八年级数学直角三角形教学设计.docx
- 文档编号:23175193
- 上传时间:2023-05-15
- 格式:DOCX
- 页数:33
- 大小:111.25KB
八年级数学直角三角形教学设计.docx
《八年级数学直角三角形教学设计.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《八年级数学直角三角形教学设计.docx(33页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
八年级数学直角三角形教学设计
桃江玉潭实验学校初中部
教学设计第
(1)节
学习主题:
直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
学习目标:
1、掌握“直角三角形的两个锐角互余”定理。
2、掌握“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”定理。
3、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用。
4、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。
教学重点:
直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。
难点:
直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。
学习环节
学习活动
学习方式
一、复习提问:
(1)什么叫直角三角形?
(2)直角三角形是一类特殊的三角形,除了具备三角形的性质外,还具备哪些性质?
二、新授
(一)直角三角形性质定理1
请学生看图形:
1、提问:
∠A与∠B有何关系?
为什么?
2、归纳小结:
定理1:
直角三角形的两个锐角互余。
3、巩固练习:
练习1
(1)在直角三角形中,有一个锐角为520,那么另一个锐角度数
(2)在Rt△ABC中,∠C=900,∠A-∠B=300,那么∠A= ,∠B= 。
练习2 在△ABC中,∠ACB=900,CD是斜边AB上的高,那么,
(1)与∠B互余的角有
(2)与∠A相等的角有 。
(3)与∠B相等的角有 。
(二)直角三角形的判定定理1
1、提问:
“ 在△ABC中,∠A+∠B=900那么△ABC是直角三角形吗?
”
2、利用三角形内角和定理进行推理
3、归纳:
有两个锐角互余的三角形是直角三角形
练习3:
若∠A=600,∠B=300,那么△ABC是三角形。
(三)直角三角形性质定理2
1、实验操作:
要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片
(l)量一量斜边AB的长度
(2)找到斜边的中点,用字母D表示
(3)画出斜边上的中线
(4)量一量斜边上的中线的长度
让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间有何关系?
归纳:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
三、巩固训练:
练习4:
在△ABC中,∠ACB=90°,CE是AB边上的中线,那么与CE相等的线段有_________,与∠A相等的角有_________,若∠A=35°,那么∠
ECB=_________。
练习5:
已知:
∠ABC=∠ADC=90O,E是AC中点。
求证:
(1)ED=EB
(2)∠EBD=∠EDB
(3)图中有哪些等腰三角形?
板书设计:
精典作业设计:
教学反思:
桃江玉潭实验学校初中部
教学设计第
(2)节
学习主题:
1直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
学习目标:
1、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用。
2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。
3、通过图形的变换,引导学生发现并提出新问题,进行类比联想,促进学生的思维向多层次多方位发散。
培养学生的创新精神和创造能力。
教学重点与难点:
直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。
直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。
学习环节
学习活动
学习方式
(一) 引入:
如果你是设计师:
(提出问题)
2008年将建造一个地铁站,设计师设想把地铁站的出口建造在离附近的三个公交站点45路、13路、23路的距离相等的位置。
而这三个公交站点的位置正好构成一个直角三角形。
如果你是设计师你会把地铁站的出口建造在哪里?
(通过实际问题引出直角三角形斜边上的中点和三个顶点之间的长度关系,引发学生的学习兴趣。
)
动一动想一想猜一猜(实验操作)
请同学们分小组在模型上找出那个点,并说出它的位置。
请同学们测量一下这个点到这三个顶点的距离是否符合要求。
通过以上实验请猜想一下,直角三角形斜边上的中线和斜边的长度之间有什么关系?
(通过动手操作找到那个点,通过测量的结果让学生猜测斜边的中线与斜边的关系。
)
(二)新授:
提出命题:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
证明命题:
(教师引导,学生讨论,共同完成证明过程)
推理证明思路:
①作点D1②证明所作点D1具有的性质③证明点D1与点D重合
应用定理:
例1、已知:
如图,在△ABC中,∠B=∠C,AD是∠BAC的平分线,
E、F分别AB、AC的中点。
求证:
DE=DF
(上一题我们是两个直角三角形的一条较长直角边重合,现在我们将图形变化使斜边重合,我们可以得到哪些结论?
