南京市盐城市届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准定稿.docx
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南京市盐城市届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准定稿
南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试
数学参考答案及评分标准2013.05
说明:
1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准
制订相应的评分细则.
2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视
影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的
错误,就不再给分.
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.只给整数分数,填空题不给中间分数.
一、填空题:
本大题共
14小题,每小题5分,共70分.
12
2
1.(1,3]
2.5
3.8
4.7
5.3
7
5
6
6.10
7.2
8.①④
9.2
10.2
3
3
11.2
12.2x+y-2=0
13.(12,17)
14.2
二、解答题:
本大题共
6小题,共
90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.解
(1)方法一:
因为tanα=2,所以
sinα
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2分
=2,即sinα=2cosα.
cosα
又sin2α+cos2α=1,解得sin2α=4,cos2α=1.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4分
5
5
所以cos2α=cos2
2
α=-
3.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6分
α-sin
5
方法二:
2
2
α
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2分
因为cos2α=cosα-sin
cos2α-sin2α1-tan2α
4分
=sin2α+cos2α=tan2α+1,
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
又tanα=2,所以cos2α=12-22
=-3.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6分
2+1
5
(2)方法一:
因为α∈(0,π),且tanα=2,所以α∈
π
(0,).
2
又cos2α=-3<0,故2α∈(
π
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8分
,π),sin2α=4.
5
2
5
第1页共10页
72
2
π
由cosβ=-
10,β∈(0,π),得sinβ=
10
,β∈(2,π).
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
10分
4
7
2
3
2
2
.⋯⋯⋯⋯
12分
所以sin(2α-β)=sin2αcosβ-cos2αsinβ=
×(-
10
)-(-)×=-
2
5
5
10
又2α-β∈
ππ
π
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
14分
(-,),所以2α-β=-
.
2
2
4
方法二:
因为α∈(0,π),且tanα=2,所以α∈
π
2tanα
4
.
(0,),tan2α=
2=-
3
2
1-tanα
π
从而2α∈(2,π).
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8分
由cosβ=-
72
,π),得sinβ=
2
π
,β∈(0
10
,β∈(
2
,π),
10
因此tanβ=-1.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
10分
7
-4+1
所以tan(2α-β)=tan2α-tanβ=
3
7
=-1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
12分
1+tan2αtanβ
4
1
1+(-3)×(-7)
ππ
π
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
14分
又2α-β∈(-,),所以2α-β=-
.
2
2
4
16.证明
(1)如图,取BC的中点G,连结AG,FG.
C1
A1
因为F为C1B的中点,所以FG
∥
1C1C.
B1
=
2
在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A
∥
=C1C,且E为A1A的中点,
E
F
所以FG=∥EA.
所以四边形AEFG是平行四边形.
所以EF∥AG.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4分
D
CA
G
B
(第16题)
因为EF平面ABC,AG
平面ABC,
所以EF∥平面ABC.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
(2)因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面ABC,BD
平面ABC,
所以A1A⊥BD.
因为D为AC的中点,BA=BC,所以BD⊥AC.
因为A1A∩AC=A,A1A平面A1ACC1,AC
平面A1ACC1,所以BD⊥平面A1ACC1.
因为C1E平面A1ACC1,所以BD⊥C1E.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
第2页共10页
根据题意,可得EB=C1E=
6
2
AB,C1B=3AB,
所以EB2+C1E2=C1B2.从而∠C1EB=90°,即C1E⊥EB.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
12分
因为BD∩EB=B,BD
平面BDE,EB
平面BDE,
所以C1E⊥平面BDE.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
14分
17.解
(1)由题意知,f(x)=-2x+3+lnx,
-2x+1
(x>0).
2分
所以f′(x)=-2+1=
x
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
x
由f′(x)>0得x∈(0,1
).
2
所以函数f(x)的单调增区间为
1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4分
(0,).
2
(2)由f′(x)=mx-m-2+1,得f′
(1)=-1,x
所以曲线y=f(x)在点P(1,1)处的切线l的方程为y=-x+2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6分
由题意得,关于
x的方程f(x)=-x+2有且只有一个解,
即关于x的方程
1
2
-x+1+lnx=0有且只有一个解.
m(x-1)
2
令g(x)=12m(x-1)2-x+1+lnx(x>0).
