指数函数及其性质章节练习.docx

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指数函数及其性质章节练习

2.1.2指数函数及其性质

整体设计

教学分析

有了前面的知识储备,我们就可以顺理成章地学习指数函数的概念,作指数函数的图象以及研究指数函数的性质.

教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景,先给出两个具体例子:

GDP的增长问题和碳14的衰减问题.前一个问题,既让学生回顾了初中学过的整数指数幂,也让学生感受到其中的函数模型,并且还有思想教育价值.后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时,激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望,为新知识的学习作了铺垫.

本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如推广的思想（指数幂运算律的推广）、类比的思想、逼近的思想（有理数指数幂逼近无理数指数幂）、数形结合的思想（用指数函数的图象研究指数函数的性质）等,同时,编写时充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值.

根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学情景,为学生的数学探究与数学思维提供支持.

三维目标

1.通过实际问题了解指数函数的实际背景,理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质,体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想.

2.让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.培养学生观察问题、分析问题的能力,培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.

3.通过训练点评,让学生更能熟练指数幂运算性质.展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质,让学生体验数学的简洁美和统一美.

重点难点

教学重点：

指数函数的概念和性质及其应用.

教学难点：

指数函数性质的归纳、概括及其应用.

课时安排

3课时

教学过程

第1课时指数函数及其性质

（1）

导入新课

思路1.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的,写出存留污垢y与漂洗次数x的关系式,它是函数关系式吗？

若是,请计算若要使存留的污垢不超过原有的,则至少要漂洗几次？

教师引导学生分析,列出关系式y=（）x,发现这个关系式是个函数关系且它的自变量在指数的位置上,这样的函数叫指数函数,引出本节课题.

思路2.教师复习提问指数幂的运算性质,并要求学生计算23,20,2-2,16,27,49.再提问怎样画函数的图象,学生思考,分组交流,写出自己的答案8,1,,2,9,,先建立平面直角坐标系,再描点,最后连线.点出本节课题.

思路3.在本章的开头,问题

（2）中时间t和碳14含量P的对应关系P=［（）］t,如果我们用x表示时间,y表示碳14的含量,则上述关系可表示为y=［（）］x,这是我们习惯上的函数形式,像这种自变量在指数的位置上的函数,我们称为指数函数,下面我们给出指数函数的确切概念,从而引出课题.

推进新课

新知探究

提出问题

1.一种放射性物质不断衰减为其他物质,每经过一年剩留量约是原来的84%,求出这种物质经过x年后的剩留量y与x的关系式是_________.（y=0.84x）

2.某种细胞分裂时,由一个分裂成两个,两个分裂成四个,四个分裂成十六个,依次类推,一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞个数y与x的关系式是_________.（y=2x）

提出问题

（1）你能说出函数y=0.84x与函数y=2x的共同特征吗?

（2）你是否能根据上面两个函数关系式给出一个一般性的概念?

（3）为什么指数函数的概念中明确规定a>0,a≠1?

（4）为什么指数函数的定义域是实数集?

（5）如何根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数？

请你说出它的步骤.

活动：

先让学生仔细观察,交流讨论,然后回答,教师提示点拨,及时鼓励表扬给出正确结论的学生,引导学生在不断探索中提高自己的应用知识的能力,教师巡视,个别辅导,针对学生共性的问题集中解决.

问题

（1）看这两个函数的共同特征,主要是看底数和自变量以及函数值.

问题

（2）一般性的概念是指用字母表示不变化的量即常量.

问题（3）为了使运算有意义,同时也为了问题研究的必要性.

问题（4）在（3）的规定下,我们可以把ax看成一个幂值,一个正数的任何次幂都有意义.

问题（5）使学生回想指数函数的定义,根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数,紧扣指数函数的形式.

讨论结果：

（1）对于两个解析式我们看到每给自变量x一个值,y都有唯一确定的值和它对应,再就是它们的自变量x都在指数的位置上,它们的底数都大于0,但一个大于1,一个小于1.0.84与2虽然不同,但它们是两个函数关系中的常量,因为变量只有x和y.

（2）对于两个解析式y=0.84x和y=2x,我们把两个函数关系中的常量用一个字母a来表示,这样我们得到指数函数的定义:

一般地,函数y=ax（a>0,a≠1）叫做指数函数,其中x叫自变量,函数的定义域是实数集R.

（3）a=0时,x>0时,ax总为0;x≤0时,ax没有意义.

a<0时,如a=-2,x=,ax=（-2）=显然是没有意义的.

a=1时,ax恒等于1,没有研究的必要.

因此规定a>0,a≠1.此解释只要能说明即可,不要深化.

（4）因为a>0,x可以取任意的实数,所以指数函数的定义域是实数集R.

（5）判断一个函数是否是一个指数函数,一是看底数是否是一个常数,再就是看自变量是否是一个x且在指数位置上,满足这两个条件的函数才是指数函数.

提出问题

（1）前面我们学习函数的时候,根据什么思路研究函数的性质,对指数函数呢?

（2）前面我们学习函数的时候,如何作函数的图象?

说明它的步骤.

（3）利用上面的步骤,作函数y=2x的图象.

（4）利用上面的步骤,作函数y=（）x的图象.

（5）观察上面两个函数的图象各有什么特点,再画几个类似的函数图象,看是否也有类似的特点?

（6）根据上述几个函数图象的特点,你能归纳出指数函数的性质吗?

（7）把y=2x和y=（）x的图象,放在同一坐标系中,你能发现这两个图象的关系吗?

（8）你能证明上述结论吗?

（9）能否用y=2x的图象画y=（）x的图象?

请说明画法的理由.

