《初等数论》历年考试解答.docx
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《初等数论》历年考试解答
《初等数论》习题集
第1章
第1节
1.证明定理1.
2.证明:
若Imn卩q,贝Um-pmqnp.
3.证明:
任意给定地连续39个自然数,其中至少存在一个自然数,
使得这个自然数地数字和能被11整除.b5E2R
4.设p是n地最小素约数,n=pni,山>1,证明:
若p>—,贝Uni是素数.
5.证明:
存在无穷多个自然数n,使得n不能表示为
a2巾(a>0是整数,p为素数)地形式.
第2节
432
1.证明:
12n2n11n10n,n^Z.
2.设3a2b2,证明:
3a且3|b.
3.设n,k是正整数,证明:
nk与nk+4地个位数字相同.
4.证明:
对于任何整数n,m,等式n2•(n1)2=m22不可能成立.
5.设a是自然数,问a4-3a2-9是素数还是合数?
6.证明:
对于任意给定地n个整数,必可以从中找出若干个作和,使得
这个和能被n整除.
第3节
1.证明定理1中地结论(i)—(iv).
2.证明定理2地推论1,推论2和推论3.
3.证明定理4地推论1和推论3.
4.设x,疔Z,1712x3y,证明:
179x5y.
5.设a,b,cN,c无平方因子,a2b2c,证明:
ab.
6.设n是正整数,求地最大公约数.
第4节
1.证明定理1.
2.证明定理3地推论.
3.设a,b是正整数,证明:
(ab)[a,b]=a[b,ab].
4.求正整数a,b,使得ab=120,(a,b)=24,[a,b]=144.
5.设a,b,c是正整数,证明:
6.设k是正奇数,证明:
1-2亠亠91k-2^■-9k.
第5节
1.说明例1证明中所用到地四个事实地依据•
2.用辗转相除法求整数x,y,使得1387x-162y=(1387,162).
3.计算:
(27090,21672,11352).
4.使用引理1中地记号,证明:
(Fn+1,Fn)=1.
5.若四个整数2836,4582,5164,6522被同一个大于1地整数除所
得地余数相同,且不等于零,求除数和余数各是多少?
p1Ean
6.记Mn=2n—1,证明:
对于正整数a,b,有(Ma,Mb)=M(a,b).
第6节
1.证明定理1地推论1.
2.证明定理1地推论2.
3.写出22345680地标准分解式•
4.证明:
在1,2,,2n中任取nT数,其中至少有一个能被另一个
整除.
5.证明:
.x|(n_2)不是整数.
6.设a,b是正整数,证明:
存在a1,a2,S,b2,使得
a=a1a2,b=b1b2,(a2,b2)=1,
并且[a,b]=a?
b2.
第7节
1.证明定理1.
2.求使12347!
被35k整除地最大地k值.
3.设n是正整数,x是实数,证明:
=n.
4.设n是正整数,求方程
222
X-[x]=(X-[X])
在[1,n]中地解地个数.
5.证明:
方程
f(x)=[x][2x][22x][23x][24x][25x]=12345DXDiT
没有实数解
6.证明:
在n!
地标准分解式中,2地指数h=n—k,其中k是n地二进制表示地位数码之和•
第8节
1.证明:
若2n-1是素数,则n是2地乘幕•
2.证明:
若2n-1是素数,则n是素数•
3.证明:
形如6n-5地素数有无限多个.
4.设d是正整数,6d,证明:
在以d为公差地等差数列中,连续
三项都是素数地情况最多发生一次.
5.证明:
对于任意给定地正整数n,必存在连续地n个自然数,使得
它们都是合数.
6.证明:
级数上]发散,此处使用了定理1注2中地记号.
1.证明定理1和定理2.
2.证明定理4.
3.证明定理5中地结论(i)—(iv).
4.求81234被13除地余数.
5.设f(x)是整系数多项式,并且f
(1),f
(2),,f(m)都不能被m整除,则
f(x)=0没有整数解.RTCrp
6.已知99,求:
•与<
第2
节
1.
证明定理
1.
2.
证明:
若
2p1疋奇素数,则
(p!
)2+(T)P三0(mod2p+1).
3.
证明:
若
p是奇素数,N-1-2■■■-(p-1),则
(pT)!
三p-1(modN).
4.
证明Wilson定理地逆定理:
若n>1,并且
(n-1)!
三1(modn),
则n是素数.
5.设m是整数,4m,{a1,a2,…,am}与{b1,b2,…,bm}是模m地两个
完全剩余系,证明:
{a1b1,a2b2,,ambm}不是模m地完全剩余系.5PCzV
6.设mi,m2,,mn是两两互素地正整数,(1幻切)是整数,并且
、11(modmi),1」』,
、i0(modmj),i-j,1」,j_n.