2
-(m+1)x+1
(x>0).⋯⋯⋯⋯⋯
8分
则g′(x)=m(x-1)-1+1=mx
=(x-1)(mx-1)
x
x
x
①当0<m<1时,由g′(x)>0得0<x<1或x>
1,由g′(x)<0得1<x<1,
m
m
所以函数g(x)在(0,1)为增函数,在(1,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数.
m
m
又g
(1)=0,且当x→∞时,g(x)→∞,此时曲线
y=g(x)与x轴有两个交点.
故0<m<1不合题意.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
10分
②当m=1时,g′(x)≥0,g(x)在(0,+∞)上为增函数,且
g
(1)=0,故m=1符合题意.
③当m>1时,由g′(x)>0得0<x<1或x>1,由g′(x)<0得1<x<1,
m
m
所以函数g(x)在(0,1)为增函数,在(1,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数.
m
m
又g
(1)=0,且当x→0时,g(x)→-∞,此时曲线
y=g(x)与x轴有两个交点.
故m>1不合题意.
综上,实数m的值为m=1.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
14分
第3页共10页
18.解如图所示,不妨设纸片为长方形ABCD,AB=8cm,AD=6cm,其中点A在面积为S1的部分内.
折痕有下列三种情形:
①折痕的端点M,N分别在边AB,AD上;
②折痕的端点M,N分别在边AB,CD上;
③折痕的端点M,N分别在边AD,BC上.
D
C
D
N
C
D
C
N
M
N
A
M
B
A
M
B
A
B
(情形①)
(情形②)
(情形③)
(1)在情形②、③中MN≥6,故当l=4时,折痕必定是情形①.
设AM=xcm,AN=ycm,则x2+y2=16.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
因为x2+y2≥2xy,当且仅当x=y时取等号,
1
所以S1=2xy≤4,当且仅当x=y=22时取等号.
即S1的最大值为4.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
(2)由题意知,长方形的面积为S=6×8=48.
因为S1∶S2=1∶2,S1≤S2,所以S1=16,S2=32.
当折痕是情形①时,设
AM=xcm,AN=ycm,则
1
32
.
xy=16,即y=
x
2
0≤x≤8,
16
由0≤32x≤6,得3≤x≤8.
所以l=
2
2
2
322
16
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8分
x
+y=
x
+2,
≤x≤8.
x
3
322
2
2
2)(x-42)
2
2×32
2(x+32)(x+4
设f(x)=x
+
x2,x>0,则f′(x)=2x-
x3
=
x3
,x>0.故
x
16
16
2)
42
(42,8)
8
3
(3,4
f′(x)
-
0
+
f(x)
4
↘
64
↗
80
649
所以f(x)的取值范围为[64,80],从而l的范围是[8,4
5];
⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分
当折痕是情形②时,设
AM=xcm,DN=ycm,则
1(x+y)×6=16,即y=
16-x.
2
3
0≤x≤8,
得0≤x≤16.
由16
0≤3-x≤8,
3
第4
页共10
页
所以l=
2
2
2
82
16
6
+(x-y)
=
6+4(x-),0≤x≤
.
3
3
所以l的范围为[6,2
145
];
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分
3
1
当折痕是情形③时,设BN=xcm,AM=ycm,则2(x+y)×8=16,即y=4-x.
由0≤x≤6,
得0≤x≤4.
0≤4-x≤
6,
所以l=82+(x-y)2=82+4(x-2)2,0≤x≤4.
所以l的取值范围为[8,45].
综上,l的取值范围为[6,45].
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16分
19.解
(1)由题意得,m>8-m>0,解得4<m<8.
即实数m的取值范围是(4,8).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
22
(2)因为m=6,所以椭圆C的方程为x+y=1.
6
2
x2
y2
①设点P坐标为(x,y),则
6+
2=1.
因为点M的坐标为(1,0),所以
PM2=(x-1)2+y2=x2-2x+1+2-x2
=2x2-2x+3
3
3
2
3
2
3
,x∈[-
6,6].
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
=
(x-)+
3
2
2
3
6
3
5
所以当x=
2时,PM的最小值为
2,此时对应的点P
坐标为(2,±
2).
