初二数学勾股定理教案.docx
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初二数学勾股定理教案
第一课时、勾股定理
【教学内容】勾股定理
【教学目标】
知识与能力:
了解勾股定理的含义,了解勾股定理的证明方法。
过程与方法:
通过谈话引入,使学生对等腰直角三角形产生研究的兴趣;通过集体探究,得到勾股定理的含义;通过阅读,使学生了解勾股定理的证明方法。
情感与态度:
通过介绍数学家的研究成果,激发学生学习数学的兴趣;通过介绍我国数学赵爽对数学的钻研精神与聪明才智,激发学生的民族自豪感。
语言积累:
词:
直角边、斜边、勾、股、弦、勾股定理。
句:
勾股定理的含义。
【教学重点】
了解勾股定理的含义。
【教学难点】
勾股定理的探究方法。
【教学用具】
课件、学具。
【教学过程】
一、引入:
1、谈话引入:
师:
说道三角形,你们都会想到怎样的图形?
生:
自由发言(特殊的三角形)
师:
这些三角形会被大家记住是因为它们的特殊性,也正因为它们的特殊,才有研究的价值。
师:
直角三角形具有怎样的特殊性,又有什么研究的价值呢,就让我们一起来学习第十八章勾股定理。
二、新课:
1、介绍勾、股、弦
方法:
学生阅读知识介绍,了解什么是勾、股、弦;
请学生在图中指出勾、股、弦的位置。
2、勾股定理:
方法:
(1)看图,你有什么发现?
(2)毕达哥拉斯的发现
以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和,等于以斜边为边长的大正方形的面积。
(3)勾股定理:
探究:
结论:
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么
。
3、证明勾股定理
以a、b为直角边(b>a),以c为斜边作四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于
.把这四个直角三角形拼成如图所示形状。
∵RtΔDAH≌RtΔABE
∴∠HDA=∠EAB
∵∠HAD+∠HAD=90º
∴∠EAB+∠HAD=90º
∴ABCD是一个边长为c的正方形,它的面积等于c2
∵EF=FG=GH=HE=b―a
∠HEF=90º
∴EFGH是一个边长为b―a的正方形,它的面积等于
∴
∴
方法:
学生阅读65页赵爽的证法。
集体讲解。
三、复习巩固:
1、提问:
什么是勾股定理?
勾股定理是研究什么问题?
2、阅读与思考:
71页
介绍几种勾股定理的证明方法
3、小结:
勾股定理是研究直角三角形边的关系:
斜边的平方等于两直角边的平方和。
4、课堂小结:
教师:
通过今天的学习,同学们有什么收获?
还有什么疑问?
学生自由发言,教师小结。
四、布置作业:
1、正确复述勾股定理。
2、预习66-67页探究1。
五、板书设计:
勾股定理
(直角三角形边的关系)
两直角边平方的和等于斜边的平方
第二课时、勾股定理
【教学内容】勾股定理
【教学目标】
知识与能力:
在探索基础上掌握勾股定理。
掌握直角三角形中的边边关系和三角之间的关系。
过程与方法:
已知两边,运用勾股定理列式求第三边。
应用勾股定理解决实际问题(探索性问题和应用性问题)。
情感与态度:
学生通过适当训练,养成数学说理的习惯,培养学生参与的积极性,逐步体验数学说理的重要性。
语言积累:
词:
直角边、斜边、勾、股、弦、勾股定理。
句:
勾股定理的含义。
【教学重点】
在直角三角形中,知道两边,可以求第三边。
【教学难点】
应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。
【教学用具】
课件、学具。
【教学过程】
一、引入:
1、在图中指出勾、股、弦的位置。
2、提问:
什么是勾股定理?
勾股定理研究的是什么问题?
