北师大版数学分解因式教案.docx

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北师大版数学分解因式教案

第二章分解因式

1．分解因式

教学目标

知识与技能：

（1）使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念．

（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法．

数学能力：

（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，培养学生的观察能力，进一步发展学生的类比思想．

（2）由整式乘法的逆运算过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力．

（3）通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养学生的分析问题能力与综合应用能力．

情感与态度：

让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度．

教学过程

一、看谁算得快

用简便方法计算：

（1）

=

（2）-2.67×132+25×2.67+7×2.67=

（3）992–1=．

二、看谁想得快

993–99能被哪些数整除？

你是怎么得出来的？

学生思考：

从以上问题的解决中，你知道解决这些问题的关键是什么？

三、看谁算得准

计算下列式子：

（1）3x（x-1）=；

（2）m（a+b+c）=；

（3）（m+4）（m-4）=；（4）（y-3）2=；

（5）a（a+1）（a-1）=．

根据上面的算式填空：

（1）ma+mb+mc=；

（2）3x2-3x=；

（3）m2-16=；（4）a3-a=；

（5）y2-6y+9=．

四、学生讨论

比较以下两种运算的联系与区别：

（1）a（a+1）（a-1）=a3-a

（2）a3-a=a（a+1）（a-1）

在第三环节的运算中还有其它类似的例子吗？

除此之外，你还能找到类似的例子吗？

结论：

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．

辨一辨：

下列变形是因式分解吗？

为什么？

（1）a+b=b+a

（2）4x2y–8xy2+1=4xy（x–y）+1

（3）a（a–b）=a2–ab（4）a2–2ab+b2=（a–b）2

五、随堂练习

1、看谁连得准

x2-y2.（x+1）2

9-25x2y（x-y）

x2+2x+1（3-5x）（3+5x）

xy-y2（x+y）（x-y）

2、下列哪些变形是因式分解，为什么？

（1）（a+3）（a-3）=a2-9

（2）a2-4=（a+2）（a-2）

（3）a2-b2+1=（a+b）（a-b）+1（4）2πR+2πr=2π（R+r）

六、小结

从今天的课程中，你学到了哪些知识？

掌握了哪些方法？

明白了哪些道理？

七、布置作业

习题2.1第1，2，3题

教学反思

传统教学中，总是先介绍因式分解的定义，然后通过大量的模仿练习来强化巩固学生对因式分解概念的记忆与理解，其本质上是对因式分解的概念进行强化记忆．

在新课程的教学中，对因式分解的记忆退到了次要的位置，它把因式分解作为培养学生逆向思维、全面思考、灵活解决矛盾的载体．在教师的指导下，学生通过因数分解类比出因式分解，对学生进行类比的数学思想培养，由整式的乘法与因式分解的对比，对学生的逆向思维能力进行培养，也使得学生对于因式分解概念的引入不至于茫然．

尽管新旧两种教法的对比上，新课程的教学不一定马上显露出强劲的优势，甚至可能因为强化练习较少，在短时间内，学生的成绩比不上传统教法的学生成绩，但从长远目标看来，这种对数学本质的训练会有效地提高学生的数学素养，培养出学生对数学本质的理解，而不仅仅是停留在对数学的机械模仿记忆的层面上．

总之，教学的着眼点，不是熟练技能，而是发展思维，使学生在学习的情感态度与价值观上发生深刻的变化．

2．提公因式法

（一）

教学目标

知识与技能：

（1）使学生经历探索寻找多项式各项的公因式的过程，能确定多项式各项的公因式；

（2）会用提取公因式法进行因式分解．

数学能力：

（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、对比等手段，确定多项式各项的公因式，加强学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力；

