菜篮子工程中的蔬菜种植问题数学建模竞赛.docx
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菜篮子工程中的蔬菜种植问题数学建模竞赛
2015年吉林省大学生数学建模竞赛
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注
菜篮子工程中的蔬菜种植问题
摘要
菜篮子工程中的蔬菜种植问题研究了如何利用现有的交通运输条件制定出一套调运方案,使得政府的短缺补偿和运费补贴最少。
本文首先介绍了什么是最短路问题,设计最短路问题的基本思路等。
然后介绍了运输问题的线性规划模型以及线性规划问题的解法。
最后提出了菜篮子工程中的蔬菜种植问题,进行了问题分析、模型建立、模型求解以及结果分析等一系列过程。
最后对模型进行优化,提出菜篮子工程相关问题的改进方案。
关键字:
运输问题,最短路径,线性规划,模型建立
一问题背景及重述
1.1问题背景
JG市的人口近90万,该市在郊区和农区建立了8个蔬菜种植基地,承担全市居民的蔬菜供应任务,每天将蔬菜运送到市区的35个蔬菜销售点,市区有15个主要交通路口,在蔬菜运送的过程中从蔬菜种植基地可以途经这些交通路口再到达蔬菜销售点。
如果蔬菜销售点的需求量不能满足,则市政府要给予一定的短缺补偿,同时市政府还按照蔬菜种植基地供应蔬菜的数量以及路程,发放相应的运费补贴,以此提高蔬菜种植的积极性,运费补贴标准为0.04元/(1吨.1公里)。
为了使二者之和最小,应提出一个经济合理的定点供应方案。
此外,根据蔬菜的需求量等实际问题的改变,适当调整种植计划和蔬菜运输方案。
1.2问题重述
具体问题如下:
1、
(1)设计蔬菜运送方案,使政府的短缺补偿和运费补贴最少;
(2)规定各蔬菜销售点的短缺量一律不超过需求量的30%,重新设计蔬菜运送方案。
2、扩大蔬菜种植基地规模,增加蔬菜种植面积。
建立问题的数学模型,确定8个蔬菜种植基地的新增蔬菜种植量,并重新设计蔬菜运送方案,使总短缺补偿和运费补贴最少。
3、每个蔬菜种植基地可种植12种蔬菜,在问题(3)得到的各个蔬菜种植基地日蔬菜供应量的基础上,建立数学模型,给出问题的求解算法,确定每个蔬菜种植基地的种植计划,并重新设计蔬菜运送方案,使总短缺补偿和运费补贴最少。
4、政府如何进一步完善和制定相应的扶持政策,使得菜农有种植蔬菜的积极性,居民可以得到质优价低的新鲜蔬菜,同时还能够逐渐减少或者不用政府投入补贴,形成问题的描述,并建立数学模型,给出数值结果。
二问题分析和模型的建立
2.1问题分析
对于上述问题,为了研究以及求解的方便,做出如下的基本假设:
(1)只考虑运输补贴和短缺补偿的费用,不考虑装卸、人工等其他费用;
(2)假设日需求量与缺货损失费用不变;
(3)假设运输的蔬菜路途中没有损耗且无任何意外发生;
(4)假设各市场蔬菜只来源于8个蔬菜种植基地,而无其他额外的来源;
(5)假设各收购站供应蔬菜品质相同且单位运价相同;
(6)假设各收购站可以作为中转站;
(7)假设新增产的蔬菜能够满足缺货量;
2.2变量说明
x(i,j)
从蔬菜种植基地i到销售点j运送蔬菜的数量
b(j)
销售点j每天对蔬菜的需求量
C(j)
销售点j的短缺损失
d(i)
蔬菜种植基地i每天的蔬菜收购量
A(i,j)
从蔬菜种植基地i到销售点j的最短路程
2.3模型建立
菜篮子工程中的蔬菜种植问题,研究的是如何利用现有的交通运输条件,使蔬菜由蔬菜基地分配到各蔬菜种植基地的短缺补偿以及运费补贴最小。
要解决菜篮子运输问题,首先需要求出从各个蔬菜基地到各蔬菜种植基地的最短路径,然后利用线性规划的思想设计出最优的运输方案。
(1)最短路径的求解利用Floyd算法(又称弗洛伊德算法),该算法是解决给定的加权图中顶点间的最短路径的一种算法,可正确处理有向图或负权的最短路径问题。
它是通过一个图的权值矩阵求出它的每两点间的最短路径的矩阵,从带权邻接矩阵A=[a(i,j)]n×n开始,递归地进行n次更新,即由矩阵D(0)=A按一个公式,构造出矩阵D
(1),又用同样地公式由D
