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57探索直角三角形全等的条件含答案
5.7探索直角三角形全等的条件
A卷:
基础题
一、选择题
1.如图1,AC=BD,∠C=∠D=90°,则Rt△ABC≌Rt△BAD所根据的条件是()
A.SASB.ASAC.AASD.HL
图1图2图3图4
2.下列说法正确的是()
A.一直角边对应相等的两个直角三角形全等;B.斜边相等的两个直角三角形全等
C.一边长相等的两个等腰直角三角形全等;D.斜边相等的两个等腰直角三角形全等
3.如图2所示,AB=AC,AD=AE,AF⊥BC于F,则图中全等的三角形有()
A.1对B.2对C.3对D.4对
4.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,∠A=∠B′,AB=A′B′,那么下列结论中正确的是()
A.AC=A′C′B.BC=B′C′C.AC=A′C′D.∠B=∠B′
5.如图3所示,D是∠ABC内一点,且点D到AB,BC的距离相等,即DE=DF,则△BDE≌△BDF的理由是()
A.HLB.AASC.ASAD.SSS
二、填空题
6.如图4所示,AB⊥BC于B,DC⊥BC于C,要使△ABC≌△DCB,还需添加一个条件是_______.
7.如图5所示,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD和CE交于点O,AO的延长线交BC于F,则图中有______对全等的三角形.
图5图6图7图8
8.如图6所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8cm,BC=4cm,线段EF=AB,E,F两点分别在AC和AC的垂线AD上移动,则AE=______时,△ABC和△AEF全等.
9.如图7,AC⊥BC于C,DE⊥AC于E,AD⊥AB于A,AB=AD,若BC=4cm,则AE=_____.
10.如图8所示,在△ABC中,∠C=90°,D点是线段AB的中点,DE⊥AB交BC于点E,如果AC=3cm,BC=4cm,那么△ACE的周长是_______.
三、解答题
11.如图9,AB=CD,DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,DE=BF,试说明AE=CF.
B卷:
提高题
一、七彩题
1.(一题多解题)如图所示,在Rt△ABC和Rt△BAD中,∠ACB=∠BDA=90°,AD=BC,CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,试说明CE=DF.
2.(巧解妙解题)如图所示,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AF⊥CD于F,试说明CF=DF.
3.(一题多变题)如图,在△ABC中,AB=AC,BD,CE都是△ABC的高,试说明BD=CE.
(1)一变:
如图,AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,试问BD和CE相等吗?
试说明理由.
(2)二变:
如图,BD=CE,BD⊥CD于D,BE⊥CE于E,试说明BE=CD.
二、知识交叉题
4.(科内交叉题)如图所示,AB⊥BC于B,CD⊥BC于C,点E是线段BC的中点,AC⊥DE于F,且AC=DE,若AB=5cm,求CD的长.
三、实际应用题
5.如图所示,A,B表示在河流MN同一旁的两个村庄,已知A,B到MN的距离AM=6km,BN=8km,且点M,N之间的距离为14km,现在要在河边建一个水泵站C,使A,B两村庄到C站的距离相等,问C站应建在距点M多远处,为什么?
四、经典中考题
6.(2007,芜湖,3分)如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD,CE交于点H,已知EH=EB=3,AE=4,则CH的长是()
A.1B.2C.3D.4
7.(2008,南宁,10分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF.
(1)图中有几对全等的三角形?
请一一列出;
(2)选择一对你认为全等的三角形说明理由.
五、探究学习篇
1.(阅读理解题)如图所示,D是BC的中点,AD⊥BC,E是BC上除B,D,C外任意一点,根据“SAS”,可说明△ADB≌△ADC,
所以AB=AC,∠B=∠C,
在△ABE和△ACE中,AB=AC,AE=AE,∠B=∠C,
但不能说明:
△ABE≌△ACE,因为这是“SSA”的情形.
△ABE是钝角三角形,△ACE是锐角三角形,它们不可能全等;如果两个三角形都是直角三角形,“SSA”就变成“HL”,就可以用来说明两个三角形全等,同样,如果我们知道两个三角形都是钝角三角形或锐角三角形,并且它们满足“SSA”的情形,也是一定能全等的,但必须通过构造直角三角形来间接说明.
问题:
已知如图,AD=AC,∠ADB=∠ACB>90°.
试说明:
∠ABC=∠ABD.
2.(条件开放题)已知:
如图所示,∠A=∠D=90°,且BE=CF.