3、出示勾股定理公式:
教师:
今天,我们就来了解几种勾股定理的证明方法。
二、新授:
1、邹元治证明:
以a、b为直角边,以c为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于
。
把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上,B、F、C三点在一条直线上,C、G、D三点在一条直线上。
∵RtΔHAE≌RtΔEBF
∴∠AHE=∠BEF
∵∠AEH+∠AHE=90º
∴∠AEH+∠BEF=90º
∴∠HEF=180º―90º=90º
∴四边形EFGH是一个边长为c的
正方形.它的面积等于c2
∵RtΔGDH≌RtΔHAE
∴∠HGD=∠EHA
∵∠HGD+∠GHD=90º
∴∠EHA+∠GHD=90º
又∵∠GHE=90º
∴∠DHA=90º+90º=180º
∴ABCD是一个边长为a+b的正方形,它的面积等于
∴
∴
2、1876年美国总统Garfield证明:
以a、b为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于
。
把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上。
∵RtΔEAD≌RtΔCBE
∴∠ADE=∠BEC
∵∠AED+∠ADE=90º
∴∠AED+∠BEC=90º
∴∠DEC=180º―90º=90º
∴ΔDEC是一个等腰直角三角形
它的面积等于
又∵∠DAE=90º,∠EBC=90º
∴AD∥BC
∴ABCD是一个直角梯形,它的面积等于
∴
∴
3、梅文鼎证明:
做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上。
过C作AC的延长线交DF于点P。
∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD
∴∠EGF=∠BED
∵∠EGF+∠GEF=90°
∴∠BED+∠GEF=90°
∴∠BEG=180º―90º=90º
又∵AB=BE=EG=GA=c
∴ABEG是一个边长为c的正方形
∴∠ABC+∠CBE=90º
∵RtΔABC≌RtΔEBD
∴∠ABC=∠EBD
∴∠EBD+∠CBE=90º
即∠CBD=90º
又∵∠BDE=90º,∠BCP=90º
BC=BD=a
∴BDPC是一个边长为a的正方形
同理,HPFG是一个边长为b的正方形
设多边形GHCBE的面积为S,则
∴
三、巩固练习:
1、填空题:
(1)在直角△ABC中,∠C=
,a=3,b=4,则c值是_______,理由是_______
(2)在直角△ABC中,∠B=
,a=3,b=4,则c值是_______,理由是_______
(3)在△ABC中,a=3,b=4,c=5,则△ABC是_______
方法:
课件出示题目;
指名回答,集体订正。
2、如图,直角△ABC的主要性质是:
∠C=90°,(用几何语言表示)
⑴两锐角之间的关系:
;
⑵若D为斜边中点,则斜边中线;
⑶若∠B=30°,则∠B的对边和斜边:
;
⑷三边之间的关系:
。
答案:
⑴∠A+∠B=90°;⑵CD=
AB;⑶AC=
AB;⑷AC2+BC2=AB2
方法:
课件出示题目;
学生分组交流,教师巡视。
指名回答,集体订正。
3、△ABC的三边a、b、c,若满足b2=a2+c2,则=90°;若满足b2>c2+a2,则∠B是角;若满足b2<c2+a2,则∠B是角。
答案:
∠B,钝角,锐角;
方法:
课件出示题目;
指名回答,集体订正。
4、根据如图所示,利用面积法证明勾股定理。
提示:
因为S梯形ABCD=S△ABE+S△BCE+S△EDA,又因为S梯形ACDG=
(a+b)2,
S△BCE=S△EDA=
ab,S△ABE=
c2,
(a+b)2=2×
ab+
c2。
方法:
课件出示题目;
学生分组交流,教师巡视。
指名回答,集体订正。
四、学习小结:
1、内容总结:
直角三角形三边满足勾股定理:
两直角边的平方和等于斜边的平方。
注意:
应用勾股定理时应特别注意哪个角是直角。
让学生经历观察、操作、交流合作、合理猜想等体验吸取知识。
2、课后小结:
教师:
通过今天的学习,同学们有什么收获?
还有什么疑问?
