中考数学一轮复习培优训练《三角形》及答案.docx
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中考数学一轮复习培优训练《三角形》及答案
2020年中考数学一轮复习培优训练:
《三角形》
1.点D为△ABC外一点,∠ACB=90°,AC=BC.
(1)如图1,∠DCE=90°,CD=CE,求证:
∠ADC=∠BEC;
(2)如图2,若∠CDB=45°,AE∥BD,CE⊥CD,求证:
AE=BD;
(3)如图3,若∠ADC=15°,CD=
,BD=n,请直接用含n的式子表示AD的长.
2.如图,△ABC是等边三角形,D是BC边的中点,以D为顶点作一个120°的角,角的两边分别交直线AB、直线AC于M、N两点.以点D为中心旋转∠MDN(∠MDN的度数不变),当DM与AB垂直时(如图①所示),易证BM+CN=BD.
(1)如图②,当DM与AB不垂直,点M在边AB上,点N在边AC上时,BM+CN=BD是否仍然成立?
若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(2)如图③,当DM与AB不垂直,点M在边AB上,点N在边AC的延长线上时,BM+CN=BD是否仍然成立?
若不成立,请写出BM,CN,BD之间的数量关系,不用证明.
3.如下图,在△ABC中,AB=BC,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD与BE交于点F,BH⊥AB于点B,点M是BC的中点,连接FM并延长交BH于点H.
(1)在图1中,∠ABC=60°,AF=3时,FC= ,BH= ;
(2)在图2中,∠ABC=45°,AF=2时,FC= ,BH= ;
(3)从第
(1)、
(2)中你发现了什么规律?
在图3中,∠ABC=30°,AF=1时,试猜想BH等于多少?
并证明你的猜想.
4.在图1、2中,已知∠ABC=120°,BD=2,点E为直线BC上的动点,连接DE,以DE为边向上作等边△DEF,使得点F在∠ABC内部,连接BF.
(1)如图1,当BD=BE时,∠EBF= ;
(2)如图2,当BD≠BE时,
(1)中的结论是否成立?
若成立,请予以证明,若不成立请说明理由;
(3)请直接写出线段BD,BE,BF之间的关系式.
5.在△ABC中,AC=BC,点E是在AB边上一动点(不与A、B重合),连接CE,点P是直线CE上一个动点.
(1)如图1,∠ACB=120°,AB=16,E是AB中点,EM=2,N是射线CB上一个动点.
试确定点P和点N的位置,使得NP+MP的值最小.
①请你在图2中画出点P和点N的位置,并简述画法:
.
②直接写出NP+MP的最小值 .
(2)如图3,∠ACB=90°,连接BP,∠BPC=75°且BC=BP求证:
PC=PA.
6.探究题:
如图,AB⊥BC,射线CM⊥BC,且BC=5cm,AB=1cm,点P是线段BC(不与点B、C重合)上的动点,过点P作DP⊥AP交射线CM于点D,连结AD.
(1)如图1,若BP=4cm,则CD= ;
(2)如图2,若DP平分∠ADC,试猜测PB和PC的数量关系,并说明理由;
(3)若△PDC是等腰三角形,则CD= cm.(请直接写出答案)
7.综合与探究
如图,在平面直角坐标系中,∠ABC=90°,AB=BC,点A(2,0)、B(0,1).
(1)在图①中,点C坐标为 ;
(2)如图②,点D在线段OA上,连接BD,作等腰直角三角形BDE,∠DBE=90°,连接CE.证明:
AD=CE;
(3)在图②的条件下,若C、D、E三点共线,求OD的长;
(4)在y轴上找一点F,使△ABF面积为2.请直接写出所有满足条件的点F的坐标.
8.已知点P是线段MN上一动点,分别以PM,PN为一边,在MN的同侧作△APM,△BPN,并连接BM,AN.