(1)请你只加一个条件,使△ABC≌△DEF,你添加的条件是_________.
(2)添加条件后,说明△ABC≌△DEF.
参考答案
A卷
一、1.D点拨:
结合图形知AC,BD是两直角三角形的对应直角边,AB是公共斜边,所以根据“HL”可判定Rt△ABC≌Rt△BAD,故选D.
2.D点拨:
由一边一角不能确定两个三角形全等,所以A,B选项错误;在两个等腰直角三角形中,对应角是相等的,只要有一条边对应相等就能确定它们全等,在选项C中没有说明边长相等的两边是对应边,而选项D中斜边相等显然是对应边相等,故选D.
3.D点拨:
△ABD≌△ACE,△ABF≌△ACF,△ABF≌△ACD,△ADF≌△AEF.
4.C点拨:
根据已知条件画出草图如图所示,由∠C=∠C′=90°,∠A=∠B′,AB=A′B′,可得Rt△ABC≌Rt△B′A′C′(AAS),所以∠B=∠A′,AC=B′C′,BC=A′C′,故选C.
5.A点拨:
在Rt△BDE和Rt△BDF中,DE=DF,BD=BD,所以Rt△BDE≌Rt△BDF(HL).
二、6.AC=DB点拨:
本题是开放性题目,答案不惟一,由已知可知∠ABC=∠DCB=90°,BC=CB.从HL考虑可添加AC=DB;从SAS考虑可添加AB=DC;从ASA考虑可添加∠ACB=∠DBC;从AAS考虑可添加∠A=∠D.
7.7点拨:
△AEO≌△ADO,△ABO≌△ACO,△ABF≌△ACF,△BEO≌△CDO,△BOF≌△COF,△ABD≌△ACE,△BCE≌△CBD.
8.4cm或8cm点拨:
由AC⊥AD知∠CAD=90°,又∠ACB=90°,EF=AB,所以只需AE=CB或AE=CA,即AE=4cm或AE=8cm,就能判定△ABC和△AEF全等.
9.4cm点拨:
由AC⊥BC,DE⊥AC知∠C=∠AED=90°,又AD⊥AB,所以∠BAD=90°,即∠BAC+∠DAE=90°,在Rt△ABC中,∠B+∠BAC=90°,所以∠B=∠DAE,又因为AB=AD,所以△ABC≌△DAE(AAS),所以BC=AE,因为BC=4cm,所以AE=4cm.
10.7cm点拨:
因为D点是线段AB的中点,所以AD=BD,又因为DE⊥AB,所以∠ADE=∠BDE=90°,又DE=DE,所以△ADE≌△BDE(SAS),所以AE=BE.在△ACE中,AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=3+4=7(cm),即△ACE的周长为7cm.
三、11.解:
因为DE⊥AC,BF⊥AC,所以∠DEC=∠AFB=90°,在Rt△ABF和Rt△CDE中,BF=DE,AB=CD,所以Rt△ABF≌Rt△CDE(HL),所以AF=CE,所以AF-EF=CE-EF,即AE=CF.点拨:
先利用HL判定Rt△ABF≌Rt△CDE,再利用全等三角形的性质得以AF=CE,最后利用等式的性质得出AE=CF.
B卷
一、1.解法一:
在Rt△ABC和Rt△BAD中,BC=AD,AB=BA,所以Rt△ABC≌Rt△BAD(HL),所以∠CBE=∠DAF.因为CE⊥AB,DF⊥AB,所以∠CEB=∠DFA=90°.在△BCE和△ADF中,∠CEB=∠DFA=90°,∠CBE=∠DAF,BC=AD,所以△BCE≌△ADF(AAS),所以CE=DF.
解法二:
在Rt△ABC和Rt△BAD中,BC=AD,AB=BA,所以Rt△ABC≌Rt△BAD(HL),所以AC=BD,∠CAE=∠DBF.因为CE⊥AB,DF⊥AB,所以∠AEC=∠BFD=90°.在△ACE和△BDF中,∠CAE=∠DBF,∠AEC=∠BFD=90°,AC=BD,所以△ACE≌△BDF(AAS),所以CE=DF.点拨:
本题是通过两次判定直角三角形全等得出结论,其中第一次利用“HL”,第二次利用“AAS”,应注意的是,在判定直角三角形全等时,根据已知条件选取方法要适当.
