排列组合.docx
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排列组合.docx
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排列组合
一、优先考虑:
对有特殊元素(即被限制的元素)或特殊位置(被限制的位置)的排列,通常是先排特殊元素或特殊位置,再考虑其它的元素或其它的位置。
例1.
(1)由0、1、2、3、4、可以组成个无重复数字的三位数。
(2)由1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有个。
(3)5个人排成一排,其中甲不排在两端也不和乙相邻排列的排列共有种。
变式练习
1.现有6名同学站成一排:
(1)甲不站排头也不站排尾有多少种不同的排法?
(2)甲不站排头,且乙不站排尾有多少种不同的排法?
2.用
,5组成无重复数字的5位数,共可以组成多少个?
二、“捆”在一起:
有要求元素相邻(即连排)的排列问题,可以先将相邻的元素看作一个“整体”与其它元素排列,然后“整体”内部再进行排列。
例2.
(1)有3位老师、4名学生排成一排照相,其中老师必须在一起的排法共有种。
(2)有2位老师和6名学生排成一排,使两位老师之间有三名学生,这样的排法共有种。
变式练习
1.由1、2、3、4、5组成一个无重复数字的5位数,其中2、3必须排在一起,4、5不能排在一起,则不同的5位数共有_________个。
2.有2位老师和6名学生排成一排,使两位老师之间有三名学生,这样的排法共有种。
三、插空档:
有要求元素不相邻(即间隔排)的排列问题,可以制造空档插空。
例3.
(1)五种不同的收音机和四种不同的电视机陈列一排,任两台电视机不靠在一起,有种陈列方法。
(2)6名男生6名女生排成一排,要求男女相间的排法有种。
变式练习
1.有6名同学站成一排:
甲、乙、丙不相邻有多少种不同的排法?
2.有4男4女排成一排,要求
(1)女的互不相邻有种排法;
(2)男女相间有种排法。
四、减去特殊情况(即逆向思考):
先算暂时不考虑限制条件的排列或组合种数,然后再从中减去所有不符合条件的排列或组合数。
例4.
(1)以正方体的顶点为顶点的四面体共有个。
(2)由0、1、2、3、4、可以组成个无重复数字的三位数。
(3)集合
有8个元素,集合
有7个元素,
有4个元素,集合
有3个元素且满足下列条件:
的集合
有几个。
(4)从6名短跑运动员中选4人参加4100米的接力赛,如果其中甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,共有多少种参赛方案?
变式练习
1.某小组有6名同学,现从中选出3人去参观展览,至少有1名女生入选时的不同选法有16种,则小组中的女生数为________。
2.6名同学站成一排乙不站排尾有多少种不同的排法?
五、先组后排:
排列、组合综合题,通常都是先考虑组合后考虑排列。
例5
(1)用1、2、3、9这九个数字,能组成由3个奇数数字、2个偶数数字的不重复的五位数有个。
(2)有8本不同的书,从中取出6本,奖给5位数学优胜者,规定第一名(仅一人)得2本,其它每人一本,则共有种不同的奖法。
(3)有五项工作,四个人来完成且每人至少做一项,共有种分配方法。
变式练习
1.有4名学生参加3相不同的小组活动,每组至少一人,有种参加方式。
2.从两个集合
和
中各取两个元素组成一个四位数,可组成个数。
六、除以排列数:
对某些元素有顺序限制的排列,可以先不考虑顺序限制排列后,再除去规定顺序元素个数的全排列。
例6
(1)有4名学生和3位老师排成一排照相,规定两端不排老师且老师顺序固定不变,那么不同的排法有种。
(2)由0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字,十位数字小于百位数字,则这样的数共有个。
(3)书架上放有5本书(1~5册),现在要再插入3本书,保持原有的相对顺序不变,有种放法。
变式练习
1.书架上放有6本书,现在要再插入3本书,保持原有的相对顺序不变,有种放法。
2.9人(个子长短不同)排队照相,要求中间的最高,两旁依次从高到矮共有种排法。
七、对象互调:
有些排列或组合题直接就题论题很难入手,但换个角度去考虑便顺利求得结果又易理解。
例7.
