全等三角形教案.docx

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全等三角形教案

课题：

《11.2三角形全等的判定》

（1）导学案

教者：

上课时间：

【学习目标】

1、三角形全等的“边边边”的条件，了解三角形的稳定性．

2、经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．

3、积极投入，激情展示，做最佳自己

【学习重点】三角形全等的条件．

【学习难点】寻求三角形全等的条件．

【学习过程】

一、温故互查

复习：

什么是全等三角形？

全等三角形有些什么性质？

如图，△ABC≌△A′B′C′那么

相等的边是：

相等的角是：

二、提出问题

1、讨论三角形全等的条件（动手画一画并回答下列问题）

（1）．只给一个条件：

一组对应边相等（或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？

（2）．给出两个条件画三角形,有____种情形。

按下面给出的两个条件，画出的两个三角形一定全等吗？

①一组对应边相等和一组对应角相等

②两组对应边相等

③两组对应角相等

（3）、给出三个条件画三角形,有____种情形。

按下面给出三个条件，画出的两个三角形一定全等吗？

①三组对应角相等

②三组对应边相等

已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm．你能画出这个三角形吗？

把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？

a．作图方法：

b．以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现，这说明这些三角形都是的．

c．归纳：

三边对应相等的两个三角形，简写为“”或“”．

d、用数学语言表述：

在△ABC和

中,

∵

∴△ABC≌

用上面的规律可以判断两个三角形．判断，叫做证明三角形全等．所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据．

2、你能解释三角形为什么具有稳定性吗?

三、小组交流解疑，教师点拨、拓展

1、[例]如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．

求证：

△ABD≌△ACD．

温馨提示：

证明的书写步骤：

①准备条件：

证全等时要用的间接条件要先证好；

②三角形全等书写三步骤：

A、写出在哪两个三角形中，B、摆出三个条件用大括号括起来，C、写出全等结论。

2、尺规作图。

已知：

∠AOB.求作：

∠DEF,使∠DEF=∠AOB

四、巩固练习

1、如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：

△ABC≌△ADE。

（*）2、已知：

如图，AD=BC,AC=BD.求证：

∠OCD=∠ODC

五、课堂检测

下列说法中，错误的有（）个

（1）周长相等的两个三角形全等。

（2）周长相等的两个等边三角形全等。

（3）有三个角对应相等的两个三角形全等。

（4）有三边对应相等的两个三角形全等

A、1B、2C、3D、4

六、课堂小结

七、作业：

1、第15页习题11.21-22、第16页第9

课题：

《11.2三角形全等的判定》

（2）导学案

教者：

上课时间：

【学习目标】

1、掌握三角形全等的“SＡS”条件，能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题

2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．

3、积极投入，激情展示，做最佳自己。

【学习重点】三角形全等的条件．

【学习难点】寻求三角形全等的条件．

【学习过程】

一、温故互查

（1）怎样的两个三角形是全等三角形？

全等三角形的性质是什么？

三角形全等的判定

（一）的内容是什么？

（2）上节课我们知道满足三个条件画两个三角形有4种情形，三个角对应相等；三条边对应相等；两角和一边对应相等；两边和一角对应相等；前两种情况已经研究了，今天我们来研究第三种两边和一角的情况，这种情况又要分两边和它们的夹角，两边及其一边的对角两种情况。

二、提出问题

1、探究一：

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形是否全等？

（1）动手试一试

已知：

△ABC

求作：

，使

，

，

（2）把△

剪下来放到△ABC上，观察△

与△ABC是否能够完全重合？

（3）归纳；由上面的画图和实验可以得出全等三角形判定

（二）：

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形（可以简写成“”或“”）

（4）用数学语言表述全等三角形判定

（二）

在△ABC和

中,

∵

∴△ABC≌

2、探究二：

两边及其一边的对角对应相等的两个三角形是否全等？

通过画图或实验可以得出：

三、小组交流解疑，教师点拨、拓展

1、已知:

AD=CD，BD平分∠ADC

求证:

∠A=∠C

例2如图，AC=BD，∠1=∠2,求证:

BC=AD.

变式1:

如图，AC=BD,BC=AD，求证:

∠1=∠2.

