北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》45相似三角形判定定理的证明同步练习及答案.docx
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北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》45相似三角形判定定理的证明同步练习及答案.docx
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北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》45相似三角形判定定理的证明同步练习及答案
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》4.5相似三角形判定定理的证明同步练习及答案
相似三角形判定定理的证明(典型题)
知识点1 证明相似三角形判定定理
图4-5-1
1.如图4-5-1,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC边上,DE∥BC,若AD=1,BD=2,则
的值为( )
A.
B.
C.
D.
2.如图4-5-2,在▱ABCD中,AC与BD相交于点O,E为OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则DF∶FC=( )
A.1∶4B.1∶3C.2∶3D.1∶2
图4-5-2
图4-5-3
3.如图4-5-3,在△ABC中,DE∥BC,∠ADE=∠EFC,AD∶BD=5∶3,CF=6,则DE的长为( )
A.6B.8C.10D.12
4.用相似三角形的定义证明平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.
知识点2 相似三角形判定的综合应用
5.如图4-5-4,为了测量一池塘的宽DE,在岸边找到一点C,测得CD=30m,在DC的延长线上找到一点A,测得AC=5m,过点A作AB∥DE交EC的延长线于点B,测得AB=6m,则池塘的宽DE为( )
A.25mB.30mC.36mD.40m
图4-5-4
图4-5-5
6.如图4-5-5,AB是斜靠在墙上的长梯,梯脚B距墙脚1.6m,梯上点D距墙1.4m,BD长0.55m,该梯子的长是________.
7.如图4-5-6所示,已知AD⊥BD,AE⊥BE,求证:
AD·BC=AC·BE.
图4-5-6
8.如图4-5-7,在正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.
(1)求证:
△ABM∽△EFA;
(2)若AB=12,BM=5,求DE的长.
图4-5-7
9.如图4-5-8,△ABC中,点D,F在边AB上,点E在边AC上,如果DE∥BC,EF∥CD,那么一定有( )
A.DE2=AD·AEB.AD2=AF·AB
C.AE2=AF·ADD.AD2=AE·AC
图4-5-8
图4-5-9
10.如图4-5-9,在边长为9的等边三角形ABC中,BD=3,∠ADE=60°,则AE的长为________.
11.如图4-5-10,已知AB∶AD=BC∶DE=AC∶AE,请猜想∠ABD与∠ACE的关系,并说明理由.
图4-5-10
12.教材习题4.9第3题变式题如图4-5-11,在△ABC中,AC=BC,点E,F在直线AB上,∠ECF=∠A.
(1)如图4-5-11①,点E,F在AB上时,求证:
AC2=AF·BE;
(2)如图4-5-11②,点E,F在AB及其延长线上,∠A=60°,AB=4,BE=3,求BF的长.
图4-5-11
13.如图4-5-12,已知AB⊥DB于点B,CD⊥DB于点D,AB=6,CD=4,BD=14,问:
在DB上是否存在点P,使得△PCD与△PAB相似?
如果存在,请求出PD的长;如果不存在,请说明理由.
图4-5-12
14.如图4-5-13,已知直线l的函数表达式为y=-
x+8,且l与x轴、y轴分别交于A,B两点,动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,同时动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动,设点Q,P移动的时间为t秒.
(1)求点A,B的坐标;
(2)当t为何值时,以A,P,Q为顶点的三角形与△AOB相似?
(3)求出
(2)中当以A,P,Q为顶点的三角形与△AOB相似时线段PQ的长度.
图4-5-13
详解
1.B 2.D
3.C [解析]由DE∥BC可得出∠ADE=∠B,结合∠ADE=∠EFC可得出∠B=∠EFC,进而可得出BD∥EF,结合DE∥BC可证出四边形BDEF为平行四边形,根据平行四边形的性质可得出DE=BF,由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC,根据相似三角形的性质可得出BC=
DE,再根据CF=BC-BF=
DE=6,所以DE=10.
4.解:
已知:
如图,在△ABC中,DE∥BC,并分别交AB,AC于点D,E.
求证:
△ADE与△ABC相似.
证明:
∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.
过点D作DF∥AC交BC于点F,
又∵DE∥BC,
∴四边形DFCE是平行四边形,
∴DE=FC,
∴
=
=
,
∴
=
=
.
而∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C,
∴△ADE∽△ABC.
5.C.
6.4.4m
7.证明:
∵AD⊥BD,AE⊥BE,
∴∠ADC=90°,∠BEC=90°.
在△ACD和△BCE中,
∵∠ACD=∠BCE,∠ADC=∠BEC,
∴△ACD∽△BCE,∴
=
,
∴AD·BC=AC·BE.
8.解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=90°,AD∥BC,
∴∠AMB=∠EAF.
又∵EF⊥AM,∴∠AFE=90°,
∴∠B=∠AFE,∴△ABM∽△EFA.