(1)构造出D
(2),依次进行,最后可由D(n-1)构造出矩阵D(n)。
矩阵D(n)的i行j列元素便是i号顶点到j号顶点的最短路径长度,还可引入一个后继节点矩阵path来记录两点间的最短路径。
(2)要想设计出最优运输方案,需运用线性规划的思想。
用x(i,j)代表从种植地i到销售点j运送蔬菜的数量;用b(j)代表销售点j每天对蔬菜的需求量;C(j)代表销售点j的短缺损失;d(i)代表蔬菜种植基地i每天的蔬菜收购量;A(i,j)代表从蔬菜种植基地i到销售点j的最短路程。
目标函数总费用Z来表示,总费用包括两部分:
蔬菜运费补贴R和各市场供给量小于需求量的短缺补偿D,即:
Z=R+D
其中R=
;销售点j的短缺量为
;
则D=
,
所以目标函数为Z=
+
2.4模型求解
2.4.1问题一
(1)模型建立与求解
为了使蔬菜运送过程中的短缺补偿以及运费补贴最小,首先采用Froyd算法求出8个种植基地至各个销售点的最短距离,然后再以题中要求为约束条件、损失最低为目标建立线性规划模型,用LINGO编程求解。
约束条件为:
(1)从蔬菜种植基地i运送到销售点j的蔬菜量小于等于蔬菜种植基地i的收购数量,即
(2)从蔬菜种植基地i运送到销售点j的蔬菜量小于等于销售点j的需求数量,即
(3)变量非负性限制
综合以上结论,得出该问题的模型如下:
根据Floyd算法【6】可以确定各个种植基地到各个销售量的最短距离如图1所示:
图1各蔬菜种植基地到各销售点的最短距离A(i,j)
根据建立的模型,利用LINGO软件进行线性规划求解,输入目标函数和约束条件,求解模型的最优解,从其运行结果中可以整理得出运输方案如下:
在此种方案下,蔬菜运送过程中的短缺补偿以及运费补贴最小,最小金额为
42836.28元。
2.4.2问题一
(2)的模型建立及求解
若规定各蔬菜销售点的短缺量一律不超过需求量的30%,该问题的目标函数没有变化,总费用仍然是运费补贴以及短缺补偿,只是在原问题的基础上加上各销售点短缺量一律不超过需求量的30%这一约束条件即可,具体要求如下:
(1)8个蔬菜基地的蔬菜全部供给35个销售点
(i=1,2,L8)
(2)每个销售点短缺量不超过需求量的30%
(j=1,…,35)
(3)变量非负性限制
(i=1,2,L8;j=1,…,35)
综合以上结论,得出问题二的约束条件为:
(i=1,2,L8)
(j=1,…,35)
(i=1,2,L8,j=1,…,35)
根据建立的模型,利用LINGO软件,输入目标函数和约束条件,可求解模型的最优解,具体运输方案如下:
在此种方案下,蔬菜运送过程中的短缺补偿以及运费补贴最小,最小金额为
50190.20元。
2.4.3问题二模型的建立及求解
为满足居民的蔬菜供应,决定扩大蔬菜种植基地规模以增加蔬菜种植面积。
因此要实现两个目标:
要保证每个菜市场的供货量充足;要使得总费用最低。
因此可在模型一的基础上增加限制条件,使得在供货量充足的情况下获得最小的短缺补偿及运费补贴。
建立模型为:
限制条件为:
(i=1,2,L8)
(j=1,…,35)
(i=1,2,L8,j=1,…,35)
t
0(i=1,2,L8)
根据建立的模型,利用LINGO软件,输入目标函数和约束条件,求解模型的最优解。
具体运输方案如下:
A、C、D、E、G、H的供应量不变,增加量为0吨;B的供应量由原来的45吨变为74.4吨,增加了29.4吨;E的供应量由原来的29吨变为39.2吨,增加了10.2吨;F的供应量由原来的35吨变为85.5吨,增加了50.5吨。
总的增加量为29.4+10.2+50.5=90.1吨,最后供需量平衡。
此时不需要支付短缺补偿了,只有运费补贴,需补贴206.776元。
2.4.4问题三的模型建立及求解
为了提高居民的生活质量,市政府要求蔬菜种植基地不仅要保证蔬菜供应总量,还要满足居民对蔬菜种类的需求。
每个蔬菜种植基地可种植12种蔬菜,各个蔬菜销售点对每种蔬菜有确定的需求量,在保证供需量平衡的基础上,需确定每个蔬菜种植基地的种植计划及新的蔬菜运送方案。
模型的建立:
设8个蔬菜基地分别为A,B,C,D,E,F,G,H
