高中平面几何常用定理总结.docx
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高中平面几何常用定理总结
(高中)平面几何基础知识(基本定理、基本性质)
1.勾股定理(毕达哥拉斯定理)(广义勾股定理)
(1)锐角对边的平方,
等于其他两边之平方和,减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘
积的两倍.
(2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和,加上这两边中的
一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍.
2.射影定理(欧几里得定理)
3.中线定理(巴布斯定理)设△ABC的边BC的中点为P,则有
AB;
2ACAP2BP
2()
22
中线长:
2c2a2
2b2
a.
m
2
4.垂线定理:
AB2ADBC2BD2.
CDAC
2
2bc.
高线长:
AcBbC
hap(pa)(pb)(pc)sinsinsin
aa
5.角平分线定理:
三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个
角的两边对应成比例.
如△ABC中,AD平分∠BAC,则
BDAB;(外角平分线定理).
DCAC
角平分线长:
22bcA
ta(其中p为周长一半).
bcp(pa)cos
bcbc2
abc
6.正弦定理:
R
2
sinAsinBsinC
,(其中R为三角形外接圆半径).
7.余弦定理:
cab2abcosC
222.
8.张角定理:
sinBACsinBADsinDAC.
ADACAB
9.斯特瓦尔特(Stewart)定理:
设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一
222
点D,则有AB·DC+AC·BD-AD·BC=BC·DC·BD.
10.圆周角定理:
同弧所对的圆周角相等,等于圆心角的一半.(圆外角如
何转化?
)
11.弦切角定理:
弦切角等于夹弧所对的圆周角.
12.圆幂定理:
(相交弦定理:
垂径定理:
切割线定理(割线定理):
切线
长定理:
)
13.布拉美古塔(Brahmagupta)定理:
在圆内接四边形ABCD中,AC⊥BD,
自对角线的交点P向一边作垂线,其延长线必平分对边.
14.点到圆的幂:
设P为⊙O所在平面上任意一点,PO=d,⊙O的半径为r,
则d2-r
2-r
2就是点P对于⊙O的幂.过P任作一直线与⊙O交于点A、B,则
2-r
PA·PB=|d
2|.“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一
条直线,如果此二圆相交,则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结
论.这条直线称为两圆的“根轴”.三个圆两两的根轴如果不互相平行,则
它们交于一点,这一点称为三圆的“根心”.三个圆的根心对于三个圆等
幂.当三个圆两两相交时,三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一
点.
15.托勒密(Ptolemy)定理:
圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积
之和,即AC·BD=AB·CD+AD·BC,(逆命题成立).(广义托勒密定理)
AB·CD+AD·BC≥AC·BD.
16.蝴蝶定理:
AB是⊙O的弦,M是其中点,弦CD、EF经过点M,CF、DE
交AB于P、Q,求证:
MP=QM.
17.费马点:
定理1等边三角形外接圆上一点,到该三角形较近两顶点距
离之和等于到另一顶点的距离;不在等边三角形外接圆上的点,到该三角
形两顶点距离之和大于到另一点的距离.定理2三角形每一内角都小于
120°时,在三角形内必存在一点,它对三条边所张的角都是120°,该点
到三顶点距离和达到最小,称为“费马点”,当三角形有一内角不小于120°
时,此角的顶点即为费马点.
18.拿破仑三角形:
在任意△ABC的外侧,分别作等边△ABD、△BCE、△CAF,
则AE、AB、CD三线共点,并且AE=BF=CD,这个命题称为拿破仑定理.以
△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF,它们的外接圆⊙C
1、
⊙A1、⊙B1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形,⊙C1、⊙A1、⊙B
1
三圆共点,外拿破仑三角形是一个等边三角形;△ABC的三条边分别向△
ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF,它们的外接圆⊙C2、⊙A
2、⊙
B2的圆心构成的△——内拿破仑三角形,⊙C2、⊙A2、⊙B
2三圆共点,内
拿破仑三角形也是一个等边三角形.这两个拿破仑三角形还具有相同的中
心.
