完整版高中数学复数讲义教师版.docx
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完整版高中数学复数讲义教师版
知识内容
」、复数的概念
1.虚数单位i:
(1)它的平方等于1,即i21;
(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立.
(3)i与一1的关系:
i就是
1的一个平方根,即方程
2x
2
1的一个根,方程x1的另一个根是-i
(4)i的周期性:
・4n1.
ii
.4n24n3
i1,i
i,
i4n1.
实数a(b
0)
2.数系的扩充:
复数abi
虚数a
bi(b
纯虚数bi(a0)
0)
非纯虚数abi(a0)
3.复数的定义:
形如abi(a,bR)的数叫复数,a叫复数的实部,b叫复数的虚部•全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示
4.复数的代数形式:
通常用字母z表示,即zabi(a,bR),把复数表示成abi的形式,叫做复数的代数形式.
5.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系:
对于复数abi(a,bR),当且仅当b0时,复数abi(a,bR)是实数a;当b0时,复数
ab0时,z就是实数0
zabi叫做虚数;当a0且b0时,zbi叫做纯虚数;当且仅当
复数
是里数卫<上H实数Q也负宾数
[二纯虚毅hi丝鋼是虚妇
纯虚敬的虚敬
6.复数集与其它数集之间的关系:
N荷ZQ荷RC
7.两个复数相等的定义:
如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等.这就是说,如果a,a,b,d,
c,dR,那么abicdiac,bd
、复数的几何意义
1.复平面、实轴、虚轴:
复数zabi(a,bR)与有序实数对a,b是一一对应关系.建立一一对应的关系.点Z的横坐
标是a,纵坐标是b,复数zabi(a,bR)可用点Za,b表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实
数.
2..对于虚轴上的点要除原点外,因为原点对应的有序实数对为0,0,它所确定的复数是
z00i0表示是实数.
除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.
3.
复数zabi一一对应复平面内的点Z(a,b)
这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法.
三、复数的四则运算
1.
复数Z1与Z2的和的定义:
ZZ2abicdi
a
cbdi
2.
复数Z1与Z2的差的定义:
ZZ2abicdi
a
cbdi
3.
复数的加法运算满足交换律
:
Z1
Z2Z2z
4.
复数的加法运算满足结合律
:
(Z
Z2)Z3Z(Z2Z3)
5.乘法运算规则:
设ziabi,Z2cdi(a、b、c、dR)是任意两个复数,那么它们的积z,z2abicdiacbdbcadi
i2换成1,并且把实部与
其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
6.乘法运算律:
(1)z,Z2Z3Z1Z2za
(2)(乙Z2)Z3乙(Z2Z3)
(3)ZiZ2Z3ZiZ2ZiZ3
7.
复数除法定义:
满足cdix
yi
abi的复数
yi(x、y
R)叫复数abi除以复数cdi的商,记为:
(abi)cdi
或者
abi
cdi
除法运算规则:
设复数abi(a、
R),
除以c
di
(c,d
R),其商为xyi(x、yR),
即(abi)cdi
yi
xyi
dicx
dy
dxcyi
.•cxdydx
cyi
bi
由复数相等定义可知
cxdx
:
;a,解这个方程组,得
y
acbd
~2T2
cd
bcad'
2T2cd
于是有:
(a
bi)
di
acbd
c2d2
bcad;
~2i
cd
②利用c
di
di
d2于是将
丄上的分母有理化得:
cdi
原式
bi
a
cdi
(a
bi)(cdi)
[acbi(di)](bcad)i
(ac
(cdi)(cdi)
bd)(bcad)i
c2d2
c2d2
acbdbcad.
~忑~2~2i.
cdcd
•••((a
acbdbcad.
bi)cdi产〒c^i
点评:
①是常规方法,②是利用初中我们学习的化简无理分式时,都是采用的分母有理化思想方
法,而复数cdi与复数cdi,相当于我们初中学习的..32的对偶式32,它们之积为
把这种方法叫做分母
1是有理数,而cdicdic2d2是正实数•所以可以分母实数化.
实数化法.
9.共轭复数:
当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数。
虚部不等于0的两
个共轭复数也叫做共轭虚数.
佢例题精讲
1.复数的概念
【例1】
已知
a
1i
i
2bi(i为虚数单位)
,那么实数
a,b的值分别为()
A.
2,5
B.-3,
1
C.-1.1
D.2,-
2
【答案】
D
【例2】
计算
:
i0!
+i1!
+i2!
+L+
.100!
i
(i表示虚数单位)
【答案】
95
2i
【解析】
••4
-i
1,
而4
|k!