设基地A种植的12种蔬菜面积依次为:
aa1,aa2,aa3…aa12
设基地B种植的12种蔬菜面积依次为:
bb1,bb2,bb3…bb12
设基地C种植的12种蔬菜面积依次为:
cc1,cc2,cc3,…cc12
设基地D种植的12种蔬菜面积依次为:
dd1,dd2,dd3…dd12
设基地E种植的12种蔬菜面积依次为:
ee1,ee2,ee3…ee12
设基地F种植的12种蔬菜面积依次为:
ff1,ff2,ff3…ff12
设基地G种植的12种蔬菜面积依次为:
gg1,gg2,gg3…gg12
设基地H种植的12种蔬菜面积依次为:
hh1,hh2,hh3…hh12
在问题三保证供应总量的基础上,各个蔬菜种植基地到各个销售点的运输方案已经确定,根据其具体的配送方案,设定如下:
设基地A运送到销售点4的12种蔬菜依次为:
a11,a12,a13…a112
设基地A运送到销售点5的12种蔬菜依次为:
a21,a22,a23…a212
设基地A运送到销售点12的12种蔬菜依次为:
a31,a32,a33…a312
设基地A运送到销售点14的12种蔬菜依次为:
a41,a42,a43…a412
以同样的方式设定基地B,C,D,E,F,G,H分别到各自的销售点的12种蔬菜运送量,其范围依次为:
b11---b812,c11---c412,d11---d412,e11---e412,f11---f1012,g11---g312,h11---h312
约束条件为:
(1)每个蔬菜种植基地种植的12种蔬菜总和等于该基地运出蔬菜量的值;
(2)每个蔬菜种植基地运出的某种蔬菜总量小于等于该基地该种蔬菜种植量;
(3)每个蔬菜种植基地对某一销售点运送的12种蔬菜之和等于带基地运送到该销售点的蔬菜量,结果已在问题三种给出;
(4)每个蔬菜种植基地运送到某一销售点的某一种蔬菜量要大于等于其需求量,
具体约束方程见附录;
根据建立的模型,利用LINGO软件,输入目标函数和约束条件,求解模型的最优解。
每个基地的蔬菜种植计划如图2所示,每个基地向各销售点运送12种蔬菜的运送方案如图3所示:
图2每个基地的蔬菜种植计划
此时供需量平衡,不需要支付短缺补偿了,只有运费补贴,需补贴203.016元。
图3每个基地向各销售点运送12种蔬菜的运送方案
2.4.5问题四模型的建立及求解
要求根据收集到的信息,进一步完善和制定相应的扶持政策,使得菜农有种植蔬菜的积极性,居民可以得到质优价低的新鲜蔬菜,同时还能够逐渐减少或者不用政府投入补贴。
通过以上问题的研究,已经完善了对短缺补偿的研究,即在保证供大于求的情况下,短缺补偿为零,但运费补贴仍然存在,为了使国家逐渐减少或者不用投入补贴,可采取以下多种措施:
1、可以将运费进行分档,用excel对已算出的数据进行整合,设蔬菜基地到销售点的距离不大于15公里的运费补贴为0.02元/(吨*公里),距离大于15公里的运费补贴为0.04元/(吨*公里),在问题三的基础上,算出总的运费补贴为181.8元,比之前算出的206.776元减少了24.976元,实现了最初目的。
具体运输方案如下:
2、可以从现实问题出发,即可以优化配送方案【4】。
由于我国的配送模式复杂、环节多导致了蔬菜价格高,配送网络规划不合理大大提高了配送的成本,通过模拟网络规划问题建立LRP模型,利用遗传算法对此方面进行求解。
具体思路如下,首先进行模型的假设:
(1)每个销售点的需求只由一辆车配送;每个销售点对蔬菜配送的到达时间的要求是在某个时间段。
(2)基地生产的蔬菜量可以完全满足销售点的需求。
因为配送网络模式对各个站点的配送的蔬菜量是根据销售点的订单需求计划好的
(3)运输工具数量为多车辆,且每台配送的车辆只为一个销售点服务。
然后建立模型:
目标1:
按照销售点订货的时间要求准时将蔬菜送到指定地点。
消费者对蔬菜的第一要求就是蔬菜的新鲜,而且客户订购的蔬菜一般都是用于当天的消费,所以客户对蔬菜配送的及时性要求很高。
如何安排配送,以达到客户对时间的要求,是建立模型的首要目标。
目标2:
合理优化物流配送路线以实现总成本最低。