)
练习变式:
1、已知:
在△ABC中,BD、CE分别是边AC、AB上的高,F是BC的中点。
求证:
FD=FE
练习引申:
(1)若连接DE,能得出什么结论?
(2)若O是DE的中点,则MO与DE存在什么结论吗?
上题两个直角三角形共用一条斜边,两个直角三角形位于斜边的同侧。
如果共用一条斜边,两个直角三角形位于斜边的两侧我们又会有哪些结论?
例2、求证:
一个三角形一边上的中线等于这一边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
P4
板书设计:
精典作业设计:
P7习题A组1、2
教学反思:
桃江玉潭实验学校初中部
教学设计第(3)节
学习主题:
1直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
学习目标:
1、掌握直角三角形的性质“直角三角形中,如果一个锐角等于30度,那么它所对的直角边等于斜边的一半”;
2、掌握直角三角形的性质“直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30度”;
重点:
直角三角形的性质,难点:
直角三角形性质的应用
学习环节
学习活动
学习方式
一、创设情境,导入新课
1直角三角形有哪些性质?
(1)两锐角互余;
(2)斜边上的中线等于斜边的一半
2按要求画图:
(1)画∠MON,使∠MON=30°,
(2)在OM上任意取点P,过P作ON的垂线PK,垂足为K,量一量PO,PK的长度,PO,PK有什么关系?
(3)在OM上再取点Q,R,分别过
Q,R作ON的垂线QD,RE,垂足分别为D,E,量一量QD,OQ,它们有什么关系?
量一量RE,OR,它们有什么关系?
由此你发现了什么规律?
直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
为什么会有这个规律呢?
这节课我们来研究这个问题.
二、合作交流,探究新知
1探究直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边为什么等于斜边的一半。
如图,Rr△ABC中,∠A=30°,BC为什么会等于
AB
分析:
要判断BC=
AB,可以考虑取AB的中点,如果如果BD=BC,那么BC=
AB,由于∠A=30°,所以∠B=60°,
如果BD=BC,则△BDC一定是等边三角形,所以考虑判断△BDC是等边三角形,你会判断吗?
由学生完成
归纳:
直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
这个定理的得出除了上面的方法外,你还有没有别的方法呢?
先让学生交流,得出把△ABC沿着AC翻折,利用等边三角形的性质证明。
2上面定理的逆定理
上面问题中,把条件“∠A=30°”与结论“BC=
AB”交换,结论还成立吗?
学生交流
方法
(1)取AB的中点,连接CD,判断△BCD是等边三角形,得出∠B=60°,从而
∠A=30°
(2)沿着AC翻折,利用等边三角形性质得出。
(3)你能把上面问题用文字语言表达吗?
归纳:
直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30度。
三、应用迁移,巩固提高
1、定理应用
例1、在△ABC中,△C=90°,∠B=15°,DE垂直平分AB,垂足为点E,交BC边于点D,BD=16cm,则AC的长为______
例2、如图在△ABC中,若∠BAC=120°,AB=AC,AD⊥AC于点A,BD=3,则BC=______.
2实际应用
例3、(P5)在A岛周围20海里水域有暗礁,一轮船由西向东航行到O处时,发现A岛在北偏东60°的方向,且与轮船相距30
海里,该轮船如果不改变航向,有触礁的危险吗?
板书设计:
精典作业设计:
P7习题A组3、4
教学反思:
桃江玉潭实验学校初中部
教学设计第(4)节
学习主题:
1.2直角三角形的性质和判定(Ⅱ)
学习目标:
(1)掌握勾股定理;
(2)学会利用勾股定理进行计算、证明与作图
(3)了解有关勾股定理的历史.
