高中数学专项直线和圆知识点总结.docx
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高中数学专项直线和圆知识点总结
直线和圆
一.直线
1.斜率与倾斜角:
ktan,[0,)
(1)[0,)
2
时,k0;
(2)
2
时,k不存在;(3)(,)
2
时,k0
(4)当倾斜角从0增加到90时,斜率从0增加到;
当倾斜角从90增加到180时,斜率从增加到0
2.直线方程
(1)点斜式:
()
yy0kxx
0
(2)斜截式:
ykxb
(3)两点式:
y
y
2
y
1
y
1
x
x
2
x
1
x
1
xy
(4)截距式:
1
ab
(5)一般式:
AxByC0
3.距离公式
(1)点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离:
22
P1P2(x2x1)(y2y1)
(2)点P(x0,y0)到直线AxByC0的距离:
d
|AxByC|
00
22
AB
(3)平行线间的距离:
AxByC10与AxByC20的距离:
d
|CC|
12
22
AB
4.位置关系
(1)截距式:
ykxb形式
重合:
kkbb相交:
k1k2
1212
平行:
k1k2b1b2垂直:
k1k21
(2)一般式:
AxByC0形式
重合:
ABAB且A1C2A2C1且B1C2C1B2
1221
平行:
A1B2A2B1且A1C2A2C1且B1C2C1B2
1
垂直:
A1A2B1B20相交:
A1B2A2B1
5.直线系
A1xB1yC1+(A2xB2yC2)0表示过两直线l1:
A1xB1yC10和l2:
A2xB2yC20交点的所
有直线方程(不含
l)
2
二.圆
1.圆的方程
(1)标准形式:
222
(xa)(yb)R(R0)
(2)一般式:
220
xyDxEyF(
2240
DEF)
(3)参数方程:
xxr
0
yyr
0
cos
sin
(是参数)
【注】题目中出现动点求量时,通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决.
(4)以
A(x,y),B(x2,y2)为直径的圆的方程是:
(xxA)(xxB)(yyA)(yyB)0
11
2.位置关系
(1)点
P(x,y)和圆
00
222
(xa)(yb)R的位置关系:
当
222
(xa)(yb)R时,点P(x0,y0)在圆
00
222
(xa)(yb)R内部
当
222
(xa)(yb)R时,点P(x0,y0)在圆
00
222
(xa)(yb)R上
当
222
(xa)(yb)R时,点P(x0,y0)在圆
00
222
(xa)(yb)R外
(2)直线AxByC0和圆
222
(xa)(yb)R的位置关系:
判断圆心O(a,b)到直线AxByC0的距离
d
|AaBbC|
22
AB
与半径R的大小关系
当dR时,直线和圆相交(有两个交点);
当dR时,直线和圆相切(有且仅有一个交点);
当dR时,直线和圆相离(无交点);
判断直线与圆的位置关系常见的方法
(1)几何法:
利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系.
(2)代数法:
联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:
若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交.
1
3.圆和圆的位置关系
判断圆心距dO1O2与两圆半径之和R1R2,半径之差R1R2(R1R2)的大小关系
当
dRR时,两圆相离,有4条公切线;
12
当
dRR时,两圆外切,有3条公切线;
12
当
RRdRR时,两圆相交,有2条公切线;
1212
当
dRR时,两圆内切,有1条公切线;
12
当0dR1R2时,两圆内含,没有公切线;
4.当两圆相交时,两圆相交直线方程等于两圆方程相减
5.弦长公式:
22
l2Rd
22
例1若圆x+y=1与直线y=kx+2没有公共点,则实数k的取值范围是________.
解析:
由题意知
2
2>1,解得-3<k<3.
1+k
答案:
(-3,3)
例2已知两圆C1:
x2:
x
2+y2-2x+10y-24=0,C2+y2+2x+2y-8=0,则两圆公共弦所在的直线方程是
____________.
解析:
两圆相减即得x-2y+4=0.
答案:
x-2y+4=0
例3设直线x-my-1=0与圆(x-1)
________.
2
+(y-2)
2
=4相交于A、B两点,且弦AB的长为23,则实数m的值是
解析:
由题意得,圆心(1,2)到直线x-my-1=0的距离d=4-3=1,即
|1-2m-1|
2=1,解得m=±
1+m
3
.
3
答案:
±
3
3
22
例4若a,b,c是直角三角形ABC三边的长(c为斜边),则圆C:
x+y=4被直线l:
ax+by+c=0所截得的弦
长为________.
