数列上下极限的不同定义方式及相关性质.docx
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数列上下极限的不同定义方式及相关性质
目录数列上下极限的不同定义方式及相关性质摘要⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.⋯...01
一、数列的上极限、下极限的定义⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.01
1.用“数列的聚点”来定义⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯...01
2.用“数列的确界”来定义⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯...02
3.数列上、下极限定义的等价性⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯02
二、数列的上、下极限的性质及定理⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.04参考文献⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.14英文摘要⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..15
数列上下极限的不同定义方式及相关性质
摘要:
数列的上、下极限的概念是极限概念的延伸,由于它们在正项级数敛散性的判别法中的重要作用,又成为数学分析中重要的理论部分.本文主要讨论了数列的上下极限的两种
定义方式及其等价证明和一些相关定理.
关键词:
数列、上极限、下极限、聚点、函数
、数列的上极限、下极限的定义
关于数列的上极限、下极限的定义常见的有如下两种形式:
1.用“数列的聚点”来定义
定义1若在数a的任一邻域内都含有数列xn的无限多项,则称a为数列
xn的一个聚点.
例1数列{
(1)nn}有聚点1与1;
n1
数列{sinn}有1,2,0,2和1五个聚点;
422
数列{1}只有一个聚点0;
n
常数列{1,1,,1,}只有一个聚点1.
定义2有界数列xn的最大聚点a大与最小聚点a小分别称为数列xn的
上极限和下极限,记作
nnlimsin1,limsin1n4n4
2.用“数列的确界”来定义
定义3任给数列xn,定义
若定义1中的a可允许是非正常点或,则:
任一点列xn至少有一个
聚点,且存在最大聚点与最小聚点.不难证明:
正上(下)界点列的最大(小)
聚点为().于是,无上(下)界点列有非正常上(下)极限().
a大limxnlimsup{xk};
nnkn
a大limxnlimsup{xk};
如果lnimsukpn{xk},则lnimsukpn{xk}或实数.
设a数列xn的任一聚点,则必有xn的子列,xniai.n,
当in时,niin,有
xnisup{xk},
kn
alimxnsup{xk},
iniknk
alnimsup{xk},
nkn
所以,数列xn的最大聚点满足
limxnlimsup{xk}.
nnkn
另一方面,ylimxn,易见,y,+中最多含有数列xn中的有限多项.
因此,N,当kN时,有xky,从而,当nN时,有
sup{xk}y,
kn
由此可得
limsup{xk}y.nkn
令ynlimxn,推出
limsup{xk}limxn.nknknn
综合上述,有
alimxnlimsup{xk}.nnnknk
类似的可证明或应用上式于xn可证得
a小limxnliminf{xk}.
如果liminf{xk},由于inf{xk}关于n单调递减,所以inf{xk},
nknknkn
对nN.于是,可取自然数n1使得xn11,又可取自然数n2n2n1使得
xn22
所以,得到数列xn的子列{xnk}.这就证明了为数列的聚点,且为最小聚点a小.由此可得
a小lnimxnnlimiknfn{xk};
是自然数当in时,niin,有
aliimxniiknfn{xk}
anlimiknfn{xk}
所以,数列xn的最小聚点满足
limxnliminf{xk}.
nnkn
另一方面,对任意的ylimxn易见,(-,y]中最多含有数列xn中的有限n
多项.因此,存在N是自然数当kN时,有xky,从而,当nN时,有
inkfn{xk}y,
由此可得
nlimiknfn{xk}y.
令y[limxn],推出n
liminf{xk}limxn
nknnn
综合上述,有
a小limxnliminf{xk}.
nnkn
面进一步给出和数列上,下极限定义有关的性质及定理
、数列的上、下极限的性质及定理
设有数列xn与数列yn,则数列的上、下极限有以下性质
例4用上下极限理论证明:
若xn是有界发散数列,则存在xn的两个子列收敛于两个不同的极限.
证明:
因为数列发散的充要条件是limxnlimxn,于是存在xn的两个子nn
列x'nk,x''nk,使nlimx'nklimnxn,nlimx''nklimxn,即存在xn的两个子列收
敛于不同的极限.