(Ⅰ)如图1,当PM=AP,PN=BP且∠APM=∠BPN=90°时,试猜想BM,AN之间的数量关系与位置关系,并证明你的猜想;
(Ⅱ)如图2,当△APM,△BPN都是等边三角形时,(Ⅰ)中BM,AN之间的数量关系是否仍然成立?
若成立,请证明你的结论;若不成立,试说明理由.
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,连接AB得到图3,当PN=2PM时,求∠PAB度数.
9.阅读下列材料,完成
(1)~(3)题:
数学课上,老师出示了这样一道题:
如图1,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D是BC的中点,E是AC的中点,经过点A、C作射线BE的垂线,垂足分别为点F、G,连接AG.探究线段DF和AG的关系.某学习小组的同学经过思考后,交流了自己的想法:
小明:
“经过观察和度量,发现∠ABF和∠ACG相等.”小刚:
“经过观察和度量,发现有两条线段和AF相等.”
小伟:
“通过构造全等三角形,经过进一步推理,可以得到线段DF和AG的关系.”
……
老师:
“若点E不是AC的中点,其他条件不变(如图2),可以求出
的值.”
(1)求证:
AF=FG;
(2)探究线段DF和AG的关系,并证明;
(3)直接写出
的值.
10.在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B,C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.
(1)如图1,当点D在线段BC上,如果∠BAC=90°,则∠BCE= 度;
(2)如图2,如果∠BAC=60°,则∠BCE= 度;
(3)设∠BAC=α,∠BCE=β.
①如图3,当点D在线段BC上移动,则α,β之间有怎样的数量关系?
请说明理由;
②当点D在直线BC上移动,请直接写出α,β之样的数量关系,不用证明.
11.在平面直角坐标系中,点A(0,m)和点B(n,0)分别在y轴和x轴的正半轴上,满足(m﹣n)2+|m+n﹣8|=0,连接线段AB,点C为AB上一动点.
(1)填空:
m= ,n= ;
(2)如图,连接OC并延长至点D,使得DC=OC,连接AD.若△AOC的面积为2,求点D的坐标;
(3)如图,BC=OB,∠ABO的平分线交线段AO于点E,交线段OC于点F,连接EC.求证:
①△ACE为等腰直角三角形;
②BF﹣EF=OC.
12.如图,在平面直角坐标系中,点B的坐标是(﹣1,0),点C的坐标是(1,0),点D为y轴上一点,点A为第二象限内一动点,且∠BAC=2∠BDO,BD与AC交于点F,过D作DM⊥AC于点M.
(1)求证:
∠ABD=∠ACD.
(2)若点E在BA延长线上,求证:
AD平分∠CAE.
(3)在线段MC上取点G,使DG=AD,求证:
AB=CG.
13.如图
(1),在四边形ABCD中,已知∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD,AB⊥AD,点E在CD的延长线上,且∠BAC=∠DAE.
(1)求证:
AC=AE;
(2)求证:
CA平分∠BCD;
(3)如图
(2),设AF是△ABC的边BC上的高,试求CE与AF之间的数量关系.
14.如图1,在△ABC中,AB=AC,点D是BC边上一点(不与点B,C重合),以AD为边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.设∠BAC=α,∠BCE=β.
(1)求证:
△CAE≌△BAD;
(2)探究:
当点D在BC边上移动时,α、β之间有怎样的数量关系?
请说明理由;
(3)如图2,若∠BAC=90°,CE与BA的延长线交于点F.求证:
EF=DC.
15.
(1)如图1,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.求证:
DE=DF,AE=AF.
(2)如图2,在
(1)的情况下,如果∠MDN=∠EDF,∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点,其它条件不变,那么AM,AN,AF有怎样的数量关系?
并加以证明.
(3)如图3,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=60°,AC=6,AD平分∠BAC交BC于D,∠MDN=120°,ND∥AB,四边形AMDN的周长为 .(直接写答案).
参考答案
1.
(1)证明:
∵∠DCE=∠ACB=90°,
∴∠ACD=∠BCE,
又∵AC=BC,CE=CD,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴∠ADC=∠BEC.
