高中数学必修一函数的概念及其表示教案.docx

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高中数学必修一函数的概念及其表示教案

个性化教学辅导教案

学科:

数学任课教师：

周老师授课时间：

年月日（星期）-

姓名

年级：

高一

教学课题

函数的概念及其表示

阶段

基础（）提高（√）巩固（）

计划课时

第（）次课

共（）次课

教学

目标

知识点：

考点：

方法：

重点

难点

重点：

难点：

教

学

内

容

与

教

学

过

程

课前

检查

作业完成情况：

优□良□中□差□建议__________________________________________

一、函数的基本概念

1.映射:

设是两个非空的集合,如果按照某种对应关系,对于集合的任何一个元素,在集合中都有唯一的元素和它对应,这样的对应叫做从集合到集合的映射,记作.（包括集合及到的对应法则）

对映射概念的认识

（1）与是不同的,即与上有序的.或者说：

映射是有方向的.

（2）集合可以是数集,也可以是点集或其它类型的集合.

（3）集合中每一个输入值,在集合中必定存在唯一输出值.输出值的集合是集合的子集.即集合中可能有元素在集合中找不到对应的输入值.

即：

（i）不允许集合中有空余元素；（ii）允许集合中有剩留元素；

（iii）允许多对一，不允许一对多.

2.函数：

设是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系,使对于集合中的任意一个数,在集合中都有唯一确定的数和它对应。

称为从集合到集合的一个函数,记作：

（1）函数的定义域、值域：

在函数中，叫做自变量,的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.

注意:

（i）函数符号与的含义是一样的；都表示是的函数,其中是自变量,是函数值,连接的纽带是法则。

是单值对应。

（ii）定义中的集合都是非空的数集,而不能是其他集合；

（2）一个函数的构成要素：

定义域、值域和对应关系

（3）相等函数：

两函数定义域相同,且对应关系一致,则这两函数为相等函数。

注:

两个函数的定义域与值域相同,这两函数不一定是相等函数。

如:

函数和,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；

与，其定义域为，值域都为[-1,1]，显然不是相等函数。

因此判断两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系

（4）函数的表示方法：

表示函数的常用解析法、图象法和列表法。

（5）分段函数:

若函数在其定义域的不同子集上,因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数。

（6）复合函数:

设,当在的定义域中变化时,的值在的定义域内变化,因此变量与之间通过变量形成的一种函数关系,记为：

称为复合函数,其中称为自变量,为中间变量，为因变量（即函数）。

如：

设则称为复合函数。

例1、下列各对函数中，相同的是（）

A、B、

C、D、

例2、给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（）

A、0个B、1个C、2个D、3个

例3、下列图象中不能作为函数图象的是（）

二、函数的解析式与定义域

1、求函数定义域的主要依据：

（1）分式的分母不为零；

（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；

例1：

求下列函数的定义域。

（1）f（x）=；

（2）f（x）=；（3）f（x）=－；

2、求函数定义域的两个难点问题复合函数的定义域求法：

（1）已知的定义域为，求的定义域；

求法：

由，知，解得的的取值范围即是的定义域。

（2）已知的定义域为，求的定义域；

求法：

由，得的取值范围即是的定义域。

例2：

已知的定义域为[0,1]，求的定义域。

例3、

例4、。

例5．已知的定义域为[-1,0]，求的定义域。

【变式训练】

（1）已知函数f（x）的定义域为[0，1]，求的定义域；

（2）已知函数f（2x-1）的定义域为[0，1]，求f（1-3x）的定义域

三、函数值域求法：

1.直接观察法:

对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,等等,其值域可通过观察直接得到。

2.配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；

3.换元法（无理函数，部分三角函数；形如的函数）

4.分离常数法

5.变量反表示法（利用变量及已学过函数的有界性，来确定函数的值域。

）

6.判别式法（形如分式函数）

7.函数的单调性法：

a.形如，若用单调性法，用换元法；

b.形如若不能相等，用单调性法，能相等，用不等式法（特别关注的图象及性质）

8.不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如型函数，当不能相等时必须用函数单调性）

9.数形结合法

例．（直接法）2．（直接法）

3．（换元法）4.（Δ法）

5.（Δ法）6.（分离常数法）①②

7.（单调性）

8.①，②（结合分子/分母有理化的数学方法）

9．（数形结合）

四、求函数的解析式：

常见的求函数解析式的方法有待定系数法、换元法、消去法。

例1．已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求函数f（x）的解析式。

（待定系数法）

例2．已知f（2x+1）=3x-2，求函数f（x）的解析式。

（换元法）

例3．已知函数f（x）满足，求函数f（x）的解析式。

（消去法）

【巩固练习】

一、选择题

1.下列四组函数中，表示同一函数的一组是（）

A．B．

C．D．

2.下列图形中，是函数的图象的有（）

ABCD

3.已知函数的定义域为，那么其值域为（　）

A．B．C．D．

4.设是集合到的映射，那么下列命题中是真命题的是（）

A．中任何两个不同的元素必有不同的象

B．中任何一个元素在中的象是唯一的

C．中任何一个元素在中必有原象

D．中一定存在元素在中没有原象

5.已知函数且,那么等于（）

A．B．C．D．

6.已知函数那么的值等于（）

A．B．

C．D．

二、填空题

7.函数的定义域为___________．

8.已知函数，则=___________，=__________.

9.若则，______．

10.已知，求=，=．

注：

[x]表示不超过x的最大整数，如：

[4.1]=4；[3]=3；[-2.1]=-3

三、解答题

11.已知是一次函数，且满足,求．

12.已知函数，求．

13.已知是二次函数，且,求．

能力题

14.

（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________．

（2）已知函数的定义域为，则的定义域为____________．

15.若的定义域为，且，若，则=________．

课后

巩固

作业________________________________;巩固复习_______________________________;

预习布置____________________________

签字

学科组长签字：

学习管理师:

老师

课后

赏识

评价

老师最欣赏的地方：

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备注

（注：

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