22
解析:
由题意可知圆C:
x+y=4被直线l:
ax+by+c=0所截得的弦长为24-
2,所以所求弦长为23.
c
c
22
a+b
222
,由于a+b
=
答案:
23
例5已知⊙M:
x2+(y-2)
2+(y-2)
2=1,Q是x轴上的动点,QA,QB分别切⊙M于A,B两点.
1
42
(1)若|AB|=,求|MQ|及直线MQ的方程;
3
(2)求证:
直线AB恒过定点.
228
解:
(1)设直线MQ交AB于点P,则|AP|=,又|AM|=1,AP⊥MQ,AM⊥AQ,得|MP|=12-
2-
=
39
2
|MA|
又∵|MQ|=,∴|MQ|=3.
|MP|
22
设Q(x,0),而点M(0,2),由x+2=3,得x=±5,
则Q点的坐标为(5,0)或(-5,0).
从而直线MQ的方程为2x+5y-25=0或2x-5y+25=0.
1
3
,
(2)证明:
设点Q(q,0),由几何性质,可知A,B两点在以QM为直径的圆上,此圆的方程为x(x-q)+y(y-2)
3
2
=0,而线段AB是此圆与已知圆的公共弦,相减可得AB的方程为qx-2y+3=0,所以直线AB恒过定点0,
.
例6过点(-1,-2)的直线l被圆x
2+y2-2x-2y+1=0截得的弦长为2,则直线l的斜率为________.
解析:
将圆的方程化成标准方程为(x-1)
2
+(y-1)
2
=1,其圆心为(1,1),半径r=1.由弦长为2得弦心距为
2
.
2
设直线方程为y+2=k(x+1),即kx-y+k-2=0,则
17
答案:
1或
7
|2k-3|
2
k+1
=
217
2
,化简得7k-24k+17=0,得k=1或k=
.
27
22
例7圆x-2x+y-3=0的圆心到直线x+3y-3=0的距离为________.
解析:
圆心(1,0),d=
答案:
1
|1-3|
1+3
=1.
例8圆心在原点且与直线x+y-2=0相切的圆的方程为
____________________.
222(a>0)解析:
设圆的方程为x+y=a
∴
|2|
=a,∴a=2,
1+1
∴x
2+y2=2.
22
答案:
x+y=2
例9已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,则圆C的方程为________________.
圆C的方程为x
2+y2+Dx+F=0,
则
26+5D+F=0,
10+D+F=0,
解得
D=-4,
F=-6.
22
圆C的方程为x+y-4x-6=0.
22
[答案]
(1)C
(2)x+y-4x-6=0
例10
(1)与曲线C:
x
2+y2+2x+2y=0相内切,同时又与直线l:
y=2-x相切的半径最小的圆的半径是________.
1
_x0007_
(2)已知实数x,y满足(x-2)
2+(y+1)2=1则2x-y的最大值为________,最小值为________.
解析:
(1)依题意,曲线C表示的是以点C(-1,-1)为圆心,2为半径的圆,圆心C(-1,-1)到直线y=2-x
即x+y-2=0的距离等于
|-1-1-2|
2
=22,易知所求圆的半径等于
22+2
=
2
32
.
2
(2)令b=2x-y,则b为直线2x-y=b在y轴上的截距的相反数,当直线2x-y=b与圆相切时,b取得最值.由
|2×2+1-b|
5
=1.解得b=5±5,所以2x-y的最大值为5+5,最小值为5-5.
答案:
(1)
32
2
(2)5+55-5
例11已知x,y满足x2+y2=1,则
2+y2=1,则
y-2
x-1
的最小值为________.
解析:
y-2
x-1
表示圆上的点P(x,y)与点Q(1,2)连线的斜率,所以
y-2
x-1
的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率.设
直线PQ的方程为y-2=k(x-1)即kx-y+2-k=0.由
|2-k|3
=1得k=
,结合图形可知,
k2+14
2+14
y-2
x-1
≥
3
4
,故最小值
为
3
4
.
答案:
3
4
例12已知两点A(-2,0),B(0,2),点C是圆x
2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC面积的最小值是________.
解析:
lAB:
x-y+2=0,圆心(1,0)到l的距离d=
3
,
2
则AB边上的高的最小值为
3
-1.
2
故△ABC面积的最小值是
1
2
×22×
3
-1=3-2.