(2)如图1,延长DC交AE于F,连BF,
∵AE∥BD,
∴∠EFC=∠CDB=45°.
∵EC⊥CD,∠CEF=∠CFE=45°,
∴EC=CF.
∵∠ACE=∠BCF,AC=BC,
∴△ACE≌△BCF(SAS),
∴AE=BF,∠BFC=∠AEC=45°=∠FDB,
∴BF=BD,
∴AE=BD;
(3)如图2,过点C在CD上方作CE⊥CD,CE=CD,连BE、DE.
设AD、BE交于点O,由
(1)知△ACD≌△BCE(SAS),∠BEC=∠ADC=15°,
∴∠DOE=∠DCE=90°.
又∵∠CED=∠CDE=45°,
∴
=2,
∴∠BED=30°,
∴OD=
DE=
×2=1,
∴
=
,OB=
=
,
∴AD=BE=OB+OE=
+
.
2.解:
(1)结论BM+CN=BD成立,理由如下:
如图②,过点D作DE∥AC交AB于E,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C=60°,
∵DE∥AC,
∴∠BED=∠A=60°,∠BDE=∠C=60°,
∴∠B=∠BED=∠BDE=60°,
∴△BDE是等边三角形,∠EDC=120°,
∴BD=BE=DE,∠EDN+∠CDN=120°,
∵∠EDM+∠EDN=∠MDN=120°,
∴∠CDN=∠EDM,
∵D是BC边的中点,
∴DE=BD=CD,
在△CDN和△EDM中,
,
∴△CDN≌△EDM(ASA),
∴CN=EM,
∴BD=BE=BM+EM=BM+CN;
(2)上述结论不成立,BM,CN,BD之间的数量关系为:
BM﹣CN=BD;理由如下:
如图③,过点D作DE∥AC交AB于E,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C=60°,
∴∠NCD=120°,
∵DE∥AC,
∴∠BED=∠A=60°,∠BDE=∠C=60°,
∴∠B=∠BED=∠BDE=60°,
∴△BDE是等边三角形,∠MED=∠EDC=120°,
∴BD=BE=DE,∠NCD=∠MED,∠EDM+∠CDM=120°,
∵∠CDN+∠CDM=∠MDN=120°,
∴∠CDN=∠EDM,
∵D是BC边的中点,
∴DE=BD=CD,
在△CDN和△EDM中,
,
∴△CDN≌△EDM(ASA),
∴CN=EM,
∴BD=BE=BM﹣EM=BM﹣CN,
∴BM﹣CN=BD.
3.解:
(1)如图①连接CF,
∵AD⊥BC,BE⊥AC,
∴CF⊥AB,
∵BH⊥AB,
∴CF∥BH,
∴∠CBH=∠BCF,
∵点M是BC的中点,
∴BM=MC,
在△BMH和△CMF中,
,
∴△BMH≌△CMF(ASA),
∴BH=CF,
∵AB=BC,BE⊥AC,
∴BE垂直平分AC,
∴AF=CF,
∴BH=AF,
∴AF=CF=BH=3,
故答案为:
3,3;
(2)如图②,连接CF,
∵AD⊥BC,BE⊥AC,
∴CF⊥AB,
∵BH⊥AB,
∴CF∥BH,
∴∠CBH=∠BCF,
∵点M是BC的中点,
∴BM=MC,
在△BMH和△CMF中,
,
∴△BMH≌△CMF(ASA),
∴BH=CF,
∵AB=BC,BE⊥AC,
∴BE垂直平分AC,
∴AF=CF,
∴BH=AF,
∴AF=CF=BH=2,
故答案为:
2,2;
(3)从第
(1)、
(2)中发现AF=CF=BH;
猜想BH=1,
理由如下:
如图③,连接CF,
∵AD⊥BC,BE⊥AC,
∴CF⊥AB,
∵BH⊥AB,
∴CF∥BH,
∴∠CBH=∠BCF,
∵点M是BC的中点,
∴BM=MC,
在△BMH和△CMF中,
,
∴△BMH≌△CMF(ASA),
∴BH=CF,
∵AB=BC,BE⊥AC,
∴BE垂直平分AC,
∴AF=CF,
∴BH=AF,
∴AF=CF=BH=1.