学生自由发言,教师小结。
五、布置作业:
1、正确复述勾股定理。
2、课后作业:
《北大绿卡》。
六、板书设计:
勾股定理
(直角三角形边的关系)
两直角边平方的和等于斜边的平方
第三课时、勾股定理
【教学内容】勾股定理的应用
【教学目标】
知识与能力:
了解勾股定理的含义,会运用勾股定理进行简单的应用。
过程与方法:
将文字、图像、数据结合与替换,使学生掌握初级的定理应用;通过独立探究与集体分析,使学生会主动运用勾股定理解决实际问题。
情感与态度:
增强学生独立探究的信心与小组合作的意识。
语言积累:
词:
直角边、斜边、勾、股、弦、勾股定理。
句:
勾股定理的含义。
【教学重点】
会勾股定理的应用。
【教学难点】
理解语言文字,掌握分析思路。
【教学用具】
课件、学具。
【教学过程】
一、课堂引入:
1、复习勾股定理的文字叙述;勾股定理的符号语言及变形。
2、学习勾股定理验证方法。
(课件)
剪四个与图1完全相同的直角三角形,然后将它们拼成如图2所示的图形。
大正方形的面积可以表示为,又可以表示为。
对比两种表示方法,看看能不能得到勾股定理的结论。
图1图2图3
用上面得到的完全相同的四个直角三角形,还可以拼成如图3所示的图形,与上面的方法类似,也能说明勾股定理是正确的。
3、出示勾股定理公式:
二、新课:
1、勾股定理的简单应用
内容:
69页(习题1)
方法:
学生指图,说各部分名称(对理解慢的学生,可以采取标字母的方法)
按公式计算
集体订正
2、解决问题
内容:
70页
(2)
方法:
学生读题,理解题意
根据题意,在图中标出数据
确定计算方法并简单计算
提示:
旗杆总长
3、探究:
内容:
66页探究1
方法:
生活实际引入,确定分析思路(求斜边)
独立分析并计算
集体订正
三、巩固复习:
1、已知在Rt△ABC中,∠B=90°,a、b、c是△ABC的三边,则
(1)c=。
(已知a、b,求c)
(2)a=。
(已知b、c,求a)
(3)b=。
(已知a、c,求b)
答案:
(1)c=
;
(2)a=
;(3)b=
方法:
课件出示题目
指名回答,集体订正。
2、小结:
通过本节课的研究,你有什么感受或想法?
师:
在研究直角三角形时,勾股定理是一个可以利用的非常重要的定理,请大家记住。
学生自由发言,教师小结。
3、作业指导
内容:
70页(3、4、5)
方法:
课件出示题目
学生读题后说分析方法
个别辅导
四、布置作业:
1、书中70页(3、4、5)
2、复习相关内容
3、预习探究2
五、板书设计:
勾股定理
第四课时、勾股定理
【教学内容】勾股定理的应用
【教学目标】
知识与能力:
了解勾股定理的含义,会运用勾股定理进行简单的应用。
过程与方法:
将文字、图像、数据结合与替换,使学生掌握初级的定理应用;通过独立探究与集体分析,使学生会主动运用勾股定理解决实际问题。
情感与态度:
增强学生独立探究的信心与小组合作的意识。
语言积累:
词:
直角边、斜边、勾、股、弦、勾股定理。
句:
勾股定理的含义。
【教学重点】
会勾股定理的应用。
【教学难点】
理解语言文字,掌握分析思路。
【教学用具】
课件、学具。
【教学过程】
一、引入:
1、提问:
什么是勾股定理?
指出勾、股、弦的位置
2、作业指导:
订正作业中的问题
3、引入:
今天我们继续研究有关勾股定理的应用
二、新课:
1、探究3:
内容:
方法:
学生读题并独立分析
讨论:
你想用什么方法来证明?