19.九点圆(Ninepointround或欧拉圆或费尔巴赫圆):
三角形中,三边
中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足,以及垂心与各顶点连线的中点,
这九个点在同一个圆上,九点圆具有许多有趣的性质,例如:
(1)三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;
(2)九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;
(3)三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定
理〕.
20.欧拉(Euler)线:
三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于
同一直线(欧拉线)上.
21.欧拉(Euler)公式:
设三角形的外接圆半径为R,内切圆半径为r,
外心与内心的距离为d,则d
2=R2-2Rr.
22.锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的
和.
23.重心:
三角形的三条中线交于一点,并且各中线被这个点分成2:
1的
xAxxyyy两部分;)
BCABC
G(,
33
重心性质:
(1)设G为△ABC的重心,连结AG并延长交BC于D,则D为
BC的中点,则AG:
GD2:
1;
(2)设G为△ABC的重心,则
S
1;
ABGSSS
BCGACGABC
3
(3)设G为△ABC的重心,过G作DE∥BC交AB于D,交AC于E,过
G作PF∥AC交AB于P,交BC于F,过G作HK∥AB交AC于K,交
DEFPKH2DEFPKH;BC于H,则;2
BCCAAB3BCCAAB
(4)设G为△ABC的重心,则
①
BC23GACA23GB2AB23GC2;
2
1222
②GA2GBGC(ABBCCA);
22
3
③
PA(P为△ABC内任意一点);
2PB2PCGAGBGC3PG
22222
④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心,即2GB2GC
GA
2
最小;
⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心;反之亦然(即满足上
述条件之一,则G为△ABC的重心).
24.垂心:
三角形的三条高线的交点;
a
cos
A
x
A
a
b
cos
B
b
x
B
c
cos
c
C
x
C
a
cos
A
y
A
a
b
cos
B
b
y
B
c
cos
c
C
y
C
H()
cosAcosBcosCcosAcosBcosC
垂心性质:
(1)三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离
的2倍;
(2)垂心H关于△ABC的三边的对称点,均在△ABC的外接圆上;
(3)△ABC的垂心为H,则△ABC,△ABH,△BCH,△ACH的外接圆是
等圆;
(4)设O,H分别为△ABC的外心和垂心,则
BAO,,.
HACCBOABHBCOHCA
25.内心:
三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心,即内心到三角形各
边距离相等;
I(
ax
A
a
bx
B
b
c
cx
C
ay
A
a
by
B
b
cy
C
c
)
内心性质:
(1)设I为△ABC的内心,则I到△ABC三边的距离相等,反
之亦然;
(2)设I为△ABC的内心,则
BIC
111
90;
A,AIC90B,AIB90C
222
(3)三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心
的距离相等;反之,若A平分线交△ABC外接圆于点K,I为线段AK
上的点且满足KI=KB,则I为△ABC的内心;
(4)设I为△ABC的内心,BCa,ACb,ABc,A平分线交BC于D,交△ABC
外接圆于点K,则
AIAKIKbc;
IDKIKDa
(5)设I为△ABC的内心,BCa,ACb,ABc,I在BC,AC,AB上的射影分别为
1
D,,,内切圆半径为r,令()
EFp,则①SABCpr;②
abc2
AE;;;③abcrpAIBICI.
AFpaBDBFpbCECDpc
26.外心:
三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心,即外心到三角形
各顶点距离相等;
O(
sin
2Ax
A
sin2A
sin
2Bx
B
2B
sin
sin
2Cx
C
sin2C
sin
2
Ay
A
2A
sin
sin
2By
B
2B
sin
sin
2Cy
C
sin2C
)
外心性质:
(1)外心到三角形各顶点距离相等;
(2)设O为△ABC的外心,则BOC2A或BOC3602A;
(3)
R
abc
4S
;(4)锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其
内切圆与外接圆半径之和.