活动：

教师引导学生回顾需要研究的函数的那些性质,共同讨论研究指数函数的性质的方法,强调数形结合,强调函数图象在研究函数性质中的作用,注意从具体到一般的思想方法的运用,渗透概括能力的培养,进行课堂巡视,个别辅导,投影展示画得好的部分学生的图象,同时投影展示课本表21,22及图2.12,2.13及2.14,及时评价学生,补充学生回答中的不足.学生独立思考,提出研究指数函数性质的思路,独立画图,观察图象及表格,表述自己的发现,同学们相互交流,形成对指数函数性质的认识,推荐代表发表本组的集体的认识.

讨论结果：

（1）我们研究函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般,一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的性质.

（2）一般是列表,描点,连线,借助多媒体手段画出图象,用计算机作函数的图象.

（3）列表.

x

-3.00

-2.50

-2.00

-1.50

-1.00

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

y=2x

1

2

4

作图如图2-1-2-1

图2-1-2-1

（4）列表.

x

-2.50

-2.00

-1.50

-1.00

0.00

1.00

1.50

2.00

2.50

y=（）x

1

2

4

作图如图2-1-2-2

图2-1-2-2

（5）通过观察图2121,可知图象左右延伸,无止境说明定义域是实数.图象自左至右是上升的,说明是增函数,图象位于x轴上方,说明值域大于0.图象经过点（0,1）,且y值分布有以下特点,x<0时00时y>1.图象不关于x轴对称,也不关于y轴对称,说明函数既不是奇函数也不是偶函数.

通过观察图2122,可知图象左右延伸,无止境说明定义域是实数.图象自左至右是下降的,说明是减函数,图象位于x轴上方,说明值域大于0.图象经过点（0,1）,x<0时y>1,x>0时0

可以再画下列函数的图象以作比较,y=3x,y=6x,y=（）x,y=（）x.重新观察函数图象的特点,推广到一般的情形.

（6）一般地,指数函数y=ax在a>1和0

图象特征

函数性质

a＞1

0＜a＜1

a＞1

0＜a＜1

向x轴正负方向无限延伸

函数的定义域为R

图象关于原点和y轴不对称

非奇非偶函数

函数图象都在x轴上方

函数的值域为R+

函数图象都过定点（0,1）

a0=1

自左向右,图象逐渐上升

自左向右,图象逐渐下降

增函数

减函数

在第一象限内的图象纵坐标都大于1

在第一象限内的图象纵坐标都小于

1x＞0,ax＞1

x＞0,ax＜1

在第二象限内的图象纵坐标都小于1

在第二象限内的图象纵坐标都大于1

x＜0,ax＜1

x＜0,ax＞1

一般地,指数函数y=ax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：

a＞1

0＜a＜1

图象

性质

①定义域：

R

②值域：

（0,+∞）

③过点（0,1）,即x=0时y=1

④在R上是增函数,当x＜0时,0＜y＜1;当x＞0时,y＞1

④在R上是减函数,当x＜0时,y＞1;当x＞0时,0＜y＜1

（7）在同一坐标系中作出y=2x和y=（）x两个函数的图象,如图2-1-2-3.经过仔细研究发现,它们的图象关于y轴对称.

图2-1-2-3

（8）证明:

设点p（x1,y1）是y=2x上的任意一点,它关于y轴的对称点是p1（-x1,y1）,它满足方程y=（）x=2-x,即点p1（-x1,y1）在y=（）x的图象上,反之亦然,所以y=2x和y=（）x两个函数的图象关于y轴对称.

（9）因为y=2x和y=（）x两个函数的图象关于y轴对称,所以可以先画其中一个函数的图象,利用轴对称的性质可以得到另一个函数的图象,同学们一定要掌握这种作图的方法,对以后的学习非常有好处.

应用示例

思路1

例1判断下列函数是否是一个指数函数？

y=x2,y=8x,y=2·4x,y=（2a-1）x（a>,a≠1）,y=（-4）x,y=πx,y=6x3+2.

活动：

学生观察,小组讨论,尝试解决以上题目,学生紧扣指数函数的定义解题,因为y=x2,y=2·4x,y=6x3+2都不符合y=ax的形式,教师强调y=ax的形式的重要性,即a前面的系数为1,a是一个正常数（也可是一个表示正常数的代数式）,指数必须是x的形式或通过转化后能化为x的形式.

解：

y=8x,y=（2a-1）x（a>,a≠1）,y=（-4）x,y=πx是指数函数;y=x2,y=2·4x,y=6x3+2不是指数函数.

变式训练

函数y=23x,y=ax+k,y=a-x,y=（）-2x（a>0,a≠1）中是指数函数的有哪些?

答案：

y=23x=（23）x,y=a-x=（）x,y=（）-2x=［（）-2］x是指数函数.

例2比较下列各题中的两个值的大小:

（1）1.72.5与1.73;

（2）0.8-0.1与0.8-0.2;（3）1.70.3与0.93.1.

活动：

学生自己思考或讨论,回忆比较数的大小的方法,结合题目实际,选择合理的,再写出（最好用实物投影仪展示写得正确的答案）,比较数的大小,一是作差,看两个数差的符号,若为正,则前面的数大;二是作商,但必须是同号数,看商与1的大小,再决定两个数的大小;三是计算出每个数的值,再比较大小;四是利用图象;五是利用函数的单调性.教师在学生中巡视其他学生的解答,发现问题及时纠正并及时评价.

解法一：

用数形结合的方法,如第

（1）小题,用图形计算器或计算机画出y=1.7x的图象,如图2-1-2-4.

图2-1-2-4

在