（2）由乘法分配律的逆运算过渡到因数分解，再由单项式与多项式的乘法运算过渡到因式分解，进一步发展学生的类比思想；

（3）寻找出确定多项式各项的公因式的一般方法，培养学生的初步归纳能力．

情感与态度：

进一步培养学生的矛盾对立统一的哲学观点以及实事求是的科学态度．

教学过程

一、算一算

计算：

（1）

学生回答：

你是用什么方法计算的？

这个式子的各项有相同的因数吗？

二、想一想

多项式ab+ac中，各项有相同的因式吗？

多项式x2+4x呢？

多项式mb2+nb–b呢？

结论：

多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．

三、议一议

多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式是什么？

结论：

（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；

（2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；

（3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．

四、试一试

将以下多项式写成几个因式的乘积的形式：

（1）ab+ac

（2）x2+4x（3）mb2+nb–b

如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

五、做一做

将下列多项式进行分解因式：

（1）3x+6

（2）7x2–21x（3）8a3b2–12ab3c+ab（4）–24x3–12x2+28x

学生归纳：

提取公因式的步骤：

（1）找公因式；

（2）提公因式．

易出现的问题：

（1）第（3）题中的最后一项提出ab后，漏掉了“+1”；

（2）第（4）题提出“–”时，后面的因式不是每一项都变号．

矫正对策：

（1）因式分解后括号内的多项式的项数与原多项式的项数是否相同；

（2）如果多项式的第一项带“–”，则先提取“–”号，然后提取其它公因式；

（3）将分解因式后的式子再进行单项式与多项式相乘，其积是否与原式相等．

六、随堂练习

1、找出下列各多项式的公因式：

（1）4x+8y

（2）am+an（3）48mn–24m2n3（4）a2b–2ab2+ab

2、将下列多项式进行分解因式：

（1）8x–72

（2）a2b–5ab（3）4m3–8m2　　

（4）a2b–2ab2+ab　　　（5）–48mn–24m2n3（6）–2x2y+4xy2–2xy

七、小结

从今天的课程中，你学到了哪些知识？

你认为提公因式法与单项式乘多项式有什么关系？

八、布置作业

习题2．2第1，2，3题．

教学反思

教学活动是学生与教师的双边活动，在这个过程中，学生应是学习的主体，教师应启发、指导学生进行探索活动，而不应越俎代庖．

在提公因式的教学中，很容易演变成以教师的灌输式教学为主，而学生主要是进行模仿练习，从知识的掌握上看，这种做法更有效，更快，但学生的探究能力和意识没有提高,数学思想方法渗透也不充分,最后导致的是学生数学素养的降低．

因而，在新课程理念下，我们应该倡导新型的教学形式——自主探究式的教学方式，即把学生置于主体地位，达到培养学生的创新能力的目的．教师在教学过程中不再是凌驾于学生之上的圣人，而是善于走进学生心灵世界真诚的合作者．学生由于主体性得到了体现，自然会产生求知和探究的欲望，会把学习当作乐事，最终达到学会、会学和乐学的境地；教师不再把自己视为工作者， 而是合作者．在合作中，教师与学生之间原有的“权威——服从”关系逐渐变成了“指导——参与”的关系．