27.旁心:
一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心;设△ABC的
1
三边BCa,ACb,ABc,令p(),分别与BC,AC,AB外侧相切的旁切圆
abc2
圆心记为
I,,,其半径分别记为
AIII,,,其半径分别记为
BC
r,,.
Arrr,,.
BC
11
旁心性质:
(1)BIABC,(对于顶角B,C也有
C90A,BICBICA
22
类似的式子);
1
(2)()
IABC;
IIAC
2
(3)设
AI的连线交△ABC的外接圆于D,则DIDBDC
A
A(对于
BIB,CI有
C
同样的结论);
(4)△ABC是△IAIBIC的垂足三角形,且△IAIBIC的外接圆半径R'等于△ABC
的直径为2R.
28.三角形面积公式:
11abc2
SABCahaabsinC2RsinAsinBsin
224R
C
4(cot
2
a
A
2
b
cot
B
2
c
cot
C)
pr,其中ha表示BC边上的高,R为外接圆半径,r为内
p(pa)(pb)(pc)
1切圆半径,p().
abc2
29.三角形中内切圆,旁切圆和外接圆半径的相互关系:
r4Rsin
A
2
sin
B
2
sin
C
2
;r4Rsin
a
A
2
B
2
cos
C
2
cos
r
b
4Rcos
A
2
sin
B
2
C
2
cos
r
c
4Rcos
A
2
cos
B
2
sin
C
2
;
r
a
rrr1111
r,r;
bc
tanABrrrr
BCAC
tantantantantanabc
222222
.
30.梅涅劳斯(Menelaus)定理:
设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线
和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有
BP.(逆定理也成立)
CQAR
1
PCQARB
31.梅涅劳斯定理的应用定理1:
设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q,
∠C的平分线交边AB于R,∠B的平分线交边CA于Q,则P、Q、R三点共
线.
32.梅涅劳斯定理的应用定理2:
过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的
外接圆的切线,分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R,则P、Q、R
三点共线.
33.塞瓦(Ceva)定理:
设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点,
则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是
AZ
·
ZB
BX
·
XC
CY
=1.
YA
34.塞瓦定理的应用定理:
设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的
交点分别是D、E,又设BE和CD交于S,则AS一定过边BC的中点M.
35.塞瓦定理的逆定理:
(略)
36.塞瓦定理的逆定理的应用定理1:
三角形的三条中线交于一点,三角形
的三条高线交于一点,三角形的三条角分线交于一点.
37.塞瓦定理的逆定理的应用定理2:
设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB
分别相切于点R、S、T,则AR、BS、CT交于一点.
38.西摩松(Simson)定理:
从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、
CA、AB或其延长线作垂线,设其垂足分别是D、E、R,则D、E、R共线,
(这条直线叫西摩松线Simsonline).
39.西摩松定理的逆定理:
(略)
40.关于西摩松线的定理1:
△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角
形的西摩松线互相垂直,其交点在九点圆上.
41.关于西摩松线的定理2(安宁定理):
在一个圆周上有4点,以其中任
三点作三角形,再作其余一点的关于该三角形的西摩松线,这些西摩松线
交于一点.
42.史坦纳定理:
设△ABC的垂心为H,其外接圆的任意点P,这时关于△ABC
的点P的西摩松线通过线段PH的中心.
43.史坦纳定理的应用定理:
△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、
AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条(与西摩松线平行的)直线上.这
条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线.
44.牛顿定理1:
四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对
角线的中点,三点共线.这条直线叫做这个四边形的牛顿线.
45.牛顿定理2:
圆外切四边形的两条对角线的中点,及该圆的圆心,三点
共线.
46.笛沙格定理1:
平面上有两个三角形△ABC、△DEF,设它们的对应顶点
(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点,这时如果对应边或其延长线相
交,则这三个交点共线.
47.笛沙格定理2:
相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF,设它们的对应
顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点,这时如果对应边或其延长
线相交,则这三个交点共线.