(2)∵∠B=90°,AB=12,BM=5,
∴AM=
=13,AD=AB=12.
∵F是AM的中点,∴AF=
AM=6.5.
∵△ABM∽△EFA,∴
=
,
即
=
,∴EA=16.9,
∴DE=EA-AD=4.9.
9.B
10.7.
11.解:
∠ABD=∠ACE.理由如下:
∵AB∶AD=BC∶DE=AC∶AE,
∴△ABC∽△ADE,
∴∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE.
又∵AB∶AD=AC∶AE,
即AB∶AC=AD∶AE,
∴△BAD∽△CAE,∴∠ABD=∠ACE.
12.解:
(1)证明:
∵AC=BC,
∴∠A=∠B.
∵∠BEC=∠ACE+∠A,∠ACF=∠ACE+∠ECF,∠ECF=∠A,
∴∠ACF=∠BEC,
∴△ACF∽△BEC,∴
=
,
∴AC2=AF·BE.
(2)∵∠A=60°,AC=BC,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°=∠ECF,
∴∠ACE=∠FCB.
又∵∠ECB=∠ACB-∠ACE,∠F=∠ABC-∠FCB,∴∠ECB=∠F.
又∵∠ABC=∠A,
∴△ACF∽△BEC,
∴
=
,∴AF=
,
∴BF=AF-AB=
.
13.解:
存在.
①若△PCD∽△APB,则
=
,即
=
,解得PD=2或PD=12;
②若△PCD∽△PAB,则
=
,即
=
,解得PD=5.6.
∴当PD的长为2或12或5.6时,△PCD与△PAB相似.
14.解:
(1)在y=-
x+8中,
当x=0时,y=8;
当y=0时,x=6.
故点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,8).
(2)在△AOB中,∠AOB=90°,OA=6,OB=8,由勾股定理,得AB=10.
由题意易知BQ=2t,AQ=10-2t,AP=t.
在△AOB和△AQP中,∠BAO=∠PAQ,
第一种情况:
当
=
时,△APQ∽△AOB,
即
=
,解得t=
;
第二种情况:
当
=
时,△AQP∽△AOB,
即
=
,解得t=
.
故当t为
或
时,以A,P,Q为顶点的三角形与△AOB相似.
(3)∵以A,P,Q为顶点的三角形与△AOB相似,
∴当t=
时,
=
,解得PQ=
;
当t=
时,
=
,解得PQ=
.
故当以A,P,Q为顶点的三角形与△AOB相似时,线段PQ的长度是
或
.
4.5相似三角形判定定理的证明
一、选择题
1.下列语句正确的是()
A.在△ABC和△A′B′C′中,∠B=∠B′=90°,∠A=30°,∠C′=60°,则⊿ABC和⊿A′B′C′不相似;
B.在⊿ABC和⊿A′B′C′中,AB=5,BC=7,AC=8,A′C′=16,B′C′=14,A′B′=10,则⊿ABC∽⊿A′B′C′;
C.两个全等三角形不一定相似;
D.所有的菱形都相似
2.如图,在正三角形ABC中,D、E分别在AC、AB上,且
=
,AE=BE,则有( )A.△AED∽△BED B.△AED∽△CBD C.△AED∽△ABD D.△BAD∽△BCD
(3题)(4题)
3.已知:
如图,∠ADE=∠ACD=∠ABC,图中相似三角形共有( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
4.三角形三边之比为3:
5:
7,与它相似的三角形的最长边为21cm,则其余两边之和为()
A.32cmB.24cmC.18cmD.16cm
5.可以判定
∽
,的条件是()
A.∠A=∠
=∠
B.
,且∠A=∠
C.
且∠A=∠
D.以上条件都不对
二、填空题
6.已知一个三角形三边长是6cm,7.5cm,9cm,另一个三角形的三边是8cm,10cm,12cm,则这两个三角形(填相似或不相似)
7.如图,平行四边形ABCD中,M是BC的中点,且AM=9,BD=12,AD=10,则该平行四边形的面积是_____________
8.四边形ABCD∽四边形A,B,C,D,∠A=70度,∠B,=108度,∠C,=92度则∠D=_______
9.在平行四边形ABCD中,AB=10,AD=6,E是AD的中点,在AB上取一点F,使⊿CBF∽⊿CDE,则BF的长为________
三、计算题
10.已知:
如图,在正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP=3PC,Q是CD的中点.
求证:
⊿ADQ∽⊿QCP.
11.⊿ABC中,AD、CE是中线,∠BAD=∠BCE,请猜想⊿ABC的形状,并证明.
参考答案
一、选择题
1.B2.B3.C4.B5.D
二、填空题
6.相似7.728.∠D=9009.1.8
三、10.证明(主要步骤)有正方形性质及已知得PC=
BC=
CD,DQ=
CD,即:
DQ:
PC=2:
1
QC:
AD=2:
1加上直角相等可证相似。
11.等腰三角形。
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