黎曼积分和勒贝格积分定义的比较doc.docx

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目

录

1

引言

............................................................................................................................................

0

2

积分理论的发展.................................................................................................................

0

3

黎曼积分和勒贝格积分定义的比较

.......................................................................

1

3.1黎曼积分.............................................................................................................................

1

3.2

勒贝格积分........................................................................................................................

2

4

黎曼积分与勒贝格积分的关系.................................................................................

3

5

黎曼积分和勒贝格积分性质的比较

.......................................................................

4

5.1

被积函数绝对可积性的比较............................................................................................

4

5.2

被积函数的有界性的比较................................................................................................

4

5.3中值定理.............................................................................................................................

5

5.4

被积函数连续性的比较....................................................................................................

6

5.5收敛条件.............................................................................................................................

6

6

黎曼积分（广义）与勒贝格积分区别及联系....................................................

8

7

勒贝格积分的某些推广......................................................................................................

9

8

结束语...........................................................................................................................................

10

参考文献.........................................................................................................................................

11

致谢.....................................................................................................................................................

12

黎曼积分和勒贝格积分的比较

数学系本1001班王海荣

指导老师：

张炎彪

摘要：

本文章我们将从学习过的黎曼积分和勒贝格积分的知识出发，探讨

和归纳出黎曼积分和勒贝格积分两者之间的区别与联系，通过两者的定义、被积

函数的连续性，有界性、收敛条件、中值定理、绝对可积性以及广义黎曼积分和

勒贝格积分的比较上，从而说明了勒贝格积分在处理一些黎曼积分难以解决的问

题上时比较的具有优势，同时还指出了勒贝格积分是黎曼积分的重要推广，但是

却不是黎曼反常积分的推广。

关键词：

黎曼积分，勒贝格积分，连续性，有界性。

RiemannintegralandtheLebesgueintegral

WangHairong

Class1001，MathematicsDepartment

Tutor:

ZhangYanbiao

Abstract:

Inmythesis,basedontheknowledgeoftheRiemannintegralandtheLebesgueintegral,wewanttoexploreandsummarizethedifferenceandconnectionbetweentheRiemannintegralandtheLebesgueintegral.Throughthedefinitionofbothitems,thecontinuityandboundednessoftheintegrand,theconvergencecondition,theintermediatevaluetheorem,absoluteIntegrabilityandthecomparisonofthebroadsenseofRiemannintegralandtheLebesgueintegral,ItshowsLebesgueintegralhassomeadvantagesinthetreatmentofsomedifficultproblemsonRiemannintegral,andalsopointesoutthattheLebesgueintegralisanimportantgeneralizationofRiemannintegral,anditisnotthepromotionofRiemannanomalousintegral.

Keywords:

Riemannintegral,Lebesgueintegral,continuity,boundedness.