2
答案:
3-2
例13平面直角坐标系xoy中,直线xy10截以原点O为圆心的圆所得的弦长为6
(1)求圆O的方程;
(2)若直线l与圆O切于第一象限,且与坐标轴交于D,E,当DE长最小时,求直线l的方程;
(3)设M,P是圆O上任意两点,点M关于x轴的对称点为N,若直线MP、NP分别交于x轴于点(m,0)
和(n,0),问mn是否为定值?
若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
1
解:
⑴因为O点到直线xy10的距离为
,2
所以圆O的半径为
16
22
()()2
22
,
故圆O的方程为
22
xy2.
xy
⑵设直线l的方程为1(a0,b0)
ab
,即bxayab0,
由直线l与圆O相切,得
ab
22
ab
2
,即
111
22
ab
2
,
1122222
DEab2(ab)()≥8,
22
ab
1
当且仅当ab2时取等号,此时直线l的方程为xy20.
⑶设M(x1,y1),P(x2,y2),则N(x1,y1),
22
x1y12,
22
x2y22,
直线MP与x轴交点
xyxy
1221
(,0)
yy
21
,
m
xyxy
1221
yy
21
,
直线NP与x轴交点
xyxy
1221
(,0)
yy
21
,
n
xyxy
1221
yy
21
,
mn
22222222
xyxyxyxyxyxy(2y)y(2y)y
122112*********1
g2,
2222
yyyyyyyy
21212121
故mn为定值2.
例14圆x2+y2=8内一点P(-1,2),过点P的直线l的倾斜角为,直线l交圆于A、B两点.
(1)当=
3
4
时,求AB的长;
(2)当弦AB被点P平分时,求直线l的方程.
解:
(1)当=
3
4
时,kAB=-1,
直线AB的方程为y-2=-(x+1),即x+y-1=0.
故圆心(0,0)到AB的距离d=
0
0
2
1
=
2
2
,
从而弦长|AB|=2
1
8=30.
2
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-2,y1+y2=4.
由
2
x
x
1
2
2
2
y
y
1
2
2
8,
8,
两式相减得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0,
即-2(x1-x2)+4(y1-y2)=0,
∴kAB=
y
1
x
1
y
2
x
2
1
2
.
∴直线l的方程为y-2=
1(x+1),即x-2y+5=0.
2
例15已知半径为5的动圆C的圆心在直线l:
x-y+10=0上.
(1)若动圆C过点(-5,0),求圆C的方程;
(2)是否存在正实数r,使得动圆C中满足与圆O:
x2+y2=r2相外切的圆有且仅有一个,若存在,请求出来;若不
存在,请说明理由.
解:
(1)依题意,可设动圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=25,
其中圆心(a,b)满足a-b+10=0.
又∵动圆过点(-5,0),∴(-5-a)2+(0-b)2=25.
1
_x0007_
解方程组
a
(
b
5
100
a)
2b
(0)
2
25
可得
a
b
10
a
或
0b5
5
故所求圆C的方程为(x+10)2+y2=25或(x+5)2+(y-5)2=25.
10
(2)圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d==52.
11
当r满足r+5<d时,动圆C中不存在与圆O:
x2+y2=r2相外切的圆;
当r满足r+5>d时,r每取一个数值,动圆C中存在两个圆与圆O:
x
2+y2=r2相外切;
当r满足r+5=d,即r=52-5时,动圆C中有且仅有1个圆与圆O:
x2+y2=r2相外切.
题目
1.自点A(1,4)作圆
22
(x2)(y3)1的切线l,则切线l的方程为.
2y
2
2.求与圆x5外切于点P(1,2),且半径为25的圆的方程.
3.若点P在直线l1:
x+y+3=0上,过点P的直线l2与曲线C:
(x-5)2+y2=16相切于点M,则PM的最小
值.
4.设O为坐标原点,曲线x2+y2+2x-6y+1=0上有两点P、Q,满足关于直线x+my+4=0对称,又满足OP·OQ=0.
(1)求m的值;
1
(2)求直线PQ的方程.
5.已知圆C:
x2+y2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率是1的直线l,使l被圆C截得的弦AB,以AB为直径的圆经过
原点,若存在,写出直线l的方程;若不存在,说明理由.
6.已知曲线C:
x2+y2-4ax+2ay-20+20a=0.
(1)证明:
不论a取何实数,曲线C必过定点;
(2)当a≠2时,证明曲线C是一个圆,且圆心在一条直线上;
(3)若曲线C与x轴相切,求a的值.
1
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