全国Ⅰ卷理科数学高考真题.docx
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全国Ⅰ卷理科数学高考真题
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项:
i.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2•回答选择题时,选岀每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用
橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3•考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回
题目要求的
1i
1•设z2i,则|z|
1i
1
A.0B.-
2
C.1
D•.2
2.已知集合Axx2x2
0,则命A
A.x1x2
B.x1x2
C.x|x1Ux|x2D.x|x1Ux|x2
3•某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村
的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:
建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是
A.新农村建设后,种植收入减少
B•新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍
D•新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4•记Sn为等差数列an的前n项和若3SsS2S4,ai2,则
A•12
B.10
c.10
12
5.
设函数f(x)
x3(a1)x2ax.若
f(x)为奇函数,则曲线
yf(x)在点(0,0)处的切线方程
a.y2x
y2x
6.
在△ABC中,
3uuu1
uuur
A.AB-AC
44
1ULUT3UULT
D.-AB-AC
44
AD为BC边上的中线,
1uuuB.—AB4
E为AD的中点,则
3UUUT
3AC
4
uuuEB
3uuu
3AB
4
1UUUT-AC4
7•某圆柱的高为2,底面周长为
16,其三视图如图•圆柱表面上的点
在正视图上的对应点为A,
圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为
B,则在此圆柱侧面上,
M到N的路径中,最短路
径的长度为
A.2.17
8.设抛物线
C:
y2=4x的焦点为
9•已知函数
f(x)
lnx,x
A.[-,
B.2、5
2
F,过点(E,0)且斜率为一的直线与
3
C交于
M,N两点,贝UFiM1FNI
C.7
0,
0,g(x)f(x)
xa•若g(x)
存在2个零点,则a的取值范围
B.[0,+8)
C.[-1,+8)
D.[1,+8)
10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形•此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分
别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为I,黑色部
分记为其余部分记为皿.在整个图形中随机取一点,此点取自I,皿的概率分别记为
P1,
p2,p3,则
A.pi=p2
C.P2=P3
B.pi=p3
D.P1=P2+P3
2
X2
y1,O为坐标原点,f
3
交点分别为
M、2若厶OMN为直角三角形,则
|MN|=
C.23
积的最大值为
14•记Sn为数列an的前n项和若Sn2dn1,贝U&.
15•从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有
种.(用数字填写答案)
16.已知函数fx2sinxsin2x,则fx的最小值是.
三、解答题:
共70分。
解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题
考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
60分。
17.(12分)
在平面四边形ABCD中,ADC90°,A45°,AB2,BD5.
(1)求cosADB;
(2)若DC22,求BC.
18.(12分)
如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,
使点C到达点P的位置,且PFBF
(1)证明:
平面PEF平面ABFD;
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值
19.(12分)
2
X2
设椭圆C:
y1的右焦点为F,过F的直线丨与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).
2
(1)当I与x轴垂直时,求直线AM的方程;
(2)设0为坐标原点,证明:
OMAOMB.
20.(12分)
某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验
岀不合格品,则更换为合格品•检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定
是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为p(0p1),且各件产品是
否为不合格品相互独立•
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大
值点p0.
(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以
(1)中确定的p0作为p的值.已
知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25
元的赔偿费用.
(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;
(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?
21.(12分)
1
已知函数f(x)xalnx.
x
(1)讨论f(x)的单调性;
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4—4:
坐标系与参数方程](10分)
2
极坐标系,曲线C2的极坐标方程为22cos30.
(1)求C2的直角坐标方程;
(2)若Ci与C2有且仅有三个公共点,求Ci的方程.
23.[选修4—5:
不等式选讲](10分)
已知
f(x)
|xi||ax
i|.
(i)
当a
i时,求不等式
f(x)
1的解集;
(2)
若x
(0,1)时不等式
f(x)
x成立,求a的取值范围
参考答案:
12
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
CB
A
B
D
A
B
D
C
A
B
A
17.(12分)
(2)由题设及
(1)知,cosBDCsinADB
_2
在厶BCD中,由余弦定理得
222
BC2BD2DC22BDDCcosBDC
258
252.2
5
25.