变式2:

如图，AC=BD,BC=AD,求证:

∠C=∠D

变式3:

如图，AC=BD,BC=AD,求证:

∠A=∠B

四、巩固练习

1、课本第10页第2题

2、如图，已知OA=OB,应填什么条件就得到△AOC≌△BOD

（允许添加一个条件）

3、能力提升：

（学有余力的同学完成）

如图，已知CA=CB,AD=BD,M、N分别是CA、CB的中点，

求证：

DM=DN

五、当堂检测

如图，AD⊥BC，D为BC的中点，那么结论正确的有

A、△ABD≌△ACDB、∠B=∠CC、AD平分∠BACD、△ABC是等边三角形

六、课堂小结

1、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

简写成“”或“”

2、到目前为止,我们一共探索出判定三角形全等的2种方法，它们分别是:

和

七、作业：

第15页习题11.23-4第16页第10题

课题：

《11.2三角形全等的判定》（3）导学案

教者：

上课时间：

【学习目标】

1、掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题

2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．

3、积极投入，激情展示，体验成功的快乐。

【学习重点】已知两角一边的三角形全等探究．

【学习难点】灵活运用三角形全等条件证明．

【学习过程】

一、温故互查

（1）．到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？

各是什么？

（2）．在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？

三角形中已知两角一边又分成哪两种呢？

二、提出问题

1、探究一：

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形是否全等？

（1）动手试一试。

已知：

△ABC

求作：

△

，使

=∠B,

=∠C，

=BC，（不写作法，保留作图痕迹）

（2）把△

剪下来放到△ABC上，观察△

与△ABC是否能够完全重合？

（3）归纳；由上面的画图和实验可以得出全等三角形判定（三）：

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形（可以简写成“”或“”）

（4）用数学语言表述全等三角形判定（三）

在△ABC和

中,

∵

∴△ABC≌

2、探究二。

两角和其中一角的对边对应相等的两三角形是否全等

（1）如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？

能

利用前面学过的判定方法来证明你的结论吗？

（2）归纳；由上面的证明可以得出全等三角形判定（四）：

两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形（可以简写成“”或“”）

（3）用数学语言表述全等三角形判定（四）

在△ABC和

中,

∵

∴△ABC≌

三、小组交流解疑，教师点拨、拓展

例1、如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．

求证：

AD=AE．

四、巩固练习

1、课本第13页第1题

2、如图，在△ABC中，∠C=2∠B,AD是△ABC的角平分线，∠1=∠B,求证AB=AC+AD

五、当堂检测

已知：

点D在AB上，点E在AC上，∠BAO=∠CAO,BE⊥AC,CD⊥AB,相交于点O，AB=AC，

求证：

BD=CE

六、课堂小结

（1）今天我们又学习了两个判定三角形全等的方法是：

（2）三角形全等的判定方法共有

（3）会根据已知两角及一边画三角形

七、作业：

第15页习题11.25-6第16页第11-12题

课题：

《11.2三角形全等的判定》（4）导学案

教者：

上课时间：

【学习目标】

1、理解直角三角形全等的判定方法“HL”，并能灵活选择方法判定三角形全等；

2．通过独立思考、小组合作、展示质疑，体会探索数学结论的过程，发展合情推理能力；

3.极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

【学习重点】运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

【学习难点】熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

【学习过程】

一、温故互查

（1）、判定两个三角形全等的方法：

、、、

（2）、如图，Rt△ABC中，直角边是、，斜边是

（3）、如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，

①若∠A=∠D，AB=DE，

则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

②若∠A=∠D，BC=EF，

则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

③若AB=DE，BC=EF，

则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）

④若AB=DE，BC=EF，AC=DF

则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）

二、提出问题

如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？

（1）动手试一试。

已知：

Rt△ABC

求作：

Rt△

，使

=90°，

=AB,

=BC

作法：

（2）把△

剪下来放到△ABC上，观察△

与△ABC是否能够完全重合？

（3）归纳；由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法

斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形（可以简写成“”或“”）

（4）用数学语言表述上面的判定方法

在Rt△ABC和Rt

中,

∵

∴Rt△ABC≌Rt△

（5）直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法“”、

“”、“”、“”、还有直角三角形特殊的判定方法“”

三、小组交流解疑，教师点拨、拓展

1、如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？

2、如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？

四、巩固练习

1、如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，

则△ADB与△ADC（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

2、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）

A、两条直角边对应相等B、斜边和一锐角对应相等

C、斜边和一条直角边对应相等D、两个锐角对应相等

3、如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，

AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？

说说你的理由

答：

AB平行于CD

理由：

∵AF⊥BC，DE⊥BC（已知）

∴∠AFB=∠DEC=°（垂直的定义）

∵BE=CF，∴BF=CE

在Rt△和Rt△中

∵

∴≌（）

∴=（）

∴（内错角相等，两直线平行）

五、能力提升：

（学有余力的同学完成）

如图1，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F点，若AB=CD,AF=CE,BD交AC于M点。

