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新课标全国2卷理科数学
2016年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ)
理科数学
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页.
2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.
4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的.
1.
已知z
(m
3)
(m
1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数
m的取值范围是
(A)
3,1
(B)
1,3
(C)1,+
(D)-
,3
2.
已知集合A
{1,
2,
3},B
{x|(x1)(x
2)0,xZ},则A
B
(A)1
(B){1,2}
(C)0,1,2,3
(D){1,0,1,2,3}
3.
已知向量a
(1,m),b=(3,2)
,且(ab)
b,则m=
(A)8
(B)6
(C)6
(D)8
4.
圆x
2
y
2
2x8y
13
0的圆心到直线axy
10的距离为
1,则a=
(A)
4
(B)
3
(C)3
(D)2
3
4
5.
如图,小明从街道的
E处出发,先到
F处与小红会合,再一起到位于
G处的老年公寓参加志愿者
活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
(A)24(B)18(C)12(D)9
6.右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为
1
(A)20π(B)24π(C)28π(D)32π
7.
若将函数y=2sin2x的图像向左平移
π个单位长度,则平移后图象的对称轴为
12
(A)x
kππk
Z
(B)x
kππkZ
2
6
2
6
(C)x
kππkZ
(D)x
kππkZ
2
12
2
12
8.
中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图
.执行该
程序框图,若输入的
x
2,n
2,依次输入的
a为2,2,5,则输出的s
(A)7
(B)12
(C)17
(D)34
9.
若cosπ
3,则sin2
=
4
5
(A)7
(B)1
(C)
1
(D)
7
25
5
5
25
10.
从区间0,1
随机抽取
2n个数x1,x2
,⋯,xn,y1,y2
,⋯,yn
,构成n个数
11
,
22
⋯
,
n,
y
n
,其中两数的平方和小于
1
的数对共有
m
个,
对x,y
x,y,
x
则用随机模拟的方法得到的圆周率
的近似值为
(A)4n
(B)2n
(C)4m
(D)2m
m
m
n
n
11.
已知F1,F2是双曲线
x2
y2
1
E:
2
2
1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sinMF2F1,
a
b
3
则E的离心率为
(A)2
(B)
3
(C)3
(D)2
2
12.
已知函数f
xxR
满足f
x
2f
x
,若函数y
x
1
与y
fx
图像的交点
x
m
为x1,y1
,x2,y2
,?
,xm,ym
,则
xiyi
(
)
i
1
(A)0
(B)m
(C)2m
(D)4m
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.
第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答
。
题为
第22~24
选考题。
考生根据要求作答。
二、选择题:
本题共
4小题,每小题
5分。
13.△ABC的内角A,B,C的对边分别为
a,b,c,若cosA
4,cosC
5
,则b
.
,a1
5
13
2
14.,是两个平面,m,n是两条线,有下列四个命题:
①如果m
n,m
,n∥,那么
.
②如果m
,n∥
,那么mn.
③如果a∥
,m
,那么m∥.
④如果m∥n,∥
,那么m与所成的角和n与
所成的角相等.
其中正确的命题有
.(填写所有正确命题的编号)
15.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片
后说:
“我与乙的卡片上相同的数字不是
2”,乙看了丙的卡片后说:
“我与丙的卡片上相同的数字
不是1”,丙说:
“我的卡片上的数字之和不是
5”,则甲的卡片上的数字是
16.
若直线ykx
b是曲线y
lnx2的切线,也是曲线y
lnx1
的切线,b
.
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.
(本小题满分
12
分)
Sn为等差数列
an
的前n项和,且a1
1,S7
28.记bn
lgan
,其中x表示不超过x的最大整
数,如0.9
0,lg99
1.
(Ⅰ)求b1,b11,b101;
(Ⅱ)求数列
bn
的前1000项和.
18.(本小题满分12分)
某险种的基本保费为a(单位:
元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与
其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:
一年内出险次数
0
1
2
3
4
≥5
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
(Ⅰ)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;
(Ⅱ)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出
60%
的概率;
(Ⅲ)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
19.(本小题满分12分)
如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB5,AC6,点E,F分别在AD,CD上,
3
5
AECF,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△DEF的位置OD10.
4
(I)证明:
DH
平面ABCD;
(II)求二面角BDAC的正弦值.
19.(本小题满分12分)
22
已知椭圆E:
xy1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k0)的直线交E于A,M两
t3
点,点N在E上,MA⊥NA.
(I)当t4,AMAN时,求△AMN的面积;
(II)当2AMAN时,求k的取值范围.
21.(本小题满分12分)
(I)讨论函数f(x)
x
2
ex的单调性,并证明当
x
0时,(x2)ex
x2
0;
x
2
x
ax
a
(II)证明:
当a[0,1)
时,函数g
x=
e
(x
0)有最小值.设gx
的最小值为h(a),求函数
x
2
h(a)的值域.
请考生在22、23、24题中任选一题作答
如果多做,则按所做的第一题计分
做答时请写清题号
22.(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
如图,在正方形ABCD,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,
过D点作DF⊥CE,垂足为F.
(I)证明:
B,C,G,F四点共圆;
(II)若AB1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.
