第六章平面直角坐标系学案含答案.docx
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第六章平面直角坐标系学案含答案
第六章 平面直角坐标系
本章学习目标
1、理解有序数对的应用意义,了解平面上确定点的常用方法;
2、会用有序数对和方向、距离表示平面上点的位置;
3、理解平面直角坐标系的含义,会表示一个点,会根据点的位置写出坐标;
4、学会用坐标正确表示地理位置;
5、掌握坐标变化与图形平移的关系;
6、能利用点的平移规律将平面图形进行平移;
7、会根据图形上点的坐标的变化,来判定图形的移动过程.
6.1.1有序数对
教学目标:
1、理解有序数对的意义。
2、能用有序数对表示实际生活中物体的位置。
温故知新、知识链接
1.一位居民打电话给供电部门:
“卫星路第8根电线杆的路灯坏了,”维修人员很快修好了路灯。
2.地质部门在某地埋下一个标志桩,上面写着“北纬44.2°,东经125.7°”。
3.某人买了一张8排6号的电影票,很快找到了自己的座位。
分析以上情景,他们分别利用那些数据找到位置的,你能举出生活中利用数据表示位置的例子吗?
自主学习、新知探究
1、有序数对:
用含有两个数的词表示一个确定的位置,其中各个数表示不同的含义,我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对,叫做有序数对(orderedpair),记作(a,b).
2、确定平面上点的位置常用方法:
(1)行列式:
以某一点为原点(0,0)将平面分成若干个小正方形的方格,利用点所在的行和列的位置来确定点的位置。
例:
如图6.1-1,A点为原点(0,0),则B点记为(3,1)
(2)角距式:
以某一点为观察点,用方位角、目标到这个点的距离这两个数来确定目标所在的位置。
例:
如图6.1-2,以灯塔A为观测点,小岛B在灯塔A北偏东45°,距灯塔3km处。
(3)经纬法:
把经度写在前,纬度写在后,两头括号,中间逗号,写成数对形式就叫做经纬法。
例:
北京市:
(116.46,39.92)表示北京市位于东经116.46°,北纬39.92°.
感悟:
1利用有序数对,可以很准确地表示出一个位置。
2、一组数对的有其表示的含义和格式。
3、数对顺序不能变。
研讨交流、思路点拨
例1:
如图6.1-3,点A表示3街与5大道的十字路口,点B表示5街与3大道的十字路口,如果用(3,5)→(4,5)→(5,5)→(5,4)→(5,3)表示由A到B的一条路径,那么你能用同样的方法写出由A到B的其他几条路径吗?
6大道
5大道
A
4大道
3大道
B
2大道
1大道
1街
2街
3街
4街
5街
6街
图6.1-3
分析:
图中确定点用前一个数表示大街,后一个数表示大道。
解:
其他的路径可以是:
(3,5)→(4,5)→(4,4)→(5,4)→(5,3);
(3,5)→(4,5)→(4,4)→(4,3)→(5,3);
(3,5)→(3,4)→(4,4)→(5,4)→(5,3);
(3,5)→(3,4)→(4,4)→(4,3)→(5,3);
(3,5)→(3,4)→(3,3)→(4,3)→(5,3);
点拨:
根据描述的情景找出表示地点的数量.
例2:
如图6.1-4是某城市市区的一部分示意图,对市政府来说:
(1)北偏东60°的方向有哪些单位?
要想确定单位的位置,还需要哪些数据?
(2)火车站与学校分别位于市政府的什么方向,怎样确定他们的位置?
(点拨:
北偏东60°的方向有:
银行和购物中心,要想确定它们的位置,还需要知道它们与市政府的距离;火车站位于市政府正南方向,学校位于市政府正东方向,确定它们的位置也得知道它们与市政府的距离,可用角距式表示。
)
学以致用、课堂练习
1、下列说法正确的是()
A、(2,3)和(3,2)表示的位置相同 B、(2,3)和(3,2)表示不同位置
C、(2,2)和(2,2)表示两个不同的位置D、(m,n)和(n,m)表示的位置一定不同
2、已知有序数对(2x-1,5-3y)表示数对(5,2),则x=____,y=____
3、如果(5,4)表示电影票上的“5排4号”,那么(4,5)表示_____.
4.如图,圆的直径为4cm,如点C的位置在点O的东南方向,距O点2cm,那么点B的位置在点O的_______.
5.如图,若用(0,0)表示点A的位置,试在方格纸中标出B(2,4),C(3,0),D(5,4),E(6,0),并顺次连接起来,是英文字母中的___;
6.如图,若D(2,0),则A、B、C点可表示为____;
总结反思、拓展延伸
例:
如图6.1-5是某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图,对我方潜艇来说:
(1)北偏东40°的方向上约有哪些目标?
