圆的基本性质练习含标准答案.docx
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圆的基本性质练习含标准答案.docx
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圆的基本性质练习含标准答案
圆的基本性质
考点1对称性
圆既是________①_____对称图形,又是______②________对称图形。
任何一条直径所在的直线都是它的____③_________。
它的对称中心是_____④_______。
同时圆又具有旋转不变性。
温馨提示:
轴对称图形的对称轴是一条直线,因此在谈及圆的对称轴时不能说圆的对称轴是直径。
考点2垂径定理
定理:
垂直于弦的直径平分______⑤______并且平分弦所对的两条___⑥________。
常用推论:
平分弦(不是直径)的直径垂直于______⑦_______,并且平分弦所对的两条_____⑧___________。
温馨提示:
垂径定理是中考中的重点考查内容,每年基本上都以选择或填空的形式出现,一般分值都在3分左右,这个题目难度不大,只要在平时的练习中,多注意总结它所用的数学方法或数学思想等,以及常用的辅助线的作法。
在这里总结一下:
(1)垂径定理和勾股定理的有机结合是计算弦长、半径等问题的有效方法,其关键是构造直角三角形;
(2)常用的辅助线:
连接半径;过顶点作垂线;(3)另外要注意答案不唯一的情况,若点的位置不确定,则要考虑优弧、劣弧的区别;(4)为了更好理解垂径定理,一条直线只要满足:
①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧;
考点3圆心角、弧、弦之间的关系
定理:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧______⑨______,所对的弦也_____⑩________。
常用的还有:
(1)在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角_______________,所对的弦________________。
(2)在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角_______________,所对的弧________________。
方法点拨:
为了便于理解和记忆,圆心角、弧、弦之间的关系定理,可以归纳为:
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应地其余各组量也都相等。
温馨提示:
(1)上述定理中不能忽视“在同圆或等圆中”这个条件。
否则,虽然圆心角相等,但是所对的弧、弦也不相等。
以同心圆中的圆心角为例,相等的圆心角在同心圆中,所对的弧与弦都不相等。
(2)在由弦相等推出弧相等时,这里的弧要么是优弧,要么是劣弧,不能既是优弧又是劣弧。
考点4圆周角定理及其推论
定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角________________,都等于这条弧所对的圆心角的______________。
推论:
半圆或直径所对的圆周角是_______________,90°的圆周角所对的弦是________________。
方法点拨:
定理中的推论应用十分广泛,一般情况下用它来构造直角三角形,若需要直角或证明垂直时,通常作出直径就能解决问题。
温馨提示:
定理中的“同弧或等弧”不能改为是“同弦或等弦”。
因为在圆中一条弦所对的圆周角有两个,这两个圆周角互补。
<<名题精解>>
例1:
如图1,正方形ABCD是⊙O的内接正方形,点P在劣弧上不同于点C得到任意一点,则∠BPC的度数是()
A.B.C.D.
例2:
如图,在中,的度数为是上一点,是上不同的两点(不与两点重合),则的度数为()
A.B.C.D.
例3:
高速公路的隧道和桥梁最多.如图是一个隧道的横截面,若它的形状是以O为圆心的圆的一部分,路面=10M,净高=7M,则此圆的半径=( )
A.5B.7C.D.
训练
一、选择题(每题3分,共30分)
1.(09年南宁)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,∠CDB=30°,⊙O的半径为,则弦CD的长为()
A.B.C.D.
第3题图
第4题图
第1题图
第2题图
2.(09年天津市)如图,△ABC内接于⊙O,若∠OAB=28°,则∠C的大小为()
A.28° B.56° C.60° D.62°
3.(09南宁)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,∠CDB=30°,⊙O的半径为,则弦CD的长为()
A.B.C.D.
4.(09年安徽)如图,弦CD垂直于⊙O的直径AB,垂足为H,且CD=,BD=,则AB的长为()
A.2B.3C.4D.5
5.(09年安徽)△ABC中,AB=AC,∠A为锐角,CD为AB边上的高,I为△ACD的内切圆圆心,则∠AIB的度数是()A.120°B.125°C.135°D.150°
6.(09年重庆)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径.若∠BOC=80°,则∠A等于()
A.60°B.50°C.40°D.30°
7.(09年兰州)如图,某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧),其跨度为24M,拱的半径为13M,则拱高为()
A.5MB.8MC.7MD.5M
8.(09年山东青岛市)一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示,其中有水部分水面宽0.8M,最深处水深0.2M,则此输水管道的直径是()
A.0.4MB.0.5MC.0.8MD.1M
9.(09山西省太原市)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,若以点C为圆心,CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D,则AC的长等于()
A.B.5C.D.6
10.(09年云南省)如图,A、D是⊙O上的两个点,BC是直径,若∠D=35°,则∠OAC的度数是()
A.35°B.55°C.65°D.70°
二、填空题(每小题3分,共30分)
11.(09年长沙)如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,∠BOC=44°,则∠A的度数为.
12.(09年长春)如图,点在以为直径的上,,则的长为.
13.(09年福州)如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,OD∥AC,若BD=1,则BC的长为
14.(09年北京市)如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,E为上一点,若∠CEA=,则∠ABD=°.
15.(09年山东青岛市)如图,AB为⊙O的直径,CD为⊙O的弦,∠ACD=42°,则∠BAD=__________°.