23.(本小题满分10分)选修4—4:
坐标系与参数方程
2
25.
在直线坐标系xOy中,圆C的方程为x6y2
(I)以坐标原点为极点,
x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求
C的极坐标方程;
(II)直线l的参数方程是
xtcos
10,求l的斜率.
(t为参数),l与C交于A、B两点,AB
ytsin
24.(本小题满分10分),选修4—5:
不等式选讲
已知函数fxx
1
x
1
,M为不等式fx
2的解集.
2
2
(I)求M;
(II)证明:
当a,bM时,ab1ab.
4
2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学答案及解析
1.【解析】A
∴m30,m10,∴3m1,故选A.
2.【解析】C
B
xx
1x
2
,
Z
x1x2,x
Z,
0x
∴B0,1,∴AB
0,1,2,3,
故选C.
3.
【解析】D
a
b
4,m
2
,
∵(ab)b,∴(ab)b122(m2)0
解得m8,
故选D.
4.【解析】A
圆x
2
y
2
2x
8y13
0化为标准方程为:
2
2
x1
y44,
1,4
a
4
1
4
故圆心为
,d
a2
1,解得a
,
1
3
故选A.
5.【解析】B
EF有6种走法,FG有3种走法,由乘法原理知,共6318种走法
故选B.
6.【解析】C
几何体是圆锥与圆柱的组合体,
设圆柱底面圆半径为
r
,周长为c,圆锥母线长为
l,圆柱高为h.
由图得r
2,c
2πr
4π,由勾股定理得:
l
22
2
234,
S表πr
2
ch
1
cl
4π16π8π28π
2
,
故选C.
7.【解析】B
平移后图像表达式为
y2sin2x
π,
12
令2x
π
π
x
kππ
kπ+
,得对称轴方程:
2
kZ,
12
2
6
故选B.
5
8.【解析】C
第一次运算:
s0222,
第二次运算:
s2226,
第三次运算:
s62517,
故选C.
9.【解析】D
∵cos
3,sin2
cosπ2
2cos2π
1
7,
4
5
2
4
25
故选D.
10.【解析】C
i
i
1
2
,n在如图所示方格中,而平方和小于
1
由题意得:
,,
的点均在
x
,yi
如图所示的阴影中
π
m,∴π
4m
由几何概型概率计算公式知
4
,故选C.
1
n
n
11.
【解析】A
F1F2
F1F2
sinM
2
2
离心率e
,由正弦定理得
e
3
2
.
MF2
MF1
MF2
MF1
sinF1
sinF2
1
1
3
故选A.
12.
【解析】B
由f
x
2f
x
得f
x
关于
0,1
对称,
而y
x
1
1
也关于
0,1
对称,
x
1
x
∴对于每一组对称点xi
xi
'0
yi
yi'=2
,
m
m
m
2m
∴
xi
yi
xi
yi
0
m,故选B.
i1
i
1
i1
2
6
13.
21
【解析】
13
∵cosA
4
5
,cosC
,
5
13
sinA
3
12
,
5
,sinC
13
sinB
63
sinACsinAcosCcosAsinC
,
65
b
a
21
由正弦定理得:
解得b
.
sinB
sinA
13
14.【解析】②③④
15.【解析】(1,3)
由题意得:
丙不拿(2,3),
若丙(1,2),则乙(2,3),甲(1,3)满足,
若丙(1,3),则乙(2,3),甲(1,2)不满足,
故甲(1,3),
16.
【解析】1
ln2
y
lnx
2的切线为:
1
lnx1
1(设切点横坐标为
x1)
y
x
x1
y
ln
x
1
的切线为:
y
1
x
ln
x2
x2
x2
1
1
1
x2
1
1
∴
x1
x2
1
x2
lnx1
1
lnx2
1
x2
1
解得x1
1
x2
1
2
2
∴b
lnx1
11
ln2.
17.
【解析】⑴设an
的公差为d,S7
7a4
28,
∴a4
4,∴d
a4
a1
1
,∴an
a1
(n1)dn.
3
∴b1
lga1
lg10,b11
lga11
lg111,b101lga101lg1012.
⑵记
bn
的前n项和为Tn,则T1000
b1
b2
b1000
lga1
lga2
lga1000.
当0≤lgan
1时,n
1,2,,9;
当1≤lgan
2时,n
10,11,,99;
7
当2≤lgan3时,n100,101,,999;
当lg
a
3
时,n1000.
n
∴T1000
0
91
902
900
31
1893.
18.
【解析】⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件
A,
P(A)1P(A)
1(0.30
0.15)
0.55.
⑵设续保人保费比基本保费高出
60%
为事件B,
P(BA)
P(AB)
0.10
0.05
3.
P(A)
0.55
11
⑶解:
设本年度所交保费为随机变量
X.
X
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
P
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
平均保费
EX
0.85
0.30
0.15a
1.25a
0.20
1.5a
0.20
1.75a
0.10
2a
0.05
0.25a5
0.a15
0.a
25a0.3
a0.17a5
,0.a
∴平均保费与基本保费比值为
1.23.
19.
【解析】⑴证明:
∵
AE
CF
5,
4
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