(4)在定理的证明中培养学生的拼图能力;
教学重点:
勾股定理及其应用
教学难点:
通过有关勾股定理的历史讲解,对学生进行德育教育
学习环节
学习活动
学习方式
1、新课背景知识复习
(1)三角形的三边关系
(2)问题:
直角三角形的三边关系,除了满足一般关系外,还有另外的特殊关系吗?
2、定理的获得 让学生用文字语言将上述问题表述出来.
勾股定理:
直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方强调说明:
(1)勾――最短的边、股――较长的直角边、弦――斜边
(2)学生根据上述学习,提出自己的问题(待定)
3、定理的证明方法
方法一:
将四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形.
方法二:
将四个全等的直角三角形拼成如图2所示的正方形,
以上证明方法都由学生先分组讨论获得,教师只做指导.最后总结说明
4、定理的应用
练习P11
例题1、已知:
如图,在△ABC中,∠ACB=900,AB=5cm,BC=
3cm,CD⊥AB于D,求CD的长.
解:
∵△ABC是直角三角形,AB=5,BC=3,由勾股定理有
∴
又∠2=∠C
∴CD的长是2.4cm
板书设计:
精典作业设计:
P16习题A组1、2、3
教学反思:
桃江玉潭实验学校初中部
教学设计第(5)节
学习主题:
1.2直角三角形的性质和判定(Ⅱ)
学习目标:
(1)理解并会证明勾股定理的逆定理;
(2)会应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形;
(3)知道什么叫勾股数,记住一些觉见的勾股数
教学重点:
勾股定理的逆定理及其应用
学习环节
学习活动
学习方式
1、新课背景知识复习:
勾股定理的内容、文字叙述、符号表述、图形
2、逆定理的获得
(1)让学生用文字语言将上述定理的逆命题表述出来
(2)学生自己证明
逆定理:
如果三角形的三边长a、b、c有下面关系:
a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形
强调说明:
(1)勾股定理及其逆定理的区别
勾股定理是直角三角形的性质定理,逆定理是直角三角形的判定定理.
(2)判定直角三角形的方法:
①角为900②垂直③勾股定理的逆定理
2、 定理的应用
P15例题3判定由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形。
(1)a=6,b=8,c=10;
(2)a=12,b=15,c=20.
P15例题4如图1-21,在△ABC中,已知AB=10,BD=6,AD=8,AC=17.求DC的长。
练习:
P16练习1、2
补充:
1、如果一个三角形的三边长分别为a2=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n)
则这三角形是直角三角形
证明:
∵a2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2
=m4+2m2n2+n4
=(m2+n2)2
∴a2+b2=c2 ,∠C=900
2、已知:
如图,四边形ABCD中,∠B=
,AB=3,BC=4,
CD=12,AD=13求四边形ABCD的面积
解:
连结AC
∵∠B=
,AB=3,BC=4
∴
∴AC=5
∵
∴
∴∠ACD=900
以上习题,分别由学生先思考,然后回答.师生共同补充完善.(教师做总结)
板书设计:
精典作业设计:
P16习题A组1、2、3、4
教学反思:
(1)逆定理应用时易出现的错误分不清哪一条边作斜边(最大边)
(2)判定是否为直角三角形的一种方法:
结合勾股定理和代数式、方程综合运用.
桃江玉潭实验学校初中部
教学设计第(6)节
学习主题:
1.2直角三角形的性质和判定(Ⅱ)
学习目标:
1、准确运用勾股定理及逆定理.
2、经历勾股定理的应用过程,熟练掌握其应用方法,应用“数形结合”的思想来解决.
教学重点:
掌握勾股定理及其逆定理
教学难点:
正确运用勾股定理及其逆定理.
学习环节
学习活动
学习方式
一、创设情境,激发兴趣
教师道白:
在一棵树的l0m高的D处有两只猴子,其中一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘A处,另一只爬到树顶后直接跃向池塘A处,如果两只猴子所经过的距离相等,试问这棵树有多高?
