈○,又圈了△,表明质数中有一个偶数。
数表里有些奇数没有被圈△,表明合数有可能是奇数,即合数不都是偶数。
这些现象,能帮助学生进一步区分质数与奇数、合数与偶数等不同的概念。
教学一定要注意,这里不是让学生记住两个问题的答案,而是分清各个概念。
明白质数和合数是把自然数按因数的个数分类,奇数和偶数是按自然数有没有因数2(是不是2的倍数)分类。
(四)在认识质数与合数的基础上,教学分解质因数
质因数指的是整数乘法算式里的某些因数,分解质因数是把合数写成两个或几个质数相乘的形式。
小学数学教学质因数的概念和分解质因数的方法,有助于后面进行的分数四则计算,也有益于第三学段教学因式分解。
教学质因数是形成一个数学概念,而分解质因数是质因数概念的具体应用。
所以教材编排两道例题,分别教学质因数的概念和分解质因数的方法。
1.联系实例教学质因数的概念。
任何一个非0自然数都能看成两个自然数的乘积,都能写成两个自然数相乘的形式,这两个相乘的数都是积的因数。
如果一个数的因数是质数,这个因数就是它的质因数。
可见,质因数是因数与质数这两个概念的“复合”。
更确切地说,一个数的质因数是它所有因数中的一部分,是它的质数因数。
所以,例7教学质因数概念,采用了“因数概念+质数概念”的模式。
先指出乘法算式5=1×5、28=4×7里的因数,再从因数中找出质数,针对找到的“质数因数”介绍质因数概念的内涵,让学生意义接受质因数这个概念。
教学例7可以让学生“看”给出的两个乘法算式,“识”乘法算式的因数是质数还是合数,“读”教材里关于质因数概念的介绍,“想”质因数的概念内涵,“找”乘法算式里的质因数。
在一系列学习活动中,逐步建立质因数概念,体验质因数概念的本质特征。
一般而言,质数可以写成1乘本身的形式,1不是质数,不可能是质因数,本身是这个数的质因数。
合数可以写成两个数(1和本身除外)相乘的形式,这两个因数可能是积的质因数,可能不是积的质因数,也可能一个是积的质因数,另一个不是积的质因数。
学生理解这些情况需要一个过程,需要在现实的情境里逐步学会识别。
练习六第4题为辨别因数与质因数而设计安排,35=5×7里,5和7都是35的质因数;27=3×9里,3是27的质因数,9只是27的因数,不是质因数。
2.分解质因数是应用质因数概念的推理过程。
把一个合数写成两个或几个质因数相乘的形式叫作分解质因数。
如果被分解的合数不是很大,一般通过口算来分解质因数。
例8教学分解质因数,包括两个内容:
一是分解质因数的含义,即什么是分解质因数;二是分解质因数的方法,即怎样分解质因数。
教材把这两个内容结合起来,让学生“把30用几个质因数相乘的形式表示出来”。
为了便于分解,例题设计了分解30的“板块”:
先把30写成2×15,2是30的质因数,15不是质因数;再把15写成3×5,3和5都是15的质因数,也就是30的质因数。
所以30分解质因数应该写成30=2×3×5的形式。
学生在上面的分解过程中,感受了把一个合数写成几个质因数相乘的思想方法,体验了分解质因数的含义和方法。
教学例8还应该让学生明白两点:
首先,合数才能分解质因数。
因为质数只能写成1与本身相乘的形式,而1既不是质数,也不是合数,所以质数谈不上分解质因数。
其次,分解质因数是改变已有合数的表现形式,把某个合数写成两个或几个质数相乘的式子,它有特定的书写格式。
(五)在铺图形的活动中引出数学概念,教学公因数、公倍数的意义;利用概念,探索求两个数公因数和公倍数的方法
经过前面几道例题的教学,学生建立了因数和倍数的概念,会找到一、两位数的全部因数,会求较小数的倍数,已经具有教学两个数的公因数和公倍数的条件。
例9与例11分别教学公因数、公倍数的概念,例10与例12分别教学求两个数的公因数与最大公因数、求两个数的公倍数与最小公倍数的方法。
教学这些概念和方法,能为以后约分、通分,进行分数四则计算作些准备。
1.公因数和公倍数都从铺图形的活动中引出。
例9分别用边长6厘米、4厘米的正方形铺长18厘米、宽12厘米的长方形,出现正好铺满和不正好铺满两种情况。
研究铺满和不铺满的原因,是认识公因数的现实素材。
例11用长3厘米、宽2厘米的长方形分别铺边长6厘米和8厘米的正方形,也出现正好铺满和不能铺满两种情况,是认识公倍数的现实素材。
选择铺图形活动引出新的数学概念,是因为这个活动比较现实,也比较有趣,能吸引学生从中发现问题、提出问题,进而研究问题。
他们按例题的安排,一定会铺出两种不同的结果,因此能够提出“为什么有时正好铺满、有时不能”“什么时候能够铺满、什么时候不能”这些有价值的问题。
研究这些问题,就联系实际体会了公因数和公倍数的含义,为形成新的数学概念积累了感性认识。
教学这两道例题,要注意教材里的几点安排:
第一,让学生开展铺图形的活动,得到正好铺满和不能铺满两种结果。
或是课前准备需要的图形,课上铺一下;或者在教科书的图形上画一画,感受铺的活动。
第二,从数学角度、用数学知识解释铺满与不铺满的原因。
例9里的“萝卜”卡通用两个没有余数的除法算式说明正好铺满的原因,“番茄”卡通用有余数除法算式说明不能铺满的理由。
当铺图形的结果用除法解释时,就可能与因数和倍数知识建立联系了。
第三,继续联想还有哪些边长是整厘米的正方形,也能铺满长18厘米、宽12厘米的长方形;长3厘米、宽2厘米的长方形还能铺满边长多少厘米的正方形。
这些联想基于已经进行过的操作,有利于丰富对公因数与公倍数的感性认识。
例9与例11里“辣椒”卡通和“蘑菇”卡通的交流,是两个层次的思考。
前者形象的成分多些,一边说、一边想铺图形的状况。
后者理性一点,用因数或倍数知识作出比较概括的描述。
多数学生会先形象思考,后理性思考,而且理性思考需要教师的点拨和扶持。
关于公因数与公倍数的意义,和因数与倍数一样,教材没有给出定义,只是结合实例作出描述。
理解概念要正确认识它的内涵、把握它的外延。
所谓概念的内涵,是指概念反映的一切对象的共同的本质属性。
公因数是几个数公有的因数,公倍数是几个数公有的倍数。
可见,“几个数公有的”是公因数与公倍数这两个概念的本质属性。
在因数与倍数的基础上建立公因数、公倍数的概念,教材利用“既是……又是……”这样的句式,凸显“公有”的含义,突出了概念的内涵。
所谓概念的外延,是指概念包括的一切对象。
对具体事例是否属于概念作出判断,就是识别概念的外延。
作出的判断,有时是肯定,
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