16.(09年新疆乌鲁木齐市)如图,点C、D在以AB为直径的⊙O上,且CD平分,若AB=2,∠CBA=15°,则CD的长为.
17.(09年广东省)已知⊙O的直径AB=8cm,C为⊙O上的一点,∠BAC=30则BC=______cm.
18.(09年山西省)如图所示,、、、是圆上的点,则—度.
19.(09年上海市)在⊙O中,弦AB的长为6,它所对应的弦心距为4,那么半径OA=.
20.(09成都)如图,△ABC内接于⊙O,AB=BC,∠ABC=120°,AD为⊙O的直径,AD=6,那么BD=_________.
三、解答题(共60分)
21.(本题6分)(09年广西钦州)已知:
如图,⊙O1与坐标轴交于A(1,0)、B(5,0)两点,点O1的纵坐标为.求⊙O1的半径.
22.(本题6分)(’09年四川省内江市)如图,四边形ABCD内接于圆,对角线AC与BD相交于点E、F在AC上,AB=AD,∠BFC=∠BAD=2∠DFC.
求证:
(1)CD⊥DF;
(2)BC=2CD.
第22题图
23.(本题6分)(09年甘肃庆阳)如图,在边长为2的圆内接正方形ABCD中,AC是对角线,P为边CD的中点,延长AP交圆于点E.
∠E=度;
25.(本题7分)(09年株洲市)如图,点、、是上的三点,.
(1)求证:
平分.
(2)过点作于点,交于点.若,,求的长.
26.(本题9分)(09年潍坊)如图所示,圆是的外接圆,与的平分线相交于点,延长交圆于点,连结.
(1)求证:
;
(2)若圆的半径为10cm,,求的面积.
参考答案
基础知识回放
①轴②中心③对称轴④圆心⑤弦⑥弧⑦弦⑧弧⑨相等⑩相等相等相等相等相等相等一半直角直径
例1、A例2、B例3、C
中考效能测试
1.B【解读】本题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系及垂径定理的应用.因为∠CDB=300,所以∠COB=600,所以在直角⊿COE中,OE=CO=,根据勾股定理可得CE=,所以CD=2CE=3cm.
2.D【解读】本题考查了圆周角和圆心角的有关知识。
根据圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,所以∠AOB=2∠C。
∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA,又∵∠OAB=28°,∴∠AOB=124°,所以∠C=62°.故选D.
3.B【解读】本题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系及垂径定理的应用.因为∠CDB=300,所以∠COB=600,所以在直角⊿COE中,OE=CO=,根据勾股定理可得CE=,所以CD=2CE=3cm.
4.B【解读】由垂径定理,可得DH=,所以BH=又可得△DHB∽△ADB.,所以有.本题考查了垂径定理及相似三角形判定与性质。
5.C【解读】由CD为腰上的高,I为△ACD的内心,则∠IAC+∠ICA=,
所以又可证△AIB≌△AIC,得
∠AIB=∠AIC=。
6.C【解读】考查圆周角定理.同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍,所以∠A是∠BOC的一半,答案为C.
7.B【解读】本题主要考查直角三角形和垂径定理的应用。
因为跨度AB=24m,拱所在圆半径为13m,所以找出圆心O并连接OB,延长CD到O,构成直角三角形,利用勾股定理和垂径定理求出DO=5,进而得拱高CD=CO-DO=13-5=8。
故选B。
8.D【解读】考查点:
本题考查圆的垂径定理和解直角三角形的有关知识。
解题思路:
根据题意,我们可以通过添加辅助线得到如下图形:
设圆的半径为R,则OA=R,由垂径定理可得AC=,OC=R-0.2,在中,利用勾股定理可得:
,解得R=0.5,故该圆的直径为(M)。
9.A【解读】本题考查圆中的有关性质,连接CD,∵∠C=90°,D是AB中点,AB=10,∴CD=AB=5,∴BC=5,根据勾股定理得AC=,故选A.
10.B【解读】本题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系。
法1:
在同圆或等圆中,同弧所对的圆心角是圆角角的2倍,所以∠AOC=2∠D=700,而⊿AOC中,AO=CO,所以∠OAC=∠OCA,而1800-∠AOC=1100,所以∠OAC=550.法2:
因为BC是直径,所以∠BAC=900,则∠OAC=900-∠BAO,而⊿AOB中,AO=BO,所以∠ABO=∠BAO,而∠ABO=∠D=350,从而问题得解。
11.22°【解读】本题考查了圆周角和圆心角的有关知识。
根据圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,所以本题的答案为。
12.5【解读】因为AB是圆的直径,则它所对的圆周角为直角,又,根据在直角三角形中,30度角所对的直角边等于斜边的一半,则BC=5。
13.2【解读】本题考查的是垂径定理和平行线、圆周角性质.因为AB是直径,所以它所对的圆周角为直角,再根据两条直线平行,同位角相等,所以OD⊥BD,根据垂径定理,可知,D为BD的中点,所以BC=2BD=2.
14.28【解读】本题综合考查了垂经定理和圆周角的求法及性质。
由垂径定理可知弧AC=弧AD,又根据在同圆或等圆中相等的弧所对的圆周角也相等的性质可知∠ABD=28°.解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题,不知从何处入手造成错解。
15.48【解读】连接OD,根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半可得,,又因OD=OA,
所以。
16.【解读】本题考查了垂径定理的基本图形.连接OC,过点O作OE,使OE⊥CD,垂足为点E,因为∠ABC=15°,
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