评析:
如图所示,其中一只猴子从D→B→A共走了30m,另一只猴子从D→C→A也共走了30m,且树身垂直于地面,于是这个问题可化归到直角三角形解决.
二、范例学习
如图,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,请在给定网格中按下列要求画出图形:
(1)从点A出发画一条线段AB,使它的另一个端点B在格点(即小正方形的顶点)上,且长度为22;
(2)画出所有的以
(1)中的AB为边的等腰三角形,使另一个顶点在格点上,且另两边的长度都是无理数.
教师分析只需利用勾股定理看哪一个矩形的对角线满足要求.
解
(1)图1中AB长度为22.
(2)图2中△ABC、△ABD就是所要画的等腰三角形.
例如图,已知CD=6m,AD=8m,∠ADC=90°,BC=24m,AB=26m.求图中阴影部分的面积.
解在Rt△ADC中,
AC
=AD
+CD
=6
+8
=100(勾股定理),∴AC=10m.
∵AC
+BC
=10
+24
=676=AB
∴△ACB为直角三角形(如果三角形的三边长a、b、c有关系:
a
+b
=c
,那么这个三角形是直角三角形),∴S阴影部分=S△ACB-S△ACD=1/2×10×24-1/2×6×8=96(m
).
评析:
这题应总结出两种思想方法:
一是求不规则图形的面积方法“将不规则图化成规则”,二是求面积中,要注意其特殊性.
板书设计:
精典作业设计:
P17习题A组5、6B组7、8、9
教学反思:
桃江玉潭实验学校初中部
教学设计第(7)节
学习主题:
1.3直角三角形全等判定
学习目标:
1.使学生理解判定两个直角三角形全等可用已经学过的全等三角形判定方法来判定.
2.使学生掌握“斜边、直角边”公理,并能熟练地利用这个公理和一般三角形全等的判定方法来判定两个直角三角形全等.指导学生自己动手,发现问题,探索解决问题(发现探索法).
教学重点:
“斜边、直角边”公理的掌握.
难点:
“斜边、直角边”公理的灵活运用.
学习环节
学习活动
学习方式
(一)复习提问
1.三角形全等的判定方法有哪几种?
2.三角形按角的分类.
(二)讲解新课
斜边、直角边公理:
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
这是直角三角形全等的一个特殊的判定公理,其他判定公理同于任意三角形全等的判定公理.
练习
1、具有下列条件的Rt△ABC与Rt△A'B'C'(其中∠C=∠C'=Rt∠)是否全等?
如果全等在()里填写理由,如果不全等在()里打“×”.
(1)AC=A'C',∠A=∠A' ( )
(2)AC=A'C',BC=B'C' ( )
(3)∠A=∠A',∠B=∠B' ( )
P20例题1如图1-23,BD,CE分别是△ABC的高,且BE=CD.
求证:
Rt△BEC≌Rt△CDB
2、如图,已知∠ACB=∠BDA=Rt∠,若要使△ACB≌△BDA,还需要什么条件?
把它们分别写出来(有几种不同的方法就写几种).
理由:
( )( )( )( )
P20例题2已知一直角边和斜边,求作直角三角形。
已知:
求作:
作法:
(1)
(2)
(3)
板书设计:
精典作业设计:
教学反思:
桃江玉潭实验学校初中部
教学设计第(8)节
学习主题:
1.4角平分线的性质
(1)
学习目标:
1、探索两个直角三角形全等的条件
2、掌握两个直角三角形全等的条件(HL):
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
教学重点:
直角三角形的判定方法“HL”,角平分线性质
难点:
直角三角形的判定方法“HL”的说理过程
学习环节
学习活动
学习方式
二、新授
探究1
把两个直角三角形按如图摆放,
已知,在△OPD与△OPE中,PD⊥OB,PE⊥OE,
∠BOP=∠AOP,请说明PD =PE。
思路:
证明Rt△PDO≌Rt△PEO,得到PD=PE。
归纳结论:
角平分线上的点到角两边的距离相等
探究2
把两个直角三角形按如图摆放,
已知,在△OPD与△OPE中,PD⊥OB,PE⊥OE,
PD =PE,请说明∠BOP=∠AOP。
请学生自行思考解决证明过程。
归纳结论:
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
(板书)
三、例题讲解
P23例题1如图1-28,∠BAD=∠BCD=900,∠1=∠2.