2.解:
连接AC,AD.如图所示.在△ABC和△AED中,AB=AE,∠B=∠E,BC=ED,所以△ABC≌△AED(SAS),所以AC=AD.因为AF⊥CD,所以∠AFC=∠AFD=90°,在Rt△AFC和Rt△AFD中,AC=AD,AF=AF,所以Rt△AFC≌Rt△AFD(HL),所以CF=DF.
点拨:
本题通过构造三角形巧妙地把CF,DF置于两个三角形中,再次利用三角形全等获得结论,作辅助线构造全等三角形是几何问题中常用的方法之一.
3.解:
因为BD,CE都是△ABC的高,所以∠ADB=∠AEC=90°,在△ABD和△ACE中,∠ADB=∠AEC=90°,∠A=∠A,AB=AC,所以△ABD≌△ACE(AAS),所以BD=CE.
(1)相等.理由:
因为BD⊥AC,CE⊥AB,所以∠ADB=∠AEC=90°.在△ABD和△ACE中,∠ADB=∠AEC,∠BAD=∠CAE(对顶角相等),AB=AC,所以△ABD≌△ACE(AAS),所以BD=CE.点拨:
等腰三角形的顶角∠A由锐角变成钝角,两腰上的高仍然相等.
(2)如图所示.连接BC,因为BD⊥CD,BE⊥CE,所以∠BDC=∠BEC=90°,在Rt△BCE和Rt△CBD中,BD=CE,BC=CB,所以Rt△BCE≌Rt△CBD(HL),所以BE=CD.点拨:
连接BC,构造两个全等三角形是解题的关键.
二、4.解:
因为AB⊥BC,CD⊥BC,所以∠ABC=∠ECD=90°,所以∠BCA+∠DCF=90°,又因为AC⊥DE,所以∠CFD=90°,在Rt△CDF中,有∠CDE+∠DCF=90°,所以∠BCA=∠CDE.在△ECD和△ABC中,∠ECD=∠ABC=90°,∠CDE=∠BCA,ED=AC,所以△ECD≌△ABC(AAS),所以EC=AB,CD=BC,又点E是线段BC的中点,所以BC=2EC,所以CD=BC=2EC=2AB=2×5=10(cm).
点拨:
本题综合考查了垂直,线段的中点及全等三角形的判定和性质,利用全等三角形的对应边相等,将所求线段与已知线段建立了关系,进而求解.
三、5.解:
C站应建在距M点8km远处.理由如下:
因为CN=MN-MC=14-8=6(km),所以AM=CN=6km,MC=NB=8km.在△AMC和△CNB中,AM=CN,∠AMC=∠CNB=90°,MC=NB,所以△AMC≌△CNB(SAS),所以AC=CB.即C站应建在距点M8km远处.
点拨:
解决本题的关键是要看到所给数量关系的特殊性.
四、6.A点拨:
由∠1=∠2,∠2+∠ECB=90°,∠B+∠ECB=90°,知∠B=∠2=∠1,在Rt△CEB和Rt△AEH中,因为
,所以△CEB≌△AEH,所以CE=AE=4,所以CH=CE-EH=1.
7.解:
(1)△BDE≌△CDF,△AED≌△AFD,△ABD≌△ACD.
(2)因为DE⊥AB,DF⊥AC,所以△BDE和△CDF是直角三角形.因为D是BC的中点,所以BD=CD,所以在Rt△BDE和Rt△CDF中,BD=CD,BE=CF,所以Rt△BDE≌Rt△CDF.
五、
1.解:
如图所示,延长BC,BD,过A点分别作BC,BD的垂线,垂足分别为E,F.因为∠ACB=∠ADB,所以∠ACE=∠ADF(等角的补角相等).
在Rt△ACE和Rt△ADF中,
所以△ACE≌△ADF(AAS),所以AE=AF,又因为AB=AB,∠AEB=∠AFB=90°,所以Rt△ABE≌Rt△ABF.所以∠ABC=∠ABD.
点拨:
此类阅读理解题,要认真阅读所给材料,理解其实质,本题就是设法构造直角三角形,再根据三角形全等的判定方法说明三角形全等,进而说明线段相等.
2.解:
(1)AB=DE
(2)因为BE=CF,所以BE+EC=CF+EC,即BC=EF.在Rt△ABC和Rt△DEF中,AB=DE,BC=EF,所以Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).
点拨:
本题答案不惟一,还可添加AC=DF,利用“HL”说明△ABC≌△DEF;添加∠B=∠DEF或∠ACB=∠F,利用“AAS”说明△ABC≌△DEF;还可以间接添加AB∥DE或AC∥DF.
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