所以BC
5.
18.(12分)
解:
(1)
由已知可得,
BF丄PF,BF丄EF,所以BF丄平面PEF
又BF平面ABFD,所以平面PEF丄平面ABFD.
(2)作PH丄EF,垂足为出由
(1)得,PH丄平面ABFD.
uuiruuu
以H为坐标原点,HF的方向为y轴正方向,|BF|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系
H-xyz.
由
(1)可得,DE丄PE.又DP=2,DE=1,所以PE=\3.又PF=1,EF=2,故PE丄PF.
可得PH子EH2.
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为
19.(12分)
解:
(1)由已知得F(1,0),丨的方程为x=1.
A的坐标为(1辺)或(1,-).
22
所以AM的方程为y
二x‘2或y辽x
2.
2
2
(2)当丨与x轴重合时,
OMA
OMB0
当丨与x轴垂直时,OM
为AB的垂直平分线,所以
OMAOMB
由已知可得,点
0),Ag%),Bgy2),
则x1、、2,x2、2,直线MA,MB的斜率之和为kMAkMB—y——比―
x12x22
由y-ikx-ik,y2kx2k得
2^X23k%x2)4k
(X12)(X22)
2
将yk(x1)代入y21得
2
2222
(2k21)x24k2x2k220.
m4k34k12k38k34k
则2kxiX23k(xiX2)4k20.
2k1
从而kMAkMB0,故ma,mb的倾斜角互补,所以OMAOMB.
综上,OMAOMB.
20.(12分)
解:
(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)C;0p2(1p)18.因此
f(p)c2o[2p(1p)1818p2(1p)17]2C;oP(1p)17(110p).
令f(p)0,得p0.1.当p(0,0.1)时,f(p)0;当p(0.1,1)时,f(p)0.
所以f(p)的最大值点为p00.1.
20225Y,即X4025Y.
21.(12分)
递减.
aa24
(0,
4),(
)单调递减,在(a厂,单调递增
22
(2)由
(1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当a2.
由于
所以—x22lnx20,即―丄切a2.
x2x1x2
22.[选修4—4:
坐标系与参数方程](10分)
22解:
(1)由xcos,ysin得C?
的直角坐标方程为(x1)y4.
(2)由
(1)知C2是圆心为A(
1,0),半径为2的圆由题设知,
C1是过点B(0,2)且关于y轴
对称的两条射线•记y轴右边的射线为h,y轴左边的射线为I2.由于b在圆C2的外面,故G
与C2有且仅有三个公共点等价于I1与C2只有一个公共点且I2与C2有两个公共点,或I2与C2只
有一个公共点且h与C2有两个公共点.
|k214
当11与C2只有一个公共点时,A到11所在直线的距离为2,所以—产2,故k3或
k0.
4
经检验,当k0时,11与C2没有公共点;当k—时,I1与C2只有一个公共点,J与C2有
3
两个公共点.
|k2|
当〔2与C2只有一个公共点时,A到I2所在直线的距离为2,所以22,故k0或
Vk21
4
k
3
4
经检验,当k0时,li与C2没有公共点;当k—时,12与C2没有公共点.
3
4
综上,所求Ci的方程为y|x|2.
3
23.[选修4—5:
不等式选讲](10分)
2,x1,
解:
(1)当a1时,f(x)|x1||x1|,即f(x)2x,1x1,
2,x1.
故不等式f(x)1的解集为{x|x-}.
2
(2)
当x
(0,1)时|x1||ax1|
x成立等价于当
x(0,1)时|ax1|1成立
若a
0,
则当x(0,1)时|ax1|1
若a
0,
|ax1|1的解集为0x
22
,所以一
1,故0a2.
综上,
a的取值范围为(0,2].
aa
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