学生间讨论
分析:
(提示:
AB=CD)
2、在Rt△ABC,∠C=90°
⑴已知a=b=5,求c。
⑵已知a=1,c=2,求b。
⑶已知c=17,b=8,求a。
⑷已知a:
b=1:
2,c=5,求a。
⑸已知b=15,∠A=30°,求a,c。
分析:
刚开始使用定理,让学生画好图形,并标好图形,理清边之间的关系。
⑴已知两直角边,求斜边直接用勾股定理。
⑵⑶已知斜边和一直角边,求另一直角边,用勾股定理的便形式。
⑷⑸已知一边和两边比,求未知边。
通过前三题让学生明确在直角三角形中,已知任意两边都可以求出第三边。
后两题让学生明确已知一边和两边关系,也可以求出未知边,学会见比设参的数学方法,体会由角转化为边的关系的转化思想。
方法:
课件出示题目;
学生分组讨论,教师巡视;
指名回答,集体订正。
3、小结:
教师:
在研究直角三角形时,勾股定理是一个可以利用的非常重要的定理,请大家记住。
三、巩固复习:
1、内容:
68页
(1)
方法:
学生独立读题,理解题意
学生间讨论分析思路
提示:
圆直径与正方形对角线长度一致(课件演示)
2、内容:
68页
(2)
方法:
学生独立读题,理解题意
请学困生试说分析思路(按标字母的方法分析)
3、已知:
如图,等边△ABC的边长是6cm。
(1)求等边△ABC的高。
(2)求S△ABC。
分析:
勾股定理的使用范围是在直角三角形中,因此注意要创造直角三角形,作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。
欲求高CD,可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中,但只有一边已知,根据等腰三角形三线合一性质,可求AD=CD=
AB=3cm,则此题可解。
方法:
课件出示题目;
学生分组讨论,教师巡视;
指名回答,集体订正。
4、课堂小结:
教师:
通过今天的学习,同学们有什么收获?
还有什么疑问?
学生自由发言,教师小结。
四、布置作业:
1、书中68页(1、2)。
2、练习册。
3、复习相关内容。
五、板书设计:
勾股定理
第五课时、勾股定理
【教学内容】勾股定理的应用
【教学目标】
知识与能力:
了解勾股定理的含义,会运用勾股定理进行简单的应用。
过程与方法:
通过勾股定理求无理数并画在数轴上;通过独立探究与集体分析,使学生会主动运用勾股定理解决实际问题。
情感与态度:
增强学生独立探究的信心与小组合作的意识。
语言积累:
词:
直角边、斜边、勾、股、弦、勾股定理。
句:
勾股定理的含义。
【教学重点】
会利用勾股定理在数轴上标出无理数的位置。
【教学难点】
掌握分析思路。
【教学用具】
课件、学具。
【教学过程】
一、复习引入:
1、填空题:
(1)小明和爸爸妈妈十一登香山,他们沿着45度的坡路走了500米,看到了一棵红叶树,这棵红叶树的离地面的高度是米。
(2)如图,山坡上两株树木之间的坡面距离是4
米,则这两株树之间的垂直距离是米,水平距离是米。
(3)如图,一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定,两个固定点之间的距离是。
2题图3题图
方法:
课件出示题目;
指名回答,集体订正。
2、我们知道数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,你能在数轴上画出无理数的点吗?
二、新课:
1、探究3
内容:
方法:
(1)利用勾股定理探究
的画法
利用勾股定理探究
的画法
利用勾股定理探究
的画法
(2)数轴表示无理数
(3)在数轴上表示
的点
学生独立分析,小组合作
提示:
直角边为正整数
学生分析
集体讨论
数轴表示
2、已知:
在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥BC于D,∠A=60°,CD=
,求线段AB的长。
分析:
本题是“双垂图”的计算题,“双垂图”是中考重要的考点,所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练,能够灵活应用。
目前“双垂图”需要掌握的知识点有:
3个直角三角形,三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2,两对相等锐角,四对互余角,及30°或45°特殊角的特殊性质等。
要求学生能够自己画图,并正确标图。
引导学生分析:
欲求AB,可由AB=BD+AD,分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角,求出BD=3和AD=1。
或欲求AB,可由
,分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角,求出AC=2和BC=
。
方法:
课件出示题目;
学生独立计算,组内交流;
指名回答,集体订正。
3、小结:
任何一个无理数都可以用这种方法在数轴上表示。
三、巩固复习:
1、在数轴上作出表示
的点(书中69页练习1)
方法:
学生独立分析
请学困生分析
集体订正
2、求边长为6的等边三角的高与面积(书中69页练习2)
方法:
学生独立分析
指名分析
集体讨论
3、作业辅导
内容:
70页(7)
提示:
直角三角形的性质
方法:
学生独立分析
指名分析
集体讨论
4、课后小结:
教师:
通过今天的学习,同学们有什么收获?