2．提公因式法

（二）

教学目标

知识与技能：

（1）使学生经历从简单到复杂的螺旋式上升的认识过程．

（2）会用提取公因式法进行因式分解．

数学能力：

（1）培养学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力．

（2）从提取的公因式是一个单项式过渡到提取的公因式是多项式，进一步发展学生的类比思想．

情感与态度：

通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点．

教学过程

一、练一练

把下列各式因式分解：

（1）am+an

（2）a2b–5ab

（3）m2n+mn2–mn（4）–2x2y+4xy2–2xy

二、想一想

因式分解：

a（x–3）+2b（x–3）

三、做一做

在下列各式等号右边的括号前插入“+”或“–”号，使等式成立：

（1）2–a=（a–2）

（2）y–x=（x–y）

（3）b+a=（a+b）

（4）（b–a）2=（a–b）2

（5）–m–n=（m+n）

（6）–s2+t2=（s2–t2）

注意事项：

（1）首先注意分清前后两个多项式的底数部分是相等关系还是互为相反数的关系；

（2）当前后两个多项式的底数相等时，则只要在第二个式子前添上“+”；

（3）当前后两个多项式的底数部分是互为相反数时，如果指数是奇数，则在第二个式子前添上“–”；如果指数是偶数，则在第二个式子前添上“+”．

四、试一试

将下列各式因式分解：

（1）a（x–y）+b（y–x）

（2）3（m–n）3–6（n–m）2

五、随堂练习

1、填一填：

（1）3+a=（a+3）

（2）1–x=（x–1）

（3）（m–n）2=（n–m）2（4）–m2+2n2=（m2–2n2）

2、把下列各式因式分解：

（1）x（a+b）+y（a+b）

（2）3a（x–y）–（x–y）

（3）6（p+q）2–12（q+p）（4）a（m–2）+b（2–m）

（5）2（y–x）2+3（x–y）（6）mn（m–n）–m（n–m）2

六、议一议

把（a＋b－c）（a－b＋c）＋（b－a＋c）·（b－a－c）分解因式．

七、小结

从今天的课程中，你学到了哪些知识？

掌握了哪些方法？

八、布置作业

习题2．3第1，2题．

教学反思

对学生数学能力及数学思想方法的培养在初中数学教材中尽管没有专门章节进行训练，但始终渗透在整个初中数学的教学过程中．由于一些数学问题的解决思路常常是相通的，类比思想可以教会学生由此及彼，灵活应用所学知识，它是初中数学一个重要的数学思想．

运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握．如学生在接受提取公因式法时，由整式的乘法的逆运算到提取公因式的概念，由提取的公因式是单项式到提取的公因式是多项式时的分解方法，都是利用了类比的数学思想，从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然，容易理解，没有斧凿的痕迹．

教学中那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高；反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略表层知识的教学，就会使教学流于形式，成为无源之水，无本之木，学生也难以领略深层知识的真谛．因此数学思想的教学应与整个表层知识的讲授融为一体．

3．运用公式法

（一）

教学目标

知识与技能：

（1）使学生了解运用公式法分解因式的意义；

（2）会用平方差公式进行因式分解；

（3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式．

数学能力：

（1）发展学生的观察能力和逆向思维能力；

（2）培养学生对平方差公式的运用能力．

情感与态度：

在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法．

教学过程

一、练一练

1、填空：

（1）（x+3）（x–3）=；

（2）（4x+y）（4x–y）=；

（3）（1+2x）（1–2x）=；（4）（3m+2n）（3m–2n）=．

2、根据上面式子填空：

（1）9m2–4n2=；

（2）16x2–y2=；

（3）x2–9=；（4）1–4x2=．

二、想一想

观察上述第二组式子的左边有什么共同特征？

把它们写成乘积形式以后又有什么共同特征？

结论：

a2–b2=（a+b）（a–b）

三、做一做

把下列各式因式分解：

（1）25–16x2

（2）9a2–

四、议一议

将下列各式因式分解：

（1）9（x–y）2–（x+y）2

（2）2x3–8x

五、随堂练习

1、判断正误：

（1）x2+y2=（x+y）（x–y）（）

（2）–x2+y2=–（x+y）（x–y）（）

（3）x2–y2=（x+y）（x–y）（）

（4）–x2–y2=–（x+y）（x–y）（）

2、把下列各式因式分解：

（1）4–m2

（2）9m2–4n2

（3）a2b2－m2（4）（m－a）2－（n＋b）2

（5）–16x4＋81y4（6）3x3y–12xy

3、如图，在一块边长为a的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b的正方形．用a与b表示剩余部分的面积，并求当a=3.6，b=0.8时的面积．