要确定敌舰B的位置,还需要什么数据?
(2)距我方潜艇图上距离1cm处的敌舰有哪几艘?
(3)要确定每艘敌舰的位置,各需要几个数据?
(4)在图中北偏西30°的方向上,距我方潜艇1.5cm处有一艘渔船,请在图中找到它的位置.
(5)如果你们分别是我方战舰1、2号上的作战参谋,请确定敌战舰的位置.
答:
(1)北偏东40°的方向上有小岛、敌方战舰B.要确定敌舰B的位置,还需要它们与我方潜艇的距离;
(2)距我方潜艇图上距离1cm处的敌舰有敌方战舰B、敌方战舰A;
(3)要确定每艘敌舰的位置,各需要两个数据;
(4)略;
(5)敌方战舰B在我方潜艇北偏东40°方向上距离1cm,敌方战舰C在我方潜艇南偏东75°方向上距离0.6cm,敌方战舰A在我方潜艇正南40°方向上距离1cm.
阳光作业
1.如图所示,一方队正沿箭头所指的方向前进,A的位置为三列四行,表示为(3,4),那么B的位置是()
A.(4,5);B.(5,4);C.(4,2);D.(4,3)
2.如上图所示,B左侧第二个人的位置是()
A.(2,5);B.(5,2);C.(2,2);D.(5,5)
3.如图,若A的位置是(6,3),则B的位置可表示为()
A、(7,4) B、(5,7) C、(8,4)D、(8,5)
4.如图所示,进行“找宝”游戏,如果宝藏藏在(3,3)字母牌的下面,那么应该在字母______的下面寻找.
第4题图
5.如图所示,如果点A的位置为(3,2),那么点B的位置为______,点C的位置为______,点D和点E的位置分别为______,_______.
6.如图所示,如果点A的位置为(1,2),那么点B的位置为_______,点C的位置为_______.
7、如图所示,A的位置为(2,6),小明从A出发,经
(2,5)→(3,5)→(4,5)→(4,4)→(5,4)→(6,4),小刚也从A出发,
经(3,6)→(4,6)→(4,7)→(5,7)→(6,7),则此时两人相距几个格?
6.1.2平面直角坐标系
教学目标:
1、理解平面直角坐标系的有关概念,并会正确画出平面直角坐标系。
2、理解坐标平面内的点与有序实数对的一一对应关系,并能熟练地由点求坐标,由坐标描点。
3、明确坐标轴上点的数据特征和四个象限中的点的符号特征、掌握特殊直线上的点的坐标特征。
温故知新、知识链接
1、什么是数轴?
(规定了原点,正方向及长度单位的直线)
2、数轴上的点与数间的关系是什么?
(一一对应关系,即数轴上每一个点的位置都能用一个数表示,反之,任何一个数在数轴上都有唯一的一个点和它对应,这个数叫做这个点在数轴上的坐标).
3、类似于利用数轴确定直线上的点的位置,能不能找到一种办法来确定平面内的点的位置呢?
自主学习、新知探究
⒈平面直角坐标系的有关概念:
特征:
在同一平面内两条数轴:
①互相垂直②原点重合③通常取向右、向上为正方向④单位长度一般取相同的
2、有序数对与坐标平面内的点的对应关系
由点写出对应坐标
对于平面内任意一点M,过点M作x轴的垂线,垂足对应的数是a,过点M作y轴的垂线,垂足对应的数是b,这样得到了一个矩形,根据矩形对边相等,可知a刻划了M点离开y轴横向位置叫横坐标,b刻画了M点离开x轴纵向位置叫纵坐标,合在一起叫M点坐标。
记作M(a,b)。
由坐标画出对应点
先在x轴上画出坐标是m的点M,后在y轴上画出坐标是n的点N,再过M,N分别画x轴、y轴的垂线,垂线交点P就是和有序实数对(m,n)对应的点,有序实数对(m,n)就是点P的坐标。
注意:
横坐标写在纵坐标的前面,它们是一对有序数对。
对于坐标平面内的任意一点,有惟一的一对有序数对与它对应;对于任意一对有序数对,坐标平面内有惟一的一点与它对应。
感悟:
坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的。
3、坐标系象限及坐标轴上点的符号特征:
如图6.1-6:
①坐标系被坐标轴分为四个象限,坐标轴上的点不属于任何一个象限。
②横轴上的点坐标为(x,0)纵轴上的点坐标为(0,y)原点坐标为(0,0)
4、平行直线上的点的坐标特征:
①如图6.1-7,在与
轴平行的直线上,所有点的纵坐标相等;
点A、B的纵坐标都等于
;
②如图6.1-8,在与
轴平行的直线上,所有点的横坐标相等;
点C、D的横坐标都等于
;
5、两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征:
①如图6.1-9,若点P(
)在第一、三象限的角平分线上,则
,即横、纵坐标相等;
②如图6.1-10,若点P(
)在第二、四象限的角平分线上,则
,即横、纵坐标互为相反数;
在第一、三象限的角平分线上在第二、四象限的角平分线上
研讨交流、思路点拨
例1写出图6.1-11中A、B、C、D点的坐标。
解:
A(2,3);B(3,2);C(-2,1)D(-1,-2)
例2 填空:
1、(3,-2)在第_____象限;点(-1.5,-1)在第_______象限;点(0,3)在____轴上;若点(a+1,-5)在y轴上,则a=______。