48.波朗杰、腾下定理:
设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R,则P、Q、
R关于△ABC交于一点的充要条件是:
弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2).
49.波朗杰、腾下定理推论1:
设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点,若
P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点,则A、B、C三点关于△PQR的的
西摩松线交于与前相同的一点.
50.波朗杰、腾下定理推论2:
在推论1中,三条西摩松线的交点是A、B、
C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的
垂心的连线段的中点.
51.波朗杰、腾下定理推论3:
考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC
的西摩松线,如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦,则三点P、Q、
R的关于△ABC的西摩松线交于一点.
52.波朗杰、腾下定理推论4:
从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线,
设垂足分别是D、E、F,且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N,则D、
E、F、L、M、N六点在同一个圆上,这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩
松线交于一点.
53.卡诺定理:
通过△ABC的外接圆的一点P,引与△ABC的三边BC、CA、
AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF,与三边的交点分别是D、E、F,
则D、E、F三点共线.
54.奥倍尔定理:
通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线,设它们与
△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N,在△ABC的外接圆上取一点P,则
PL、PM、PN与△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F,
则D、E、F三点共线.
55.清宫定理:
设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点,P点的
关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W,这时,QU、QV、QW和边
BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F,则D、E、F三点共线.
56.他拿定理:
设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点,点P的关于三
边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W,这时,如果QU、QV、QW和边BC、
CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F,则D、E、F三点共线.(反点:
P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点,如果OC
2=OQ×OP则称P、Q
两点关于圆O互为反点)
57.朗古来定理:
在同一圆周上有A1、B1、C1、D
1四点,以其中任三点作三
角形,在圆周取一点P,作P点的关于这4个三角形的西摩松线,再从P
向这4条西摩松线引垂线,则四个垂足在同一条直线上.
58.从三角形各边的中点,向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线,
这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心.
59.一个圆周上有n个点,从其中任意n-1个点的重心,向该圆周的在其
余一点处的切线所引的垂线都交于一点.
60.康托尔定理1:
一个圆周上有n个点,从其中任意n-2个点的重心向
余下两点的连线所引的垂线共点.
61.康托尔定理2:
一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点,则M和N
点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松
线的交点在同一直线上.这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托
尔线.
62.康托尔定理3:
一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点,则M、
N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康
托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点.这个点叫做M、
N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点.
63.康托尔定理4:
一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点,则
M、N、L三点关于四边形BCD、ECDE、ADEA、BEABC中的每一个康托尔点在
一条直线上.这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康
托尔线.
64.费尔巴赫定理:
三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切.
65.莫利定理:
将三角形的三个内角三等分,靠近某边的两条三分角线相
得到一个交点,则这样的三个交点可以构成一个正三角形.这个三角形常
被称作莫利正三角形.
66.布利安松定理:
连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B
和E、C和F,则这三线共点.
67.帕斯卡(Paskal)定理:
圆内接六边形ABCDE相F对的边AB和DE、BC
和EF、CD和FA的(或延长线的)交点共线.
68.阿波罗尼斯(Apollonius)定理:
到两定点A、B的距离之比为定比m:
n(值不为1)的点P,位于将线段AB分成m:
n的内分点C和外分点D为
直径两端点的定圆周上.这个圆称为阿波罗尼斯圆.
69.库立奇*大上定理:
(圆内接四边形的九点圆)圆周上有四点,过其中
任三点作三角形,这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上,我们把过
这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆.
70.密格尔(Miquel)点:
若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、
D、E、F六点,构成四个三角形,它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF,
则这四个三角形的外接圆共点,这个点称为密格尔点.
71.葛尔刚(Gergonne)点:
△ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、
E、F,则AE、BF、CD三线共点,这个点称为葛尔刚点.
72.欧拉关于垂足三角形的面积公式:
O是三角形的外心,M是三角形中的
任意一点,过M向三边作垂线,三个垂足形成的三角形的面积,其公式:
S
S
22
|Rd|
D
EF.
2
4R
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