(1)一部电影在四个单位轮放,每单位放映一场,可以有种放映次序。
(2)一排有8个座位,3人去坐,要求每人左右两边都有空位的坐法有种。
(3)有6个座位3人去坐,要求恰好有两个空位相连的不同坐法有种。
变式练习
1.某人射击8枪命中4枪,这4枪中恰有3枪连在一起的不同种数是。
2.三个人坐在一排7个座位上,
(1)若3个人中间没有空位,有种坐法。
(2)若4个空位中恰有3个空位连在一起,有种坐法。
八、分情况研究:
分情况研究(即分类计算)复杂的排列、组合综合题,常常通过画简图、按元素的性质“分类”;按事件发生的连续过程“分步”等方法。
分情况研究求得结果,尤其对含数字“0”的排列,常分“有0”及“无0”两种情况研究,在“有0”时,排列的“首位”又是“特殊”位置要优先考虑。
例8.
(1)从编号为了1、2、39的九个球中任取4个球,使它们的编号之和为奇数,再把这四个球排成一排,共有多少种不同的排法?
(2)用0、1、2、39这十个数字组成五位数,其中含有三个奇数字与两个偶数字的五位数有多少个?
(3)用0、1、2、3、4五个数字组成的无重复的五位数中,若按从小到大的顺序排列23140是第几个数?
变式练习
1.用
组成无重复数字的5位数,若按从小到大的顺序排列,则数12340是第_____个数。
2.某车间有8名会车工或钳工的工人,其中6人会车工,5人会钳工,现从这些工人中选出
2人分别干车工和钳工,问不同的选法有多少种?
九.和、整除、倍数、约数问题。
例9.和:
(1)用0、1、2、3、4、5、6这七个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数?
这些三位数的和是多少?
整除:
(2)用0、1、2、3、4、5组成无重复数字的五位数,其中
Ⅰ、能被5整除的数有多少个?
Ⅱ、能被3整除的数有多少个?
Ⅲ、能被6整除的数有多少个?
倍数:
(3)在1、2、3100这100个自然数中,每次取不等的两数相乘,使它们的积是7的倍数,这样的取法共有多少种?
(取7,11与取11,7认为是同一种取法)
(4)在1、2、330这三十个数中,每取两两不等的三个数,使它们的和是3的倍数,共有多少种不同的取法?
约数:
(5)数2160共有多少个正约数(包括1和本身在内)?
其中共有多少个正的偶约数?
变式练习
1.
(1)由2、3、4、5组成无重复数字的四位数,求:
①这些数的数字之和;②这些数的和。
(2)由0、2、5、7、9这5个数字可组成多少个无重复数字且能被3整除的四位数?
2.
(1)在1、2、3、4、…、50这50个自然数中,每次取出2个(无论先后),使他们的积是13的倍数,这样的取法有多少种?
(2)①420共有多少个正约数?
②14175共有多少个正约数?
十、分配、分组问题:
解题时要注意“均匀”与“非均匀”的区别、分配与分组(分堆)的区别。
例10.
(1)将12本不同的书
Ⅰ、分给甲、乙、丙三人,每人各得4本有种分法。
Ⅱ、平均分成三堆,有种分法。
(2)7本不同的书
Ⅰ、全部分给6个人,每人至少一本,共有种不同的分法。
Ⅱ、全部分给5个人,每人至少一本,共有种不同的分法。
(3)六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,若按下列分配方法,问各有多少种分法?
a、甲一本、乙二本、丙三本;有种分法。
b、一人一本、一人二本、一人三本;有种分法。
c、甲一本、乙一本、丙四本;有种分法。
d、一人一本、一人一本、一人四本;有种分法。
变式练习
1.六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,若按下列分配方法,问各有多少种分法?