3、可以适当减少销售点个数目,逆向思维,具体减少方式是将1到35个销售点分别算出到8个蔬菜生产基地的运费最小值,然后再将花销的运费补贴进行排序,去掉运费补贴较高的一些,折合到其他的销售点,从而达到减少运费补贴的目的。
三、优缺点和改进方向
3.1优缺点:
所建立的模型简洁明了,便于使用数学工具。
如Lingo,降低了编程求解的难度,缩短了运行时间,提高了工作效率。
②对同一个问题从不同的角度进行了考虑,建立了多个模型,并进行了结果的比较分析,既结合题目要求,又考虑了实际意义。
从社会效益和经济效益对问题进行了分析,也表现出现实生活中政府在寻求两者之间的平衡中做出的努力。
④本模型还存在一些缺点,即现实中还是遇到一些实际的问题,是上述问题所无法解决的,
3.2改进方向
基于生活中的实际情况,我们做了如下的政策以改进和充实我们的模型:
(1)让菜农自己当老板,自产自销,即提高了菜农的积极性,又可以降低中间环节的消费,降低菜价;
(2)可以提高仓储能力;
(3)可以设置一些保险以提高菜农的保障以提高积极性;
(4)设定奖励发展基金,减少运费补偿;
(5)鼓励菜农兴建蔬菜大棚和日光温度;
(6)实现蔬菜的产业化、规模化和标准化;
(7)建立专门的运输组织,减低运费成本以及国家的运费补偿;
(8)还可以设定相应的国家政策,如每一个销售点销售量提高1吨,则运费补偿提高到2元/吨/公里,这样,国家通过额外获得的税收即可弥补运费补偿,同时又有一定的剩余。
四参考文献
[1]楚天科技,MATLAB科学计算实例教程P376—P384,北京市东城区青年湖南街13号,化学工业出版社,2009年6月
[2]吴建国,数学建模案例精编P360—P362,北京市三里河路6号,中国水利水电出版社,2005年5月
[3]王庚,王敏生,现代数学建模方法P92—P99,北京东黄城北街16,
科学出版社,2008年2月
[4]我国城市蔬菜配送模式及网络规划问题研究P42—P52,2008年5月
[5]王丽丽,光明市菜篮子工程问题研究,
[6]运筹学、菜篮子、炼油厂的生产计划,
[7]最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法,
2015年5月1日
[8]光明市的菜篮子工程,
2015年5月1日
[9]数学模型光明市的菜篮子工程的答案,
[10]光明市的菜篮子工程,
怎样写作数学建模竞赛论文
一如何建立数学模型—建立数学模型的涉骤和方法
建立数学模型没有固定的模式,通常它与实际问题的性质、建模的目的等有关。
当然,建模的过程也有共性,一般说来大致可以分以下几个步骤:
1.形成问题
要建立现实问题的数学模型,首先要对所要解决的问题有一个十分明晰的提法。
只有明确问题的背景,尽量弄清对象的特征,掌握有关的数据,确切地了解建立数学模型要达到的目的,才能形成一个比较明晰的“问题”。
2.假设和简化
根据对象的特征和建模的目的,对问题进行必要的、合理的假设和简化。
现实问题通常是纷繁复杂的,我们必须紧紧抓住本质的因素(起支配作用的因素),忽略次要的因素。
此外,一般地说,一个现实问题不经过假设和简化,很难归结为数学问题。
因此,有必要对现实问题作一些简化,有时甚至是理想化
3.模型的构建
根据所作的假设,分析对象的因果关系,用适当的数学语言刻画对象的内在规律,构建现实问题中各个量之间的数学结构,得到相应的数学模型。
这里,有一个应遵循的原则:
即尽量采用简单的数学工具。
4.检验和评价
数学模型能否反映厡来的现实问题,必须经受多种途径的检验。
这里包括:
(1).数学结构的正确性,即有没有逻辑上自相矛盾的地方;
(2).适合求解,即是否有多解或无解的情况出现;(3).数学方法的可行性,即迭代方法是否收敛,以及算法的复杂性等。
而更重要和最困难的问题是检验模型是否真正反映厡来的现实问题。
模型必须反映现实,但又不等同于现实;模型必须简化,但过分的简化则使模型远离现实,无法解决现实问题。
因此,检验模型的合理性和适用性,对于建模的成败是非常重要的。