1引言

黎曼积分和勒贝格积分分别是数学分析和实变函数的主要核心内容。

虽然莱布尼茨和牛顿两人发现了微积分，而且还给出了定积分的相关论述，但是现在我们所学习的教科书中有关定积分的现代化定义是黎曼积分给出来的。

勒贝格积分是黎曼积分非常重要的推广，勒贝格积分与黎曼积分的最主要不同在于前者是对函数的函数值的区域进行定义区分，而后者是对函数定义域进行定义划分。

这两种积分既有联系又有区别，通过对这两种积分的对比研究，可以让我们加深对积分理论及应用的更多理解。

研究清楚这些问题对我们学习数学非常重要，所以以下我们将对这些问题进行一一深入探讨与研究。

2积分理论的发展

在很早的时候柯西对连续函数做出了积分的定义。

黎曼在柯西的基础上对“基本上”连续的函数积分进一步给出了相关定义。

很早之前人们运用黎曼积分来进行计算曲边形的面积、物体的重心以及物理学上的功和能等方面都是很方便的。

但是随着深入的认识，人们便开始经常地去处理解决一些复杂的函数。

例如由一列性质优良的函数组成的级数所定义出来的函数，和两个变元的函数对一个变元积分后所得到的一元函数等。

在谈论它们的可积性、可微性、连续性时，经

常遇到极限与积分能否交换顺序的相似问题，通常只有在很强的假定下（一致收

敛）才能对这种问题作出确定性的回答。

所以，人们在理论和使用上都急切的想

要建立一种新的积分，它既能够维持黎曼积分在计算和几何直观上具有有效性，

又能够确保极限与积分交换顺序等条件上有很大的改良与突破。

这就需要对黎曼

积分概念进行改良。

把积分学推向进步的是勒贝格，他在1902年成功引进一种新的积分——勒贝格积分，同时还引入了一门新的数学分支学科——实变函数论。

勒贝格理论主要包括勒贝格积分概念、点集的测度和可测函数，1872年，

康托提出集合论，引进了点集的概念，间断点可以看做一个整体进行考察，这样

子就为间断点与可积性关系的探究提供了办法，勒贝格在原来的基础上推广了长

度，建立点集测度的概念，与此同时，定义了内测度

m（E）和外测度

m（E），如

果m（E）

m（E）时，我们称

E为可测集，并称内测度和外测度的公共值

I为点

集E的测度。

勒贝格的测度概念把黎曼可积函数类变得非常的了然。

勒贝格又把

可测集上的函数定义为可测函数，那么E是一有界可测集，f（x）是定义在E上

的实函数，如果对任一实数a，点集E{x:

f（x）a}还是勒贝格可测集，则f（x）

是E上的可测函数。

容易知道，可测函数不是连续函数的简单推广，它是在测度论基础上构造出来的，但它能把连续函数、可导函数、单调函数作为特例加以概括。

能够证明，区间上的任意连续函数都是可测函数，狄利克雷函数则是不连续的可测函数。

利用可测函数，在研究黎曼积分的定义方式后，考虑到由于间断点所造成的振幅过大的困难，勒贝格大胆地改变了对黎曼积分作函数定义域分割的方法，而采用对函数值域分割的方法，从而寻求到“缩小”振幅，消除间断点困难的简单、巧妙而富有哲理性的逆向思维方式。

并在点集论、测度论、可测函数等已有基本概念上创建一种新的积分类型——勒贝格积分。

彻底解决了黎曼积分自身局限性所造成的各种困难问题，定义了他自己的积分概念。

这两种积分既有区别又有联系，通过对这两种积分的对比研究，能让我们加深对积分理论及应用的理解。

3黎曼积分和勒贝格积分定义的比较

3.1黎曼积分

黎曼积分是为了处理计算平面上封闭曲线围成图形的面积问题而产生的,它

是从划分闭区间a,b上着手,利用极限想法来进行定义的。

定义1设函数f（x）在a,b

上有以下定义。

随意给a,b一个划分T

：

a=

x0

x1

xn=b，然后在所有小区间xk

1,xk上任意取一点

，

1,2,,n

。

kk

记区间xk1,xk

的长为k=x

k

x

1

，令l（T）

max{

k:

k1,2,

n}。

作积分和

k

n

n的极限是I，即

为n

f（k）

k。

假设当l（T）

0时，那么积分和

k1

lim

n

lim

f（k）kI，且数I与划分T无关，也与k的取值无关，则称

l（T）0

l（T）0

1

k

函数f（x）在a,b黎曼可积，I是在a,b上的黎曼积分，表示为

I

（R）

b

0时，积分和

n极限不存在，称函数f（x）在a,b

f（x）dx。

假设当l（T）

a

上是不可积。

黎曼积分的定义知道：

若函数

f（x）在a,b上黎曼可积，那么f（x）

在a,b上必定有界。

换句话说，若函数f（x）

在a,b

上无界，则f（x）在a,b上必

定不是黎曼可积。

3.2勒贝格积分

利用与黎曼积分类似的思想，从划分函数值域着手利用极限思想来定义勒贝格积分。

定义2

设函数

f（x）是a,b上的有界可测函数，m

f（x）M。

任意给m,M

一个划分T：

my0

y1

ynM。

然后考虑集合

Ek

{x:

yk1

f（x）yk}，

n

n

当k1,2

n，给勒贝格定义小和s及大和S，s

yk

1mEk，S

ykmEk，

k1

k1

则会有infSsups和0S-st（ba），其中tmax{ykyk1

b

以定义函数f（x）在a,b上的勒贝格积分为infSsups（L）

a

:

k1,2,,n}。

所

f（x）dx。

由定义可以知道在有界区间上的有界可测函数勒贝格积分总是存在的。

比较

黎曼积分的定义1和勒贝格积分的定义2，会使人们觉得，黎曼积分是对区间a,b

进行划分来思索的，然而勒贝格积分是从对函数值域进行划分来思索的。

但这并

不是它们真正区分的实质。

因为我们也可以不需要划分函数值域的方法去定义L

黎曼积分，以下称为

3定义。

定义3设f（x）

是Rn

上的非负可测的简易函数，它在点集

Ai（i1,2,

p）上

p

p

AiRn,AiAj

取值ci:

f（x）cixAi,

（ij）。

假如E是可测集，那么定义

i1

i1

p

非负可测简易函数f（x）在E上的勒贝格积分为（L）f（x）dx

cix（E

Ai）。

设

E

i1

f（x）是ERn上的非负可测函数，我们定义

f（x）是E上的勒贝格积分，为

（L）f（x）dx

sup{h（x）dx:

h（x）是Rn上的非负可测简易函数}。

若

E

h（x）f（x）xE

E

（L）f（x）dx，则称f（x）在E上是勒贝格可积的。

E

设f（x）是ERn上的可测函数，f（x）max{f（x）,0}，

f（x）max{f（x）,0}，如果积分（L）f（x）dx中最起码有一个是有限的，则称

E

（L）f（x）dx（L）f（x）dx（L）f（x）dx为f（x）在E上的勒贝格积分；如果上

EEE

面式子右边两个积分都有限时，则称f（x）在E上是勒贝格可积的。

从勒贝格积分的定义3可以知道，在这没有对函数值域作出任何的划分，而

是从非负可测简单函数角度来定义可测函数的勒贝格积分，固然勒贝格积分的这两个定义是相等的。

虽然在a,b上黎曼可积的函数是勒贝格可积的，但反过来说明就不一定是成立的。

所以对区间作划分上的区别只是表面现象，并不是勒贝

格积分定义的本义性质。

4黎曼积分与勒贝格积分的关系

我们已经差不多建立好了勒贝格积分理论，在进一步说明这一理论的其他内容之前，我们可以先揭示它与黎曼积分的关系。

它们的关系能用一个公式来表示，它不但阐明勒贝格积分是黎曼积分的一种推广，而且为一般有界函数的黎曼可积性提供了一个简单的判别准则。

本文将从一维的情形进行探讨，在这里要用到黎曼积分理论的下述结果：

设f（x）是定义在I

a,b

上的有界函数，{

n}是对

a,b

所做的分划序列：

n

:

a

n

n

xkn

n

b

n

1,2,

，

n

n

n

:

1i

kn}，

x0

x1

max{xi

xi1

lim

n

0，若令（对每个i以及n）

n

sup{f（x）:

xi

n

xxi

n

}，

Mi

1

n

mi

n

inf{f（x）:

xi1

n

xxi

n}，则关于f（x）的Darboux上，下积分下述等式成

-

b

kn

n

n

xn

b

kn

n

n

xn

立：

f（x）dxlim

xi

1，

f

xdx

lim

。

Mi

i

mixi

i1

a

n

i

1

-

a

n

i1

引理1

设f（x）是定义在I

a,b

上的有界函数，记

（x）是f（x）在a,b

上的

-

a

b

振幅（函数），我们有

xdx

f（x）dx

f（x）dx。

左端是

（x）在I上的勒贝

I

b

a

格积分。

证明因为f（x）在a,b

上是有界的，所以

（x）是a,b上的有界函数，所以

L

a,b

。

对于之前所述说的分划序列{

n}，作下列函数列有

n

x

Mi

n,xxn

i1,xi

n

，i

1,2,,kn,n

1,2,

，

0,x是n的分点，

E

{x

a,b:

x是n

n

1,2,

的分点}，

显然mE

0

且有lim

n（x）

（x）,x

a,b

E。

我们记A,B各是f（x）在a,b上

n

的上确界、下确界，存在一切x，有n（x）AB，所以根据控制收敛定理（控

制函数是常数函数）可以得到

lim

I

n

（x）dx

I

xdx。

从另一方面看，因为

n

kn

n

n

n

xn

I

n

xdx

Mi

mi

xi

i1

i

1

kn

n

n

xn

kn

n

n

xni1

Mi

xi

i1

mi

xi

i

1

i

1

-

b

b

得到

xdx

lim

nxdx

f

xdx

fxdx。

I

n

I

a

a

定理1函数黎曼可积的充分必要条件是函数不连续点的一切要成一零测

集。

5黎曼积分和勒贝格积分性质的比较

5.1被积函数绝对可积性的比较

我们都知道如果f在a,b上是可积的，那么f在a,b上也是可积的，这就说明了对于勒贝格积分来说，f在a,b上可积与f在a,b上可积是相互等的，

但是对于黎曼积分来说，这个性质反而不成立。

例1fx

1，x是有理数；

，显然，f（x）在0,1上不是黎曼可积；但是

-1，x是无理数

f（x）1，f（x）在0,1上黎曼可积。

5.2被积函数的有界性的比较

由定理1我们知道函数黎曼可积的充分必要条件是函数不连续点的全体要

成一零测集，函数连续点的全体所构成的集合也一定是稠密集，简略说明，黎曼

积分理论是针对连续函数或“基本上”连续的函数而建立，同时说明可积函数必

定是有界的。

定理2如果函数

f黎曼可积，那么

f必定有界。