证明:
当bi通过模mi(1 br.'1七2、2•…,bn、n通过模m=口価2…mn地完全剩余系. 第3节 1.证明定理1. 2.设m1,m2,,mn是两两互素地正整数,Xi分别通过模mi地简化剩 余系(1g),m=口诃2…mn,Mi=冋,则jLBHr。 M1X1M2X2亠亠MnXn 通过模m地简化剩余系. 3.设m>1,(a,m)=1,X1,X2,…,x(m)是模m地简化剩余系,证明: 其中{x}表示X地小数部分. 4.设m与n是正整数,证明: (mn)((m,n))=(m,n)(m)(n). 5.设a,b是任意给定地正整数,证明: 存在无穷多对正整数m与n, 使得 a(m)=b(n). 6.设n是正整数,证明: (i)(n)>I.; (ii)若n是合数,则: (n)引-八. 第4节 1.证明: 197810'-19783能被103整除. 2.求313159被7除地余数. 560 3.证明: 对于任意地整数a,(a,561)=1,都有a三1(mod561),但561是合数.xHAQX 4.设p,q是两个不同地素数,证明: q.1P-J pq三1(modpq). 5.将6仁_1分解成素因数之积. 6.设N,N,对于bn1地素因数,你有甚麽与例6相似地结论? 第5节 1.证明例2中地结论. 2.证明定理2. 3.求「. 4.设f(n)是积性函数,证明: (ii) 5.求(n)地Mobius变换. 第3章 第1节 1.证明定理3. 2.写出789地二进制表示和五进制表示. 3.求|;地小数地循环节. 4.证明: 七进制表示地整数是偶数地充要条件是它地各位数字之和为偶数. 5.证明: 既约正分数.地b进制小数(0a4a/a;b为有限小数地充要条 件是n地每个素因数都是b地素因数.LDAY。 第2节 1.设连分数-1,-2,…,: h…地第k个渐近分数为」,证明: IKI 2.设连分数: -1,: -2,"\: -n,地第k个渐近分数为|,证明: 3.求连分数1,2,3,4,5,■■-地前三个渐近分数 4.求连分数2,3,2,3,■■-地值. 5.解不定方程: 7x_9y=4. 第3节 1.证明定理4. 2.求匕地连分数. 3.求一1地误差乞10,地有理逼近• 4.求sin18地误差<10*地有理逼近• 5.已知圆周率•: =3,7,15,1,292,1,1,1,21,…,求二地误差 <10厘地有理逼近• 6.证明: 」连分数展开地第k个渐近分数为回•此处{Fn}是 Fibonacci数列. 第4节 1.将方程3x22x-2=0地正根写成连分数. 2.求〉=(’I之值. 3.设a是正整数,求一地连分数. 4.设无理数工=a1,a2,…,an,…'地第k个渐近分数为」,证明: 地充要条件是 pn=a1qnqnJ,dqn=a1pnpnd. 5.设无理数=a1,a2,,an,…•地第k个渐近分数为」,且正整 数n使得 pn=a1qnqn/,dqn=a1pnpn」 证明: (i)当n为偶数时,pn,qn是不定方程x2-dy2=1地解; _.,、.22 (ii)当n为奇数时,P2n,q2n是不定方程x-dy=1地解. 1.将I写成三个既约分数之和,它们地分母分别是3,5和7. 2.求方程xi-2x2-3x3=41地所有正整数解 3.求解不定方程组: 4.甲班有学生7人,乙班有学生11人,现有100支铅笔分给这两个班,要使甲班地学生分到相同数量地铅笔,乙班学生也分到相同数量地铅 笔,问应怎样分法? Zzz6乙 5.证明: 二元一次不定方程axby=n,a>0,b>0,(a,b)=1地非 负整数解地个数为LH]-1.dvzfv。 6.设a与b是正整数,(a,b)=1,证明: 1,2,,ab-a-b中恰有 [X]个整数可以表示成ax加y(XK0,y>0)地形式.rqyn1。 第2节 1.证明定理2推论. 2.设x,y,z是勾股数,x是素数,证明: 2z-1,2(xy1)都是平 方数. 3.求整数x,y,z,x>y>z,使x-y,x-z,y_z都是平方数. 222 4.解不定方程: x3y=z,x>0,y>0,z>0,(x,y)=1.Emxvx 5.证明下面地不定方程没有满足xyz-0地整数解. (i)x2y2z2=x2y2; 222(ii)xyz=2xyz. 6.求方程x2y2=z4地满足(x,y)=1,2x地正整数解. 第3节 2 1.求方程xxy-6=0地整数解. 2.求方程组LHJ地整数解. 3.求方程2x;y=1地正整数解. 4.求方程地正整数解• 5.设p是素数,求方程地整数解. 6.设2n•1个有理数ai,a2,…,a2n-i满足条件P: 其中任意2n个数可以分成两组,每组n个数,两组数地和相等,证明: SixE2。 ai=ai=…=a2n-i. 第5章 第1节 1.证明定理i. 2.解同余方程: (i)3ix三5(modi7); (ii)32i5x三i60(mod235). 3.解同余方程组:
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