4.解:
(1)∵△DEF是等边三角形,
∴DF=EF=DE,∠DFE=60°,
∵BD=BE,DF=EF,BF=BF,
∴△DBF≌△EBF(SSS)
∴∠DBF=∠EBF,且∠DBF+∠EBF=120°,
∴∠EBF=60°,
故答案为:
60°;
(2)结论仍然成立,
理由如下:
如图2,过点F作FG⊥BC,FH⊥AB,
∵∠DFE=60°,∠ABC=120°,
∴∠FDB+∠FEB=180°,且∠FEB+∠FEG=180°,
∴∠FDB=∠FEG,且∠FHD=∠FGE=90°,FD=EF,
∴△FDH≌△FEG(AAS)
∴FH=FG,且FG⊥BC,FH⊥AB,
∴∠ABF=∠FBE=60°;
(3)由
(2)可知:
△FDH≌△FEG,
∴DH=EG,
∴BD+BE=BH+DH+BE=BH+BG,
∵∠ABF=∠FBE=60°,FG⊥BC,FH⊥AB,
∴∠BFH=∠BFG=30°,
∴BF=2BH=2BG,
∴BF=BH+BG=BD+BE.
5.解:
(1)①如图2所示:
作点M关于CE的对称点M',过点M'作M'N⊥BC,垂足为N,交EC于点P,
∵点M与点M'关于EC对称,
∴MP=M'P,
∴NP+MP=NP+M'P,
∴点N,点P,点M'三点共线,且M'N⊥BC时,NP+MP的值最小;
故答案为:
作点M关于CE的对称点M',过点M'作M'N⊥BC,垂足为N,交EC于点P;
②∵∠ACB=120°,BC=CA,AB=16,E是AB中点,
∴∠B=30°,BE=AE=8,且EM=2,
∴BM'=10,
∵∠B=30°,M'N⊥BC,
∴MN'=5,
∴NP+MP的最小值为5,
故答案为:
5;
(2)如图3,在BE上截取EF=PE,
∵∠BPC=75°,BC=BP,
∴∠BCP=∠BPC=75°,
∴∠CBP=30°,
∵∠ACB=90°,AC=CB,
∴∠CBA=∠CAB=45°,
∴∠ABP=15°,
∵∠BPC=∠PBE+∠BEP=75°,
∴∠BEP=60°,且EF=PE,
∴△PEF是等边三角形,
∴PE=PF=EF,∠FPE=60°=∠PFE,
∵∠PFE=∠PBE+∠BPF,∠PEF=∠BAC+∠ACE,
∴∠BPF=∠BAC=45°,∠ACE=∠PBF=15°,且BP=BC=AC,
∴△BPF≌△CAP(ASA)
∴PF=AE,
∴PE=AE,∠PEA=180°﹣∠BEP=120°,
∴∠EPA=∠PAE=30°,
∵∠EPA=∠PCA+∠PAC=30°,
∴∠PCA=∠PAC=15°,
∴PC=PA.
6.解:
(1)∵BC=5cm,BP=4cm,
∴PC=1cm,
∴AB=PC,
∵DP⊥AP,
∴∠APD=90°,
∴∠APB+∠CPD=90°,
∵∠APB+∠CPD=90°,∠APB+∠BAP=90°,
∴∠BAP=∠CPD,
在△ABP和△PCD中,
,
∴△ABP≌△PCD,
∴BP=CD=4cm;
(2)PB=PC,
理由:
如图2,延长线段AP、DC交于点E,
∵DP平分∠ADC,
∴∠ADP=∠EDP.
∵DP⊥AP,
∴∠DPA=∠DPE=90°,
在△DPA和△DPE中,
,
∴△DPA≌△DPE(ASA),
∴PA=PE.