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
②由a2=6,b2=2,得c2=4,即c=2,
从而椭圆C的右焦点F的坐标为(2,0),右准线方程为
x=3,离心率e=6.
3
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点H(x0,y0),则
2
2
2
2
x1+y1=1,x2+y2=1,
6
2
6
2
2
2
2
2
所以x1-x2+y1
-y2=0,即kAB=y1-y2=-x0.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6
2
x1-x2
3y0
令k=kAB,则线段AB的垂直平分线l的方程为y-y0=-
1
k
(x-x0).
4分
6分
9分
令y=0,则xN=ky0+x0=2
x0.
3
2
因为F(2,0),所以
FN=|xN-2|=3|x0-3|
.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
第5
页共10
页
26
因为AB=AF+BF=e(3-x1)+e(3-x2)=3|x0-3|.
故AB=26×3=6.
FN32
即AB为定值
6.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
16分
FN
20.解
(1)设等差数列{an}的公差为d,则Sn=na1+
n(n-1)
n
n-1
d.
2
d,从而S=a1+
2
n
≥
n
Sn-1
n-1
n-2
d
S
-
=(a+
+
所以当n2时,
n
2
2d)=
.
n-1
1
d)-(a1
2
即数列{Sn
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2分
n}是等差数列.
(2)因为对任意正整数
n,k(n>k),都有
Sn+k+
Sn-k=2
Sn成立,
所以Sn+1+
Sn-1=2Sn,即数列{Sn}是等差数列.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4分
设数列{Sn}的公差为d1,则Sn=S1+(n-1)d1=1+(n-1)d1,所以Sn=[1+(n-1)d1]2,所以当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=[1+(n-1)d1]2-[1+(n-2)d1]2=2d21n-3d21+2d1,
因为{an}是等差数列,所以a2-a1=a3-a2,即
(4d21-3d21+2d1)-1=(6d21-3d21+2d1)-(4d21-3d21+2d1),
所以d1=1,即an=2n-1.
又当an=2n-1时,Sn=n2,Sn+k+
Sn-k=2Sn对任意正整数n,k(n>k)都成立,
因此an=2n-1.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
7分
(3)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d,bn=aan,
所以
bn
an-an-1
d
bn-1
=a
=a,
即数列{bn}是公比大于
0,首项大于0
的等比数列.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
9分
记公比为q(q>0).
以下证明:
b1+bn≥bp+bk,其中p,k为正整数,且
p+k=1+n.
因为(b1+bn)-(bp+bk)=b1+b1qn-1-b1qp-1-b1qk-1=b1(qp-1-1)(qk-1-1).
当q>1时,因为y=qx为增函数,p-1≥0,k-1≥0,所以qp-1-1≥0,qk-1-1≥0,所以b1+bn≥bp+bk.
当q=1时,b1+bn=bp+bk.
当0<q<1时,因为y=qx为减函数,p-1≥0,k-1≥0,
所以qp-1-1≤0,qk-1-1≤0,所以b1+bn≥bp+bk.
第6页共10页
综上,b1+bn≥bp+bk,其中p,k为正整数,且p+k=1+n.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
14分
所以n(b1+bn)=(b1+bn)+(b1+bn)+⋯+(b1+bn)
≥(b1+bn)+(b2+bn-1)+(b3+bn-2)+⋯+(bn+b1)
=(b1+b2+⋯+bn)+(bn+bn-1+⋯+b1),
b1+b2+⋯+bn
b1+bn
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16分
即
≤.
n
2
南京市、盐城市
2013届高三第三次模拟考试
数学附加题参考答案及评分标准2013.05
21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做
2题,每小题
10分,共20分.
A.选修4—1:
几何证明选讲
证明如图,延长PO交⊙O于D,连结AO,BO.AB交OP于点E.
A
因为PA与⊙O相切,
D
O
ECP
所以PA2=PC·PD.
B
设⊙O的半径为R,因为PA=12,PC=6,
(第21题A)
所以122=6(2R+6),解得R=9.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4分
因为PA,PB与⊙O均相切,所以
PA=PB.
又OA=OB,所以OP是线段AB的垂直平分线.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
7分
即AB⊥OP,且AB=2A
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