（1）求证：

MB=MD,ME=MF;

（2）当E、F两点移动至图2所示的位置时，其余条件不变，上述结论是否成立？

若成立，给予证明。

六、当堂检测

如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，

（1）若AC//DB，且AC=DB，则△ACE≌△BDF，根据

（2）若AC//DB，且AE=BF，则△ACE≌△BDF，根据

（3）若AE=BF，且CE=DF，则△ACE≌△BDF，根据

（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF。

则△ACE≌△BDF，根据

（5）若AC=BD，CE=DF（或AE=BF），则△ACE≌△BDF，根据

七、课堂小结

这节课你有什么收获呢？

与你的同伴进行交流

八、作业：

第16页习题11.27-8第17页第13题

课题：

《11.3角的平分线的性质》

（1）导学案

教者：

上课时间：

【学习目标】

1、经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理．

2、能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题.

3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

【学习重点】掌握角的平分线的性质定理

【学习难点】角平分线定理的应用。

【学习过程】

一、自主学习

1、复习思考

什么是角的平分线？

怎样画一个角的平分线？

2．如右图，AB＝AD，BC＝DC，　沿着A、C画一条射线AE，AE就是∠BAD的角平分线，你知道为什么吗

3.根据角平分仪的制作原理，如何用尺规作角的平分线？

自学课本19页后，思考为什么要用大于

MN的长为半径画弧？

4．OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，

操作测量：

取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：

观察测量结果,猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论

PD

PE

第一次

第二次

第三次

5、命题：

角平分线上的点到这个角的两边距离相等.

题设：

一个点在一个角的平分线上

结论：

这个点到这个角的两边的距离相等

结合第4题图形请你写出已知和求证，并证明命题的正确性

解后思考：

证明一个几何命题的步骤有那些？

6、用数学语言来表述角的平分线的性质定理：

如右上图，∵OC是∠AOB的平分线，点P是

∴

二、小组交流解疑，教师点拨、拓展

1、如图所示OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,问PE=PD?

为什么?