(1)求证:
点B在∠ADC的平分线上
(2)求证:
BD是∠ABC的平分线
四、巩固练习:
P24练习1、2
(到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上,角平分线上的点到两边的距离相等,等腰三角形的判定的综合应用)
变式训练
变式一请学生根据图形出一道证明题,然后不改变条件,让学生探究还可以证明什么?
板书设计:
精典作业设计:
P26习题1.4A组1、2、3
教学反思:
桃江玉潭实验学校初中部
教学设计第(9)节
学习主题:
1.4角平分线的性质
(2)
学习目标:
1、掌握角平分线的性质:
角平分线上的点到角两边的距离相等。
2、掌握角平分线的判定:
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
教学重点:
角平分线定理的理解。
难点:
角平分线定理的简单应用
学习环节
学习活动
学习方式
一、知识回顾
1、角平分线的性质:
2、角平分线的判定:
二、动脑筋
P24如图1-29,已知EF⊥CD,EF⊥AB,MN⊥AC,M是EF的中点,需要添加一个什么条件,就可使CN,AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢?
(可以添加条件MN=ME或MN=MF)
理由:
∵NE⊥CD,MN⊥CA
∴M在∠ACD的平分线上,即CM是∠ACD的平分线
同理可得AM是∠CAB的平分线。
三、例题讲解
P25例题2如图1-30,在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点P,作PE⊥DB,PF⊥AC,垂足分别为点E、F.试探索BE+PF与PB的大小关系。
四、练习P25练习1、2
动脑筋P25
如图1-31,你能在△ABC中找到一点P,使其到三边的距离相等吗?
五、小结
1、角平分线上的点到角两边的距离相等。
2、角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
板书设计:
精典作业设计:
P26习题1.4B组4、5
教学反思:
桃江玉潭实验学校初中部
教学设计第(10)节
学习主题:
小结与复习
(1)
学习环节
学习活动
学习方式
例题讲解
例1:
已知,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=8cm,D为AB中点,DE⊥AC于E,
∠A=30°,求BC,CD和DE的长
分析:
由30°的锐角所对的直角边为斜边的一半,BC可求,由直角三角形斜边中线的性质可求CD.
在Rt△ADE中,有∠A=30°,则DE可求.
解:
在Rt△ABC中
∵∠ACB=90∠A=30°∴
∵AB=8∴BC=4
∵D为AB中点,CD为中线
∴
∵DE⊥AC,∴∠AED=90°
在Rt△ADE中,
,
∴
例2:
已知:
△ABC中,AB=AC=BC(△ABC为等边三角形)D为BC边上的中点,
DE⊥AC于E.求证:
.
证明:
∵DE⊥AC于E,∴∠DEC=90°(垂直定义)
∵△ABC为等边三角形,∴AC=BC∠C=60°
∵在Rt△EDC中,∠C=60°,∴∠EDC=90°-60°=30°
∴
∵D为BC中点,
∴
∴
∴
.
例3:
已知:
如图AD∥BC,且BD⊥CD,BD=CD,AC=BC.
求证:
AB=BO.
证明:
作DF⊥BC于F,AE⊥BC于E
∵△BDC中,∠BDC=90°,BD=CD
∴
∵BC=AC∴
∵DF=AE∴
∴∠ACB=30°
∵∠CAB=∠ABC,∴∠CAB=∠ABC=75°
∴∠OBA=30°
∴∠AOB=75°
∴∠BAO=∠BOA∴AB=BO
板书设计:
精典作业设计:
P28复习题1
教学反思:
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 八年 级数 直角三角形 教学 设计
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)