高考文科数学《数列》题型归纳与训练.docx
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高考文科数学《数列》题型归纳与训练
2020年高考文科数学《数列》题型归纳与训练
【题型归纳】
题型一
等差数列的基本运算
例1
(1)等差数列{an}的首项为
1,公差不为
0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为(
)
A.24
B
.3
C
.3
D
.8
(2)设{an}为等差数列,公差d
2,
Sn为其前n项和,若S10
S11,则a1
(
)
A
.18
B
.20
C
.22
D.24
(3)设等差数列{
an
}的前n
项和为
Sn
,
Sm1
=-,
=
,
Sm1
=,则
m
=(
)
2Sm
0
3
A.3
B
.4
C
.5
D.6
(4)等差数列{a
}前9项的和等于前
4项的和.若a
1,a
k
a
0,则
k
=_____.
n
1
4
【答案】
(1)A
(2)
B(3)
C
(4)10
【解析】
(1)设{an}的公差为d(d
0),由a32
a2a6,得(1
2d)2
(1
d)(1
5d),
所以d
2,S6
61
6
5
(2)
24.选A.
2
(2)由S10
S11,得a11
S11
S100,a1
a11
(1
11)d
0(
10)
(2)20.
(3)有题意知Sm
=m(a1
am)
0,∴a1=
am=
(Sm
Sm
1)=
2,
2
am1=
Sm1
Sm
3,∴公差d=am1
am=1,∴3=am1=
2
m,∴m
5,故选C.
(4)设{an}的公差为d,由S9
S4及a11,
得91
9
8d
41
4
3d
,所以d
1
.又ak
a4
0,
2
2
6
所以[1
(k
1)(
1)]
[1
(4
1)(
1)]
0,即k
10.
6
6
【易错点】等差数列求和公式易记错
【思维点拨】等差数列基本运算的解题方法
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体
1
现了用方程的思想来解决问题.
(2)数列的通项公式和前
n项和公式在解题中起到变量代换作用,而
a1和d是等差数列的两个基本量,用
它们表示已知和未知是常用方法.
题型二等差数列的判定与证明
例1在数列a
中,若a
2,已知
2an112an
,则数列a
n
前
10
项的和为______.
n
1
【答案】5
2
an1
1
,S10
10a1
45d
20
45
5
【解析】由已知可得
an
2
2
2
例2已知数列an
满足a1
1,an
1
2n
1ann(n
N)
an
2
(1)证明数列
2n
为等差数列;
an
(2)求数列an
的通项公式.
【答案】见解析
【解析】
(1)2n1
2n
an
2n
2n
1,所以数列
2n
是首项为
2,公差为1的等差数列.
an1
an
an
an
an
(2)由
(1)知2n
2
n
1
n1,所以an
2n
.
an
n
1
例3若数列an
的前n项和为Sn,且满足an
2SnSn1
0n
2
,a1
1
.
2
(1)求证:
1成等差数列;
Sn
(2)求数列an的通项公式.
【答案】见解析
【解析】
(1)证明
当
n2时,由an
2SnSn1
0,
得Sn
Sn1
2SnSn1
,所以
1
1
2,故
1是首项为2,公差为2的等差数列.
Sn
Sn1
Sn
(2)解
由
(1)
可得1
2n,∴Sn
1
.
Sn
2n
2
当n
1时,a1
1
当n2时,
an
1
.
不适合上式.
SnSn1
2
2nn
1
1
1
n
故an
2
1
n
2
2nn
1
【易错点】忘记写:
当n
2时或者不知道使用:
an
Sn
Sn1
【思维点拨】等差数列的证明方法:
(1)定义法:
an1
an
d(n
N
)或an
an1
d
(n
N,n2)
an为等差数列.
(2
)等差中项法:
2an1
an
an2
nN
an
为等差数列.
(3
)通项法:
an
An
B(A,B为常数)
an
为等差数列.
(4
)前N项和法:
Sn
An2
Bn(A,B为常数)
an
为等差数列.
题型三
等差数列前
n项和及其最值
例1
(1)等差数列
an
的前n项和为Sn,已知a1
13,S3
S11,当Sn最大时,n的值是()
A.5
B.6
C.7
D.8
(2)若等差数列
an
满足a7
a8a9
0,a7
a10
0,则当n
__时an
的前n项和最大.
【答案】
(1)C
(2)
8
【解析】
(1)由S3
S11,根据等差数列的性质,可得
a7
a8
0.根据首项等于
13可推知这个数列递减,
从而得到a7
0,a8
0
,故n7时Sn最大.
(2)∵数列
a
是等差数列,且a7
a8a9
3a80,a8
0.又
n
a7
a10
a8
a9
0,∴a9
0.当n8
时,其前n项和最大.
【易错点】求最值的时候计算出错,以及去掉绝对值求和时也易出错。
【思维点拨】求等差数列前n项和的最值,常用的方法:
(1)利用等差数列的单调性,求出其正负转折项;
(2)利用性质求出其正负转折项,便可求得和的最值;
(3)将等差数列的前n项和SnAn2Bn(A,B为常数)看作二次函数,根据二次函数的性质求最值.
3
题型四
等比数列的基本运算
例1
(1)等比数列{an}满足a13,a1
a3
a5
21,则a3
a5
a7=(
)
A.21
B
.42
C
.63
D
.84
(2)等比数列
an
的前n项和为Sn,已知S3
a2
10a1,a5
9,则a1=(
)
A.1
B
.1
C.1
D
.