2、如图：

在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；求证：

CF=EB

三、巩固练习

在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则

⑴图中相等的线段有哪些？

相等的角呢？

⑵哪条线段与DE相等？

为什么？

⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长。

四、当堂检测

如图,在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的

长

五、课堂小结

这节课你有什么收获呢？

与你的同伴进行交流

六、作业：

第22页习题11.31-2第23页第4-5题

课题：

《11.3角的平分线的性质》

（2）导学案

教者：

上课时间：

【学习目标】

1、会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．

2、能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．

3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

【学习重点】角平分线的性质及其应用

【学习难点】灵活应用两个性质解决问题。

【学习过程】

一、自主学习

1、复习思考

（1）、画出三角形三个内角的平分线

你发现了什么特点吗？

（2）、如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：

点P到三边AB，BC，CA的距离相等。

2、求证：

到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

（提示：

先画图，并写出已知、求证，再加以证明）

3、要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路

距离相等且离公路，铁路的交叉处５00米，应建在何处？

（比例尺1：

20000）

二、小组交流解疑，教师点拨、拓展

1、比较角平分线的性质与判定

2、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，求证∠1＝∠2

三、巩固练习

1、22页练习题

2、如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC,BD平分∠ABC,求证：

∠A+∠C=180°

四、当堂检测

1、已知△ABC中，∠A=60°，∠ABC,∠ACB的平分线交于

点O，则∠BOC的度数为

2、下列说法错误的是（）

A、到已知角两边距离相等的点都在同一条直线上

B、一条直线上有一点到已知角的两边的距离相等，则这条直线平分已知角

C、到已知角两边距离相等的点与角的顶点的连线平分已知角

D、已知角内有两点各自到两边的距离相等，经过这两点的直线平分已知角

3、到三角形三条边的距离相等的点是（）

A、三条中线的交点B、三条高线的交点

C、三条边的垂直平分线的交点D、三条角平分线的交点

五、课堂小结

这节课你有什么收获呢？

与你的同伴进行交流

六、作业

课本23页第6题

课题：

《11章复习》导学案

教者：

上课时间：

【学习目标】

1、掌握三角形全等的判定方法，利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式．

2、能用尺规进行一些基本作图．能用三角形全等和角平分线的性质进行证明。

3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

【学习重点】用三角形全等和角平分线的性质进行证明有关问题

【学习难点】灵活应用所学知识解决问题，精炼准确表达推理过程

【学习过程】

一、本章知识结构梳理

三角形

二、方法指引

1、证明两个三角形全等的基本思路：

（1）已知两边

（2）已知一边一角

（3）已知两角

2、三角形全等是证明线段相等、角相等最基本、最常用的方法。

例题1、如图：

AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。

求证：

MB=MC

例题2、已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：

BE=AD

3、当题目中有角平分线时，可通过构造等腰三角形或全等三角形来寻找解题思路，或利用角平分线性质去证线段相等

例题3、已知∠B=∠E=90°，CE=CB，AB∥CD.

求证：

△ADC是等腰三角形

例题4、已知：

如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DB=DC，

求证：

EB=FC

证明线段的和、差、倍、分问题时，常采用“割长”、“补短”等方法

例题5、如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，求证AB=AC+BD

提示：

要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法：

（1）、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。

（割）

（2）、把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等。

（补））

三、你能用尺规进行下面几种作图吗？

1、已知三边作三角形

2、作一个角等于已知角

3、已知两边和它们的夹角作三角形

4、已知两角和它们的夹边作三角形

5、已知斜边和一直角边作直角三角形

6、作角的平分线

四、巩固练习

1、如图：

在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB交AB于E，BC=30，BD：

CD=3：

2，则DE=。

2、如图，已知E在AB上，∠1=∠2，∠3=∠4，那么AC等于AD吗？

为什么？

3、如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。

（只写出一种情况）①AB=AC②DE=DF③BE=CF

已知：

EG∥AF，________，__________

求证：

_________

4、如图，在R△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证：

BC垂直且平分DE.

五、课堂小结

学习全等三角形应注意以下几个问题

（1）要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；

（2）表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；

（3）要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个

三角形不一定全等；

（4）时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”

六、作业

4、必做：

课本26页复习题11第2、5、6、8、9题；选做：

27页10-12题。

全等三角形（2课时）

教者：

上课时间：

一、知识提要

1、判断全等三角形的方法有：

①__________；②___________；③___________；

④__________；⑤___________。

就是没有SSA.

2、全等三角形有哪些性质：

①___________________；②________________.

二、讲练结合

例1．如图，AC=BD，AB=DC，求证：

∠B=∠C.

变式练习：

如图AB=AC，BD=CD，求证：

∠B=∠C.

例2．如图，AB=AD，CD=CB，∠A+∠C=180°，试探索CB与AB的位置关系.

变式练习：

如图，AC=AB，BD=CD，AD与BC相交于O，求证：

AC⊥BD.

例3．在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB边上的高，在BE的延长线上取BM=AC，在CF的延长线上取CN=AB，求证：

AM=AN.

变式练习：

在△ABC中，分别以AB、AC为边在△ABC的外面作正△ABE和正△ACF，求证：

BF=CE.

例4．如图，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，BD、CF交于点D，且OD=OE，求证：

AB=AC.

变式练习：

如图，AB=AE，∠B=∠E，∠BAC=∠EAD，∠CAF=∠DAF，求证：

AF⊥CD.

例5．已知AB是等腰直角三角形ABC的斜边，AD是∠BAC的角平分线，求证：

AC+CD=AB.

变式练习：

已知E是AD上的一点，AB=AC，AE=BD，CE=BD+DE，

求证：

∠B=∠ACE.

例6．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，如图，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，求证：

DE=AD-BE.

变式练习：

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，如图，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，求证：

DE=AD+BE.

例7．如图，AD是△ABC的高，∠B=2∠C，求证：

CD=AB+BD.

变式练习：

在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，求CH的长.

例8．在△ABC中，AB=AC，在AB上取一点D，在AC的延长线上取一点E，使BD=CE，连结DE交BC于F，求证：

DF=EF.

变式练习：

在△ABC中，AB=AC，在AB上取一点D，在AC的延长线上取一点E，连结DE交BC于F，若DF=EF，求证：

BD=CE.

例9．如图，OA=OB，C、D分别是OA，OB上的两点，且OC=OD，连结AD、BC交于