∵AB⊥BP,CM⊥CP,
∴∠ABP=∠ECP=Rt∠.
在△APB和△EPC中,
,
∴△APB≌△EPC(AAS),
∴PB=PC;
(3)∵△PDC是等腰三角形,
∴△PCD为等腰直角三角形,即∠DPC=45°,
又∵DP⊥AP,
∴∠APB=45°,
∴BP=AB=1cm,
∴PC=BC﹣BP=4cm,
∴CD=CP=4cm,
故答案为:
4.
7.
(1)解:
如图①中,作CH⊥y轴于H.
∵A(2,0),B(0,1),
∴OA=2,OB=1,
∵∠CHB=∠AOB=∠ABC=90°,
∴∠ABO+∠OAB=90°,∠ABO+∠CBH=90°,
∴∠CBH=∠OAB,
∵AB=BC,
∴△AOB≌△BHC(AAS),
∴CH=OB=1,OA=BH=2,
∴OH=OB+BH=3,
∴C(1,3).
故答案为(1,3).
(2)证明:
如图②中,
∵△DBE,△ABC都是等腰直角三角形,
∴∠DBE=∠ABC=90°,BD=BE,BA=BC,
∴∠DBA=∠EBC,
∴△DBA≌△EBC(SAS),
∴EC=AD.
(3)解:
如图②中,设CD交AB于J.
∵△DBA≌△EBC,C,E,D共线,
∴∠BCD=∠BAD,
∵∠BCD+∠CJB=90°,∠CJB=∠AJD,
∴∠BAD+∠AJD=90°,
∴∠ADJ=90°,
∴CD⊥OA,
∵C(1,3),
∴OD=1.
(4)解:
设F(0,m).
由题意:
•|m﹣1|•2=2,
∴m=3或﹣1,
∴F(0,3)或(0,﹣1)
8.解:
(Ⅰ)结论:
BM=AN,BM⊥AN.
理由:
如图1中,
∵MP=AP,∠APM=∠BPN=90°,PB=PN,
∴△MBP≌△ANP(SAS),
∴MB=AN.
延长MB交AN于点C.
∵△MBP≌△ANP,
∴∠PAN=∠PMB,
∵∠PAN+∠PNA=90°,
∴∠PMB+∠PNA=90°,
∴∠MCN=180°﹣∠PMB﹣∠PNA=90°,
∴BM⊥AN.
(Ⅱ)结论成立
理由:
如图2中,
∵△APM,△BPN,都是等边三角形
∴∠APM=∠BPN=60°
∴∠MPB=∠APN=120°,
又∵PM=PA,PB=PN,
∴△MPB≌△APN(SAS)
∴MB=AN.
(Ⅲ)如图3中,取PB的中点C,连接AC,AB.
∵△APM,△PBN都是等边三角形
∴∠APM=∠BPN=60°,PB=PN
∵点C是PB的中点,且PN=2PM,
∴PC=PA=PM=
PB=
PN,
∵∠APC=60°,
∴△APC为等边三角形,
∴∠PAC=∠PCA=60°,
又∵CA=CB,
∴∠CAB=∠ABC=30°,
∴∠PAB=∠PAC+∠CAB=90°.
9.
(1)证明:
如图1中,作AH⊥AG交BG于H.
∵∠BAC=∠HAG=90°,
∴∠BAH=∠CAG,
∵BG⊥CG,
∴∠EAB=∠EGC=90°,
∵∠AEB=∠CEG,
∴∠ABH=∠ACG,
∵AB=AC,
∴△ABH≌△ACG(ASA),
∴AH=AG,
∵AF⊥FG,∠HAG=90°,
∴FH=FG,
∴AF=FG=FH.
(2)解:
结论:
AG=2DF,DF⊥AG.
理由:
如图2中,连接AD,DG,作DK⊥BG于K.