①甲一本、乙二本、丙三本;有种分法。
②一人一本、一人二本、一人三本;有种分法。
③甲一本、乙一本、丙四本;有种分法。
④一人一本、一人一本、一人四本;有种分法。
2.一般地,现有
本不同的书,
①分给甲、乙、丙三人,甲得
本、乙得
本、丙得
本,则有种分法。
②分给三人,一人得
本、一人得
本、另一人得
本,则有种分法。
③分给三人,甲、乙各得
本、丙得
本,则有种分法。
④分给三人,其中二人各得
本,另一人得
本,则有种分法。
⑤分成三堆,一堆
本、一堆
本、一堆
本,则有种分法。
⑥分成三堆,有二堆各
本,还有一堆
本,则有种分法。
课后练习
1.6个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐4人,则不同的乘车方法数为( )
A.40 B.50 C.60 D.70
2.有6个座位连成一排,现有3人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )
A.36种B.48种C.72种D.96种
3.只用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相邻出现,这样的四位数有( )
A.6个B.9个C.18个D.36个
4.男女学生共有8人,从男生中选取2人,从女生中选取1人,共有30种不同的选法,其中女生有( )
A.2人或3人B.3人或4人C.3人D.4人
5.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规定从二楼到三楼用8步走完,则方法有( )
A.45种B.36种C.28种D.25种
6.某公司招聘来8名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门,另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门,则不同的分配方案共有( )
A.24种B.36种C.38种D.108种
7.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( )
A.33B.34C.35D.36
8.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )
A.72B.96C.108D.144
9.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有( )
A.50种B.60种C.120种D.210种
10.安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日,不同的安排方法共有________种.(用数字作答)
11.今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列有________种不同的排法.(用数字作答)
12.将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有________种(用数字作答).
13.要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花,要求相邻区域不同色,有________种不同的种法(用数字作答).
14.将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有
(A)12种(B)18种(C)36种(D)54种
15.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天1人,每人值班1天,若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则不同的安排方案共有
A.504种B.960种C.1008种D.1108种
16.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是
(A)72(B)96(C)108(D)144w_w_w.k*s5*u.co*m
17.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息,若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为
A.10B.11C.12D.15
18.现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加。
甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙丁戌都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是
A.152B.126C.90D.54
19.甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学。
若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有()
(A)150种(B)180种(C)300种(D)345种
20.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为
21.2位男生和3位女生共5位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是
A.60B.48C.42D.36
22.从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数位
[]
A85B56C49D28
23.3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是
A.360B.188C.216D.96
24.12个篮球队中有3个强队,将这12个队任意分成3个组(每组4个队),则3个强队恰好被分在同一组的概率为()
A.
B.
C.
D.
25.甲、乙、丙
人站到共有
级的台阶上,若每级台阶最多站
人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是(用数字作答).
26.锅中煮有芝麻馅汤圆6个,花生馅汤圆5个,豆沙馅汤圆4个,这三种汤圆的外部特征完全相同。
从中任意舀取4个汤圆,则每种汤圆都至少取到1个的概率为()
A.
B.
C.
D.
27.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案
有种(用数字作答).
28.将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( )
A.10种 B.20种 C.36种 D.52种
29.将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案有
(A)30种 (B)90种(C)180种 (D)270种
30.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有种
31.用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数,则其中数字1,2相邻的偶数有 个(用数字作答).
32.有一排8个发光二极管,每个二极管点亮时可发出红光或绿光,若每次恰有3个二极管点亮,但相邻的两个二极管不能同时点亮,根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息,求这排二极管能表示的信息种数共有多少种?
33.按下列要求把12个人分成3个小组,各有多少种不同的分法?
(1)各组人数分别为2,4,6个;
(2)平均分成3个小组;(3)平均分成3个小组,进入3个不同车间.
34.6男4女站成一排,求满足下列条件的排法共有多少种?
(1)任何2名女生都不相邻有多少种排法?
(2)男甲不在首位,男乙不在末位,有多少种排法?
(3)男生甲、乙、丙排序一定,有多少种排法?
(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法?
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