性质3(保不等式性质)设有界数列xn,yn满足:
存在N00,当nN0时有xnyn,则
limxnlimyn;nn
limxnlimyn;nn
特别,若,为常数,
又存在N00,当nN0时有an,则
limanlimannn
性质4设xn0,yn0,(n1,2,),则
3)
4)
limxnlimynlimxnynlimxnlimynnnnnn
例5证明:
若xn收敛,则对任意yn(n1,2,),有
limxnynlimxnlimyn(xn0)nnn
1、
证明:
分三种情况讨论
yn,当yn0时
0,当yn0时
若limyn0,则yn中有无穷多项大于零,作新序列n
则yn0,且nlimynnlimyn,对xnyn应用(4)有limxnnlimynnlimxnynnlimxnnlimyn因xn收敛,
所以
limxnlimxnlimxn,nnnnnn
故上式表明
limxnynlimxnlimynlimxnlimyn
nnnnn
但
nlimxnynnlim(xnyn)nlimxnyn(因xn0)
所以
limxylimxlimynnnnnnn
ynmax{yn,0}
2、若limyn,在限制条件下,nlimxn0,因此n充分大时有
xn0,这时等式明显成立
3、若limyn0,可取充分大的正常数C>0,使得
n
nlimyn(C
n
如此应用1、的结果,
limxn(ynC)limxnlim(ynC)nnn
再根据(3),此即
nlimxnynnlimxnCnlimxnnlimynnlimxnC
从而
limxylimxlimy,证毕.
nnnnnnn,证毕.
性质5在不发生()+()情况下,有如下不等式成立:
1、
2、
limxnnlimynnlim(xnyn)nlimxnnlimyn
nnnnn
limxnlimynlim(xnyn)
nnn
3、
事实上,
nlim(xnyn)nlimxnnlimyn这里的等号可以不发生,如对
{xn}{1,0,1,0,1,0,};
{yn}{0,2,0,2,0,2,},
这时{xnyn}{1,2,1,2,1,2,}
limxnlimyn0lim(xnyn)1nnn
nlim(xnyn)2nlimxnnlimyn3
例6证明:
若{xn}收敛,则对任意yn(n1,2,),有
nlim(xnyn)nlimxnnlimyn
证:
我们已有limxnlimynlim(xnyn)limxnlimynnnnnn
注意{xn}收敛,
因此lnimxnnlimxnnlimxn,
所以上式即为
lnimxnnlimynnlim(xnyn)nlimxnnlimyn即成立.
例7证明:
(1)limxnlimynlim(xnyn)limxnlimynnnnnn
(2)
则依上极限定义,0,数列{xn}中至多只有N项大于a,而有穷项小于
a,
即对{xn},至多有N项小于a,而有穷项大于a,
用反证法,设cab,
不妨设
1
(abc),
2
则当nN时,
xnyncab
又有
limxna,limynb,nn
依下极限定义,
由此推出矛盾,
则当nN1时,xna,当nN2时ynb,故abc,即limxnlimynlim(xnyn),
nnn
又令dnxnyn,则xndn(xn).于是limdnlim(yn)limxn,nnn
由于
lnim(yn)nlimyn,
所以
limdnlim(xnyn)limxnlimyn
nnnn
2)以yn及xn分别代替题
(1)中的xn与yn,有
lim(yn)lim(xn)lim(xnyn)limynlimxn,
nnnnn
lnim(xn)nlimxn
limxnlimynlim(xnyn)lim
nnnnnnnn
xn
limy,nn,
limxnlimynlim(xnyn)limxnlimyn,nnnnn
nn
当{xn}:
0,1,2,0,1,2,;{yn}:
2,3,1,2,3,时,题
(1)
(2)中仅不等号成立.
性质6
lim(xn)limxn;
n
lnim(xn)nlimxn;
性质7若limxn0
1
limxnlim1;
nnxn
7)
例7证:
若an0,(n
1
1,2,)且limanlim11,则数列{an}收敛.
nnnan
n
1
证明:
若liman0,则子列{ank},klimank0,于是有lim1,
nkkka
nk
这与limanlim11相矛盾,这样应当有liman0,然后用上下极限等价定nnann
义来证明.
性质8当xna,且xn0,则下式右端有意义(不是0型)时,有
limxnynn
alimyn;n
nlimxnynanlimyn.
首先设
证明:
以第
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- 关 键 词:
- 数列 上下 极限 不同 定义 方式 相关 性质