2、点C在X轴上,且与原点距离为3个单位长度的点的坐标为____
3、若点P在第二象限,它的横坐标与纵坐标的和为-1,则点P的坐标可以是________。
4、如果同一直角坐标系下两个点的横坐标相同,那么过这两点的直线()
(A)平行于x轴(B)平行于y轴 (C)经过原点(D)以上都不对
5、若点(a,b-1)在第二象限,则a的取值范围是_____,b的取值范围________。
【答案】1、四 三 y-1
2、(±3,0) 3、(-3,2) 4、B 5、a<0,b>1
学以致用、课堂练习
1、点A(
,3)所在象限为()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2、点
位于
轴左方,距
轴3个单位长,位于x轴上方,距x轴4个单位长,点P的坐标是( )
A.(3,
)B.(
,4)C.(4,
)D.(
,3)
3、若点P(x,y)的坐标满足
=0,则点P的位置是()
A.在x轴上B.在y轴上C.是坐标原点D.在x轴上或在y轴上
4、有了平面直角坐标系,平面内的点就可以用一个来表示了。
点
的横坐标是,纵坐标是.
5、设点P在坐标平面内的坐标为P(x,y),则当P在第一象限时
____0,
____0;当点P在第四象限时,
___0,
____0.
6.如图,在所给的平面直角坐标系中描出下列各点,并写出它们的坐标:
(1)点A在x轴上方,y轴左侧,距离x轴4个单位长度,距离y轴2个单位长度;
(2)点B在x轴下方,y轴右侧,距离每条坐标轴都是3个单位长度;
(3)点C在y轴上,位于原点下方,距离原点2个单位长度;
(4)点D在x轴上,位于原点右侧,距离原点4个单位长度.
总结反思、拓展延伸
如图6.1-12在平面直角坐标系中,已知点P
,则
(1)点P到
轴的距离为
;
(2)点P到
轴的距离为
;
(3)点P到原点O的距离为PO=
例1.在直角坐标系的点M(-3,4),则M到到
轴的距离为4,点P到
轴的距离为3,OP=
=5。
(以后还会学到)
例2.在平面直角坐标系中,点P(-2,
+1)所在的象限是()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】B
点拨:
+1>0
例3.如图6.1-13,在平面直角坐标系中,一蚂蚁从原点O出发,按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动,每次移动1个单位.其行走路线如下图所示.
(1)填写下列各点的坐标:
A4(,),A8(,),A12(,);
(2)写出点A4n的坐标(n是正整数);
(3)指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向.
【答案】⑴A4(2,0);A8(4,0);A12(6,0);
⑵A4n(2n,0);
⑶向上.
点拨:
寻找蚂蚁爬行规律是关键。
阳光作业
1、若点P(a,b)在第四象限内,则a,b的取值范围是()
A、a>0,b<0B、a>0,b>0
C、a<0,b>0D、a<0,b<0
2、如果点A(x,y)在第三象限,则点B(-x,y-1)在()
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
3、点P(-3,4)到y轴的距离是()
A、3B、4C、-3D、5
4、两条数轴通常分别置于____位置与___位置,取___与____的方向分别为两条数轴的正方向,水平的数轴叫做___或___;竖直的数轴叫做___或__,其交点O称为____;
5、平面直角坐标系内有一点P(x,y),若点P在横轴上,则____,若点P在纵轴上,则_____,坐标原点O的坐标是____;
6、在平面直角坐标系中,点A的位置为(-3,2),B的位置为(3,2),连接A、B两点所成线段与____平行;
7、若点(a+5,a-2)在y轴上,则N点的坐标为_____;
8、如图:
(1)点A的坐标是(____,___)横坐标是_____,纵坐标是_____;
(2)点B的坐标是(____,___)横坐标是_____,纵坐标是_____;
(3)点C的坐标是(____,___)横坐标是_____,纵坐标是_____;
(4)点D的坐标是(____,___)横坐标是_____,纵坐标是_____;
(5)点E的坐标是(____,___)横坐标是_____,纵坐标是_____;
(6)点F的坐标是(____,___)横坐标是_____,纵坐标是_____;
6.2.1用坐标表示地理位置
教学目标:
1、了解用平面直角坐标系来表示地理位置的意义;
2、会用坐标表示地理位置;
3、能够用坐标系来描述地理位置。
温故知新、知识链接
思考:
不管是出差办事,还是出去旅游,人们都愿意带上一幅地图,它给人们出行带来了很大的方便,看课本P49页图6.2-1,它是北京市地图的一部分,你知道怎样用坐标表示地理位置吗?