评价模型的根本标准是看它能否准确地反映现实问题和解决现实问题。
此外,是否容易求解也是评价模型的一个重要标准。
5.模型的改进
模型在不断检验过程中经过不断修正,逐步趋向完善,这是建模必须遵循的重要规律。
一旦在检验中发现问题,人们必须重新审视在建模时所作的假设和简化的合理性,检查是否正确刻画对象内在的量之间的相互关系和服从的客观规律。
针对发现的问题作出相应的修正。
然后,再次重复上述检验、修改的过程,直到获得某种程度的满意模型为止。
6.模型的求解
经过检验,能比较好地反映厡来现实问题的数学模型,最后将通过求解得到数学上的结果;再通过“翻译”回到现实问题,得到相应的结论。
模型若能获得解的确切表达式固然最好,但现实中多数场合需依靠电子计算机数值求解。
电子计算机技术的飞速发展,使数学模型这一有效的工具得以发扬光大。
数学建模的过程是一种创造性思维的过程,对于实际工作者来说,除了需要具有想象力、洞察力、判断力这些属于形象思维、逻辑思维范畴的能力外,直觉和灵感往往不可忽视,这就是人们对新事物的敏锐的领悟、理解、推理和判断。
它要求人们具有丰富的知识,实惯用不同的思维方式对问题进行艰苦探索和反复思考。
这种能力的培养要依靠长期的积累。
此外,用数学模型解决现际问题,还应当注意两方面的情况。
一方面,对于不同的实际问题,通常会使用不同的数学模型。
但是,有的时候,同一数学模型,往往可以用来解释表面上看来毫不相关的实际问题。
另一方面,对于同一实际问题要求不同,则构建的数学模型可能完全不同。
二写作数学建模竞赛论文应注意的问题:
1.论文格式
论文的封面:
题目………
参赛队员:
………
指导教师:
……
单位:
………
论文的第一页是摘要,第二页开始是论文的正文,论文要有以下几方面的内容:
一.问题的提出
二.问题的分析
三.模型的假设
四.模型的建立
五.模型的求解
六.模型的检验
七.模型的修正
八.模型的评估
九.附录
以上各部分内容应该都是要具备的,但有些步骤可以合并在一起。
例如:
问题的提出与问题的分析,模型的假设与模型的建立,模型的检验与模型的修正等。
下面就每一步以及建模过程中应注意的几个问题作一简要介绍。
2.审题:
赛题一般有两道(研究生的竞赛有4道题),我们可以从中任选一道,这就面临选哪道题合适的问题。
因此,首先必需弄清题目的意义。
数学建模的题目有时很长,有时很复杂。
不易弄懂它的意义,一般要用几个钟头的时间才能弄清楚它的含义。
因此我们要求:
(1).深刻理解题意
(2).弄清题目的实际背景
(3)正确选择题目,根据自身的特长和优势作出决定。
要注意不要被题目的繁长的叙述哧住,碰到长的题目要有耐心,要仔细的分析题目的各部分内容、条件和要求。
3.当选定题目后,接下来就应该是对题目进进一步的分析。
下面的几项工作是必需要做的:
(1).在弄清问题的背景下,说清事情的来龙去脉。
(2).列出必要的数据,题目所给的数据往往是不够的,还要寻找题目以外的数据。
(3).列出和题目相关的各种条件和变量,分清各变量之间的主从关系。
(4).给出研究对象的关键信息内容。
4.在分析问题的基础上,提出合理的假设
模型是在假设的前提下建立起来的。
对情景的说明不可能也不必要提供问题的每一个细节。
由题目所提供的假设来建立数学模型还是不够的,还要补充一些假设。
假设是建立数学模型很关键的一步,关系到模型的成败和优劣。
所以应该仔细地分析实际问题,从大量的变量中筛选出最能表现问题本质的变量,并简化它们的关系。
这部分内容就应该在论文的问题的假设部分中体现。
由于假设不是实际问题直接提供的,它因人而异,所以,在撰写这部分内容时要注意以下几个方面:
(1)论文中的假设要以严格、确切的数学语言来表达,使读者不致产生任何曲解。
(2)所提出的假设确实是建立数学模型所必需的,与建立数学模型无关的假设只会扰乱读者的思考
(3)假设应该是合理的;怎样的假设才是合理的呢?
a.假设应合乎生活常识。
b.假设不能与已知的科学定律相悖。
c.假设必
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