1
3
3
9
9
(3)已知数列
an
为等比数列,Sn是是它的前n项和,若a2a32a1,且a4
与2a7的等差中项为
5,
4
则S5
(
)
A.35
B
.33
C
.3l
D
.29
(4)设sn为等比数列{an}的前n项和,8a2
a5
0
则S5
(
)
S2
A.-11
B
.-8
C
.5
D
.11
【答案】
(1)B
(2)
C
(3)
C
(4)A
【解析】
(1)由于a1(1+q2+q4)=21,a1=3,所以q4
+q2-6=0,所以q2
=2
(
q2=-3舍去),所以a3=6,a5=12,a7
=24
,所以a3+a5+a7=42.
(2)设等比数列
an
的公比为q,∵S3
a2
10a1,∴a1
a2
a3
a2
10a1,
即a3
9a1,∴q2
9,由a59,即a1q4
9,∴a1
1.
9
(3)设
an的公比为q,则由等比数列的性质知,
a2
a3
a1a4
2a1,
即a4
2.由a4与2
a7的等差中项为
5知,a4
2a7
2
5
,
4
4
a7
1(2
5
a4)
1.∴q3
a7
1,即q
1.a4
a1q3
a1
1
2,
2
4
4
a4
8
2
8
4
16(1
15)
a116,S5
2
31.
1
1
2
(4)通过8a2a50,设公比为
q,将该式转化为8a2
a2q3
0,
解得q=-2,所以S5
1
q5
1
32
11.
S2
1
q2
1
4
【易错点】等比数列求和公式易记错
【思维点拨】等比数列基本运算的解题方法
(1)等比数列的通项公式及前
n项和公式,共涉及五个量
a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体
现了用方程的思想来解决问题.
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而
a1和q是等比数列的两个基本量,用
它们表示已知和未知是常用方法.
题型五
等比数列的判定与证明
例1已知数列
an满足a1=1,an1
3an
1.证明an
1是等比数列,并求
an的通项公式;
2
【答案】
见解析
【解析】由an1
3an1得an
1
1
3(an
1).
2
2
又a1
1
3
,所以an
1
是首项为
3,公比为3
的等比数列.
2
2
2
2
1
3n
3n
1
an
,因此an的通项公式为an
.
2
2
2
【易错点】等比数列的定义证明方法
【思维点拨】证明一个数列为等比数列常用方法:
(1
)定义法:
an1
q(常数)(n
N
)或an
q(常数)(nN,n2)
an为等比数列.
an
an1
(2
)等比中项法:
an
2
anan2n
N
an
为等比数列.
1
(3
)通项法:
an
a1
qn1
a10,q
0
an
为等比数列.
5
题型六
等差数列等比数列求前
n项和
例1在等比数列{an}中,a2
3,a581.
(1)求an;
(2)设bn
log3an,求数列{bn}的前n项和Sn.
【答案】见解析
a1q
3
a1
1
n1
【解析】
(1)设{an}的公比为q,依题意得
,解得
q
,因此,an
3
.
a1q4
81
3
(2)因为bnlog3ann
1,∴数列{bn}的前n项和Sn
n(b1bn)
n2
n
2
2
.
例2
已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1
b11,a2
a4
10,
b2b4
a5
(1)求{an}的通项公式;
(2)求和:
b1b3b5b2n1.
【答案】见解析
【解析】(
1)设{an}的公差为d,由a1
1,a2
a410,得d
2,所以an
2n1.
(2)由(
1)知a5
9.设{bn}的公比为q,由b1
1,b2b4
a5,得,所以q2
3,
所以b2n
1
是以b1
1为首项,q
q2
3
为公比的等比数列,
所以b1
b3b5
11
3n
3n
1
b2n1
3
2
.
1
【易错点】等比数列求和时项数的确定
【思维点拨】
(1)数列求和应从通项入手,若无通项,则先求通项.
(2)通过对通项变形,转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之.
题型七分组转化法求和
例1在等差数列an中,a24,a4a715.
(1)求数列an的通项公式;
(2)设bn2an2n,求b1b2b3b10的值.
6
【答案】见解析
【解析】
(1)设等差数列
an
的公差为d.由已知得
a1
d4
a1
3
a1
3d
,解得
d
.
a16d15
1
所以an
a1
n1dn2nN*.
(
2
)由(
)可得
bn
2n
n,
1
所以bbb
b
21
22
2
23
3
210
10
1
2
3
10
2
22
23
210
1
2
3
10
21
210
1
10
10
211
2
55
211
53
2101
.
1
2
2
【易错点】通项求错以及等比数列的求和公式记错
【思维点拨】若数列cn
的通项公式为cn
an
bn,且an
,bn为等差或等比数列,可采用分组求和法
求数列cn的前n项和.
题型八裂项相消法求和
例1
已知等差数列
an
满足:
a
7
,
a
a
26
,
an
的前
n
项和为Sn.
3
5
7
(1)求an及Sn;
(2)令
bn
1
n
N
,求数列
b
的前n项和Tn.
an
2
1
n
【答案】
(1)an
2n
1
Snn2
2n
(2)Tn
n
4n1
【解析】略
【易错点】裂项时易出错,解不等式时也易出错
【思维点拨】
(1)利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前
面剩两项,后面也剩两项.
(2)将通项公式裂项后,有时候需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等
.
7
【巩固训练】
题型一等差数列的基本运算
1.记Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3
S2
S4,a1
2,则a5
(
)
.
12
.
10
.10
.
12
A
B
C
D
【答案】B
【解析】设等差数列{an}的公差为d,∵3S3
S2
S4,∴3S3
S3
a3
S3
a4,
∴S3
a4
a3,∴3a1
32d
d,
2
∵
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