自主学习、新知探究
问题1 :
根据以下条件画一幅示意图,标出学校和小刚家、小强家和小敏家的位置.
小刚家:
出校门向东走150m,再向北走200m.
小强家:
出校门向西走200m,再向北走350m.
小敏家:
出校门向南走100m,再向东走300m,最后向南走75m.
你会画示意图,并且标记出学校、小刚、小强和小敏家的位置吗?
问题2:
如何建立合适平面直角坐标系呢?
点拨:
如图6.2-1,要建立平面直角坐标系首先要确定原点的位置,小刚家、小强家、小敏家的位置均是以学校为参照物来描述的,故选学校位置原点.并取向东、向北为X轴、Y轴的正方向.在建好的坐标系中描出小刚家、小强家和小敏家的位置,并在坐标系中写出他们的坐标和名称.
感悟:
要确定大小适中的平面直角坐标系的单位长度需要选定适当的比例尺.
研讨交流、思路点拨
1、利用平面直角坐标系表示平面内一些点的地理位置的一般过程如下:
(1)建立坐标系,选择一个适当的参照点为原点,确定x轴、y轴的正方向;
(2)根据具体问题确定适当的比例尺,在坐标轴上标出单位长度;
(3)在坐标平面内画出这些点,写出各点的坐标和各个地点的名称.
2、应注意的问题:
用坐标表示地理位置时,
①是要注意选择适当的位置为坐标原点;
②是坐标轴的方向通常是以正北为纵轴的正方向;
③是要注意标明比例尺和坐标轴上的单位长度;
3、如图6.2-2(教材第56页,公园平面图):
春天到了,初一(2班组织同学到人民公园春游,张明、王丽、李华三位同学和其他同学走散了,同学们已经到了中心广场,而他们仍在牡丹园赏花,他们对着景区示意图在电话中向老师告诉了他们的位置.
张明:
“我这里的坐标是(300,300)”.
王丽:
“我这里的坐标是(200,300)”.
李华:
“我在你们东北方向约420米处”.
实际上,他们所说的位置都是正确的.你知道张明和王丽同学是如何在景区示意图上建立的坐标系吗?
你理解李华同学所说的“东北方向约420米处”的含义吗?
用他们的方法,你能描述公园内其他景点的位置吗?
请你画出直角坐标系,标出其他景点的位置.
学以致用、课堂练习
1、点P位于y轴左方,距y轴3个单位长,位于x轴上方,距x轴4个单位长,点P的坐标是( )
A、(3,-4)B、(-3,4)C、(4,-3)D、(-4,3)
2、已知点P(x,y)在第二象限,且
,
则点P的坐标为()
A、(-3,5)B、(1,-1)C、(-3,-1)D、(1,5)
3、在方格纸上有A、B两点,若以B点为原点建立直角坐标系,则A点坐标为(2,5),若以A点为原点建立直角坐标系,则B点坐标为()
A.(-2,-5)B.(-2,5)C.(2,-5)D.(2,5)
4、若平面直角坐标系中线段MN所在的直线是x轴正方向与y轴正方向所成角的平分线,且M(4,a),N(b,2),则a=____,b=___;
5、已知A(3,2),AB∥x轴,则B点的坐标为____;
6、如左图是某中学的平面示意图的一部分,请你想一个办法描述各个场所的位置,再用坐标的方法来表示位置的坐标?
7、夏令营举行野外拉练活动,老师交给大家一张地图,如右图所示:
地图上画了一个平面直角坐标系,作为定向标记,给出了四座农舍的坐标是(1,2),(-3,5),(4,5),(0,4).目的地位于连结第一与第三座农舍的直线和连结第二与第四座农舍的直线的交点.利用平面直角坐标系,同学们很快就到达了目的地.请你在图中画出目的地位置。
总结反思、拓展延伸
例1:
如图6.2-3,正方形ABCD的边长为6.