六、小结

从今天的课程中，你学到了哪些知识？

掌握了哪些方法？

学生认识到了以下事实：

（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式；

（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；

（3）平方差公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式；

七、布置作业

习题2．4第1、2、3题

教学反思

逆向思维是一种启发智力的方式，它有悖于人们通常的习惯，而正是这一特点，使得许多靠正向思维不能或是难于解决的问题迎刃而解．一些正向思维虽能解决的问题，在它的参与下，过程可以大大简化，效率可以成倍提高．正思与反思就象分析的一对翅膀，不可或缺．

传统的课堂教学结果表明：

许多学生之所以处于低层次的学习水平，有一个重要因素，即逆向思维能力薄弱，定性于顺向学习公式、定理等并加以死板套用，缺乏创造能力、观察能力、分析能力和开拓精神．

因此，培养学生的逆向思维能力，不仅对提高解题能力有益，更重要的是改善学生学习数学的思维方式，有助于形成良好的思维习惯，激发学生的创新开拓精神，培养良好的思维习性，提高学习效果、学习兴趣，及思维能力和整体素质．

3．运用公式法

（二）

教学目标

知识与技能：

（1）使学生了解运用公式法分解因式的意义；

（2）会用完全平方公式进行因式分解；

（3）使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．

数学能力：

（1）发展学生的观察能力和逆向思维能力；

（2）培养学生对完全平方公式的运用能力．

情感与态度：

通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生感受事物间的因果联系．

教学过程

一、做一做

1、填空：

（1）（a+b）（a-b）=；

（2）（a+b）2=；

（3）（a–b）2=；

2、根据上面式子填空：

（1）a2–b2=；

（2）a2–2ab+b2=；

（3）a2+2ab+b2=；

结论：

形如a2+2ab+b2与a2–2ab+b2的式子称为完全平方式．

二、辨一辨

观察下列哪些式子是完全平方式？

如果是，请将它们进行因式分解．

（1）x2–4y2

（2）x2+4xy–4y2（3）4m2–6mn+9n2（4）m2+6mn+9n2

结论：

找完全平方式可以紧扣下列口诀：

首平方、尾平方，首尾相乘两倍在中央；

完全平方式可以进行因式分解，

a2–2ab+b2=（a–b）2a2+2ab+b2=（a+b）2

三、试一试

把下列各式因式分解：

（1）x2–4x+4

（2）9a2+6ab+b2

（3）m2–

（4）

四、想一想

将下列各式因式分解：

（1）3ax2+6axy+3ay2

（2）–x2–4y2+4xy

五、随堂练习

1、判断正误：

（1）x2+y2=（x+y）2（）

（2）x2–y2=（x–y）2（）

（3）x2–2xy–y2=（x–y）2（）

（4）–x2–2xy–y2=–（x+y）2（）

2、下列多项式中，哪些是完全平方式？

请把是完全平方式的多项式分解因式：

（1）x2–x+

（2）9a2b2–3ab+1

（3）

（4）

3、把下列各式因式分解：

（1）m2–12mn+36n2

（2）16a4+24a2b2+9b4

（3）–2xy–x2–y2（4）4–12（x–y）+9（x–y）2

六、小结

从今天的课程中，你学到了哪些知识？

掌握了哪些方法？

你认为分解因式中的平方差公式以及完全平方公式与乘法公式有什么关系？

结论：

由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．

七、布置作业

习题2．5第1、2、3题；

教学反思

逆向思维是指由果索因，知本求源，从原问题的相反方向着手的一种思维．它是数学思维的一个重要原则，是创造思维的一个组成部分，也是进行思维训练的载体，培养学生逆向思维过程也是培养学生思维敏捷性的过程．

数学概念、定义总是双向的，我们在平时的教学中，只秉承了从左到右的运用，于是形成了定性思维，对于逆用公式法则等很不习惯．因此在概念的教学中，除了让学生理解概念本身及其常规应用外，还要善于引导启发学生反过来思考，从而加深对概念的理解与拓展．