∵∠BAC=∠BGC=90°,BD=CD,
∴DA=DG=
BC,
∵DF=DF,AF=FG,
∴△DFA≌△DFG(SSS),
∴∠ADF=∠GDF,
∴DF⊥AG,
∵DK∥CG,BD=DC,
∴BK=KG,
∴DK=
CG,
∵AE=CE,∠AFE=∠CGE,∠AEF=∠CEG,
∴△AEF≌△CGE(AAS),
∴AF=CG=2DK,
∵△ADF≌△GDF,
∴∠AFD=∠GFD=135°,
∵∠AFK=90°,
∴∠DFK=45°,
∴DF=
DK
∵AG=
AF,
∴AG=2DF.
(3)由
(2)可知:
CG=2DK,DF=
DK,
∴
=
=
10.解:
(1)∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∵∠DAE=∠BAC,
∴∠BAD=∠CAE,且AB=AC,AD=AE,
∴△BAD≌△CAE(SAS)
∴∠ABC=∠ACE=45°,
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°,
故答案为:
90;
(2)∵∠BAC=60°,AB=AC,
∴△ABC为等边三角形,
∴∠ABD=∠ACB=60°,
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,
∵∠BAD=∠CAE,且AB=AC,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠ABD=∠ACE=60°,
∴∠BCE=∠ACE+∠ACB=60°+60°=120°,
故答案为:
120.
(3)①α+β=180°,
理由:
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC.
即∠BAD=∠CAE.
在△ABD与△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠B=∠ACE.
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB.
∵∠ACE+∠ACB=β,
∴∠B+∠ACB=β,
∵α+∠B+∠ACB=180°,
∴α+β=180°.
②如图1:
当点D在射线BC上时,α+β=180°,
连接CE,
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠ABD=∠ACE,
在△ABC中,∠BAC+∠B+∠ACB=180°,
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°,
即:
∠BCE+∠BAC=180°,
∴α+β=180°,
如图2:
当点D在射线BC的反向延长线上时,α=β.
连接BE,
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE,且AB=AC,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠ABD=∠ACE,
∴∠ABD=∠ACE=∠ACB+∠BCE,
∴∠ABD+∠ABC=∠ACE+∠ABC=∠ACB+∠BCE+∠ABC=180°,
∵∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB,
∴∠BAC=∠BCE.
∴α=β;
综上所述:
点D在直线BC上移动,α+β=180°或α=β.
11.解:
(1)∵(m﹣n)2+|m+n﹣8|=0,
∴m=n=4,
故答案为:
4,4;
(2)如图1,过点C作CH⊥OA,CG⊥OB,
∵点A(0,4)和点B(4,0),
∴OA=OB=4,
∴S△ABO=
×4×4=8,
∵△AOC的面积为2,
∴
AO×CH=
×4×CH=2,S△BOC=6=
×OB×CG=
×4×CG,
∴CH=1,CG=3,
∴点C(1,3),
∵DC=OC,
∴点D(2,6)
(3)①∵OA=OB=4,∠AOB=90°,
∴∠OAB=∠OBA=45°,
∵BE平分∠ABO,
∴∠EBO=∠EBC,且BE=BE,OB=OC,
∴△OBE≌△CBE(SAS)
∴∠EOB=∠ECB=90°,
∴∠ACE=90°,且∠OAB=45°,
∴∠CAE=∠AEC=45°,
∴AC=CE,且∠ACE=90°,
∴△ACE是等腰直角三角形;
②如图2,作OM平分∠AOB,交BE于点M,
∵OM平分∠AOB,
∴∠AOM=∠BOM=45°,
∴∠AOM=∠BOM=∠OAB=∠OBA,
∵OB=OC,BE平分∠ABO,∠ABO=45°,
∴∠OBE=22.5°,BE⊥OC,∠COB=∠OCB=67.5°,
∴∠AOC=22.5°=∠COM,
∴∠AOC=∠BOM,且OB=OA,∠OAB=∠OBM,
∴△ACO≌△OMB(ASA)
∴BM=OC,
∵∠EFO=∠MFO=90°,OF=OF
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