1、如果以点A为原点,AB所在的直线为x轴,建立平面坐标系,那么y轴是哪条线?
解:
y轴是AD所在直线.
2、写出正方形的顶点A、B、C、D的坐标.
解:
A(0,0)B(0,6)C(6,6)D(6,0).
3、请你另建立一个平面直角坐标系,此时正方形的顶点A、B、C、D的坐标又分别是多少?
解:
如图6.2-4所示:
如果以点B为原点,AB所在的直线为x轴,BC所在的直线为y轴,建立平面坐标系,此时四点的坐标分别是:
A(-6,0)、B(0,0)、C(0,6)、D(-6,6)
点拨:
可以看到建立的直角坐标系不同,则各点的坐标也不同。
建立直角坐标系要尽量使更多的点落在坐标轴上才算比较合适。
阳光作业
1、如果点M到y轴的距离是4,到x轴的距离是3,则M的坐标为 .
2、坐标轴上点的特征:
x轴上点的坐标的特点是,y轴上点的坐标的
特点是,原点的坐标是 .
3、点P(m+3,m+1)在坐标系的x轴上,则点P的坐标为()
A.(0,-2)B.(2,0)C.(4,0)D.(0,-4)
4、已知点A(a,b)在第四象限,那么点B(b,a)在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
5、从车站向东走400米,再向北走500米到小红家;从车站向北走500米,再向西走200米到小强家,则( )毛
A.小强家在小红家的正东B.小强家在小红家的正西
C.小强家在小红家的正南D.小强家在小红家的正北
6、如图所示,若在象棋盘上建立直角坐标系,使“将”位于点(1,-2),“象”位于点(3,-2),则“炮”位于点.
7、如图,正方形ABCD边长为10,连结各边中点E、F、G、H得正方形EFGH,建立适当得直角坐标系,分别写出A、B、C、D、E、F、G、H的坐标?
8、根据以下条件画一幅示意图,标出某一公园的各个景点.
菊花园:
从中心广场向北走150米,再向东走150米;
湖心亭:
从中心广场向西走150米,再向北走100米;
松风亭:
从中心广场向西走100米,再向南走50米;
育德泉:
从中心广场向北走200米.
6.2.2用坐标表示平移
教学目标:
1、掌握坐标变化与图形平移的关系;
2、能利用点的平移规律将平面图形进行平移;
3、会根据图形上点的坐标的变化,来判定图形的移动过程。
温故知新、知识链接
用坐标不仅可以表示地理位置,体现了直角坐标系在实际中的应用,它还有一个重要的应用你知道吗?
如图6.2-5所示:
1、将点A(-2,-3)向右平移5个单位长度,得到点A1,在图上标出它的坐标,点A的坐标发生了什么变化?
把点A向上平移4个单位长度呢?
点拨:
将点A向右平移5个单位长度,横坐标增加了5个单位长度,纵坐标不变;将点A向上平移4个单位长度,纵坐标增加了4个单位长度,横坐标不变.
2、把点A向左或向下平移4个单位长度,点A的坐标发生了什么变化?
点拨:
将点A向左平移4个单位长度,横坐标减少了4个单位长度,纵坐标不变;将点A向下平移4个单位长度,纵坐标减少了4个单位长度,横坐标不变。
3、从点A的平移变化中,你知道在什么情况下,坐标不变吗?
在什么情况下,坐标增加或减少吗?
点拨:
将点向左右平移纵坐标不变,向上下平移横坐标不变;将点向右或向上平移几个单位长度,横坐标或纵坐标就增加几个单位长度;向左或向下平移几个单位长度,横坐标或纵坐标就减少几个单位长度。
自主学习、新知探究
图形的平移与图形上点的变化规律
点拨:
1、对一个图形进行平移,就是对这个图形上所有点的平移,因而这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化;
2、反过来,从图形上的点的坐标的某种变化,我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移.
例:
如图6.2-6,三角形ABC三个顶点坐标分别是A(4,3),B(3,1),C(1,2).
(1)将三角形ABC三个顶点的横坐标都减去6,纵坐标不变,分别得到点A1、B1、C1,依次连接A1、B1、C1各点,所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状和位置上有什么关系?
(2)将三角形ABC三个顶点的纵坐标都减去5,横坐标不变,分别得到点A2、B2、C2,依次连接A2、B2、C2各点,所得三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状和位置上有什么关系?
解:
如图6.2-7,所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状完全相同,三角形A1B1
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