整式乘法中的完全平方公式从左到右转换为从右到左就形成因式分解的完全平方公式，这样的转换正是由正向思维转到逆向思维的能力的体现．

回顾与思考

教学目标

知识与技能：

（1）使学生进一步了解分解因式的意义及几种因式分解的常用方法；

（2）提高学生因式分解的基本运算技能；

（3）能熟练使用几种因式分解方法的综合运用．

数学能力：

（1）发展学生对因式分解的应用能力，提高解决问题的能力；

（2）注重学生对因式分解的理解，发展学生分析问题的能力和推理能力．

情感与态度：

通过因式分解综合练习和开放题练习，提高学生观察、分析问题的能力，培养学生的开放意识；通过认识因式分解在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识．

教学过程

一、回顾思考

1、你学过哪些因式分解的方法？

举一个例子说明其中用到了哪些方法？

2、你认为分解因式与整式的乘法之间有什么关系？

二、辨析题

下列哪些式子的变形是因式分解？

（1）x2–4y2=（x+2y）（x–2y）

（2）x（3x+2y）=3x2+2xy

（3）4m2–6mn+9n2=2m（2m–3n）+9n2（4）m2+6mn+9n2=（m+3n）2

三、做一做

把下列各式因式分解：

（1）x2+14x+49

（2）7x2–63

（3）y2–9（x+y）2（4）（x+y）2–14（x+y）+49

（5）16–（2a+3b）2（6）

（7）a4–8a2b2+16b4（8）（a2+4）2–16a2

四、试一试

1、在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．

原理是：

如对于多项式x4–y4，因式分解的结果是（x–y）（x+y）（x2+y2），若取x=9，y=9时，则

各个因式的值是（x–y）=0，（x+y）=18，（x2+y2）=162，于是就可以把“018162”作为一个六位

数的密码对于多项式4x3–xy2，取x=10，y=10时，上述方法产生的密码可以是．

2、如图，在一个半径为R的圆形钢板上，冲去半径为r的四个小圆．

（1）用代数式表示剩余部分的面积；

（2）用简便方法计算：

当R=7.5，r=1.25时，剩余部分的面积．

五、想一想

计算：

（1）32004–32003

（2）（–2）101+（–2）100（3）已知x+y=1，求

的值．

六、开放题

请你出一道含因式分解知识的习题给你的同伴解答．

七、随堂练习

1、把下列各式因式分解：

（1）x3y2–4x

（2）a3–2a2b+ab2

（3）a3+2a2+a（4）（x–y）2–4（x+y）2

2、填空：

（1）若一个正方形的面积是9x2+12xy+4y2，则这个正方形的边长是；

（2）当k=时，100x2–kxy+49y2是一个完全平方式；

（3）计算：

20062–2×6×2006+36=；

3、利用因式分解计算：

．

八、布置作业

复习题第2题；第3题，第4题；第9题．

教学反思

在传统教育中，人们都感觉到数学并没有什么很大的用途，数学与生活是脱节的，在我们的教学中，很难找到生活的影子，我们的学生只会用所学的知识解答课本中的一些习题，缺乏应用所学的数学知识去解决生活中一些实际问题的主动性与能力，以至在学生的头脑中数学与实际生活经验构成了两个互不相干的认知场．正是这种人为的将数学与生活隔离开来，使得很多学生对数学产生了惧怕的心理．

数学来源于生活，并应用于生活，让学生用数学的眼光观察生活，除了用所学的数学知识解决一些生活问题外，还可以从数学的角度来解释生活中的一些现象，面向生活是学生发展的“源头活水”．

第四环节的两道题的设置有着很浓厚的生活气息，也使学生了解到原来生活中也存在很多数学知识，包括因式分解的知识．培养学生去留心观察我们周围的生活、强调将生活问题带进数学，同时也尝试让学生带着数学走进生活，唯有如此，才能更好地培养学生初步的创新精神和实践能力，才能使学生在情感态度和数学素养等方面都得到充分发展．