(k
4),故i0!
・1!
・2!
.
+i+i+L
+i100!
ii
(1)
(1)197952i
【例3】
设z
(2t2
5t
3)(t2
2t2)i,
tR,则下列命题中一定正确的是()
A.
z的对应点
Z在第
•象限
B.
z的对应点Z在第四象限
C.
z不是纯虚数
D.
z是虚数
【答案】
D
【解析】
t2
2t2
(t
1)21
0.
【例4】
在下列命题中,
正确命题的个数为(
)
1两个复数不能比较大小;
2若(X21)(x23x2)i是纯虚数,则实数x1;
3z是虚数的一个充要条件是zzR;
4若a,b是两个相等的实数,则(ab)(ab)i是纯虚数;
5zR的一个充要条件是zz.
6z1的充要条件是z1.
z
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【解析】复数为实数时,可以比较大小,①错;x1时,(x21)(x23x2)i0,②错;z为实数时,
也有zzR,③错;ab0时,(ab)(ab)i0,④错;⑤⑥正确.
2.复数的几何意义
【例5】复数z
m2i
12i
(mR,i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于(
【答案】A
【解析】
由已知z
m2i
12i
(m2i)(12i)
(12i)(12i)
1
-[(m4)2(m1)i]
5
在复平面对应点如杲在第
m40,而此不等式组无解.即在复平面上对应的点不可能位于第一象限
m10
35
【例6】若一n,—n,复数(cossin)(sincos)i在复平面内所对应的点在()
44
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】B
【解析】结合正、余弦函数的图象知,当一n,-n时,cossin0,sincos0.
44
【例7】如果复数z满足zizi2,那么zi1的最小值是()
A.1B.2C.2D..5
【答案】A
【解析】设复数z在复平面的对应点为Z,因为zi||zi2,
所以点Z的集合是y轴上以乙(0,1)、乙(0,1)为端点的线段.
zi1表示线段Z1Z2上的点到点(1,1)的距离.此距离的最小值为点Z2(0,1)到点(1,1)
的距离,其距离为1.
【例8】
3
z一的复数
2
z的集合是(
1111
i,-i
2222
C.
2
2i,2
13.1
i:
222
.3.
i
2
【解析】复数z表示的点在单位圆与直线
z2表示z到点
【答案】D
13
1,0与点-,0的距离
22
相等,故轨迹为直线x)-故选D.
2
【例9】已知复数(x2)yi(x-yR)的模为4一,则1的最大值为
x
【答案】.3
【解析】•/x2yi3,
•••(x2)2y23,故(x,y)在以C(2,0)为圆心,3为半径的圆上,丄表示圆上的点(x,y)与
x
原点连线的斜率.
如图,由平面几何知识,易知丄的最大值为.、3.
x
【例10】复数z满足条件:
2z1zi,那么z对应的点的轨迹是()
A•圆
B.
椭圆
C.双曲线D.
抛物线
【答案】
A
【解析】
A;设z
xyi
则有(2x
1)2yi||x(y1)i
,(2x1)2(2y)2x2(y1)2,
化简得:
2
x—
2
1
y-
2
5,故为圆.
3
3
9
【点评】①zzo的几何意义为点z到点Zo的距离;
②zzor(r0)中z所对应的点为以复数z。
所对应的点为圆心,半径为r的圆上的点.
【例11】
复数Z1,Z2满足Z1Z20,
Z1Z2
||ziZ2,证明:
2
Z1
~2
Z2
【解析】
设复数z,,Z2在复平面上对应的点为Z1,Z2,由乙Z2
UlUU
Z2知,以OZ1,
UUUU人
OZ2为邻边的平
行四边形为矩形,
UULUUULU,乙
OZ!
OZ2,故可设-ki(kR,k
Z2
0),
2
所以工k
Z2
2i2
k20.
也可设z1abi,
Z2
cdi,则由向量
(a,b)与向量(c,d)垂直知acbd
0,
Z1abi(ac
Z2cdi
bd)(bead)i
c2d2
be
adi~2icd
2
0,故务
Z2
2
Z2
【例12】已知复数Z1,Z2满足z1,Z21,且Z1Z24,求兰与Z1Z2的值.
Z2
【答案】J^i;4.
3
【解析】设复数,Z2在复平面上对应的点为Z1,Z2,由于(71)2c、71)242,故乙|忆|I乙z/,
UUUU
ULUU
UUUUUUUU乙71
47
故以0乙
OZ2为邻边的平行四边形是矩形,从而
oz1OZ2,则Z1'i
i;
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