还有什么疑问?
学生自由发言,教师小结。
四、布置作业:
1、书中70页(6、7、8)
2、复习相关内容
五、板书设计:
勾股定理
第六课时、勾股定理
【教学内容】练习
【教学目标】
知识与能力:
了解勾股定理的含义,会运用勾股定理进行简单的应用。
过程与方法:
通过练习,提高学生的分析能力。
情感与态度:
培养学生独立思考的习惯。
语言积累:
词:
直角边、斜边、勾、股、弦、勾股定理
句:
勾股定理的含义
【教学重点】
会运用勾股定理进行简单的应用。
【教学难点】
会运用勾股定理进行简单的应用。
【教学用具】
课件、学具。
【教学过程】
一、引入:
1、作业指导
内容:
70页(7)
方法:
(1)提示:
在直角三角形中,如果一个角为30度,那么30度所对的直角边等于斜边的一半
(2)利用性质,可知BC长为5(画图分析)
(3)利用勾股定理计算AC长
(4)∠C=90°∠A=45°,可知等腰直角三角形
(5)
二、新课:
1、书中71页(9)
方法:
(1)学生看图分析
(2)提示:
L是高,即求高的长
(3)指名说方法
2、书中71页(10)
方法:
(1)学生理解题意
(2)画图分析,找准勾股关系
(3)学生试计算
(4)集体分析
内容:
三、巩固复习:
1、已知:
如图,△ABC中,AC=4,∠B=45°,∠A=60°,根据题设可知什么?
分析:
由于本题中的△ABC不是直角三角形,所以根据题设只能直接求得∠ACB=75°。
在学生充分思考和讨论后,发现添置AB边上的高这条辅助线,就可以求得AD,CD,BD,AB,BC及S△ABC。
让学生充分讨论还可以作其它辅助线吗?
为什么?
小结:
可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。
并指出如何作辅助线?
方法:
课件出示题目;
学生分组讨论,教师巡视;
指名回答,集体订正。
2、已知:
如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2。
求:
四边形ABCD的面积。
分析:
如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据给定的边选第三种较为简单。
教学中要逐层展示给学生,让学生深入体会。
解:
延长AD、BC交于E。
∵∠A=∠60°,∠B=90°,∴∠E=30°。
∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,
∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE=
=
。
∵DE2=CE2-CD2=42-22=12,∴DE=
=
。
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=
AB·BE-
CD·DE=
小结:
不规则图形的面积,可转化为特殊图形求解,本题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为三角形面积之差。
方法:
课件出示题目;
学生分组讨论,教师巡视;
指名回答,集体订正。
3、小结:
什么是勾股定理?
勾股定理是研究什么问题的?
学生自由发言,教师小结。
四、布置作业:
1、练习册相关内容
五、板书设计:
(根据上课实际进行指导)
第七课时、勾股定理
【教学内容】练习
【教学目标】
知识与能力:
了解勾股定理的含义,会运用勾股定理进行简单的应用。
过程与方法:
通过练习提高学生的分析能力。
情感与态度:
培养学生独立思考的习惯。
语言积累:
词:
直角边、斜边、勾、股、弦、勾股定理。
句:
勾股定理的含义。
【教学重点】
会运用勾股定理进行简单的应用。
【教学难点】
会运用勾股定理进行简单的应用。
【教学用具】
课件、学具。
【教学过程】
一、引入:
我们正在学习有关勾股定理的内容,请问勾、股、弦分别指什么?
什么是勾股定理?
方法:
指名回答,集体订正。
二、基础练习:
1、若直角三角形的三边长分别是n+1,n+2,n+3,求n。
思路分析:
首先要确定斜边(最长的边)长n+3,然后利用勾股定理列方程求解。
解:
此直角三角形的斜边长为n+3,由勾股定理可得:
(n+1)2+(n+2)2=(n+3)2,化简得:
n2=4。
∴n=±2,但当n=-2时,n+1=-1<0,∴n=2。
方法:
课件出示题目;
学生独立计算,组内交流;
指名回答,集体订正。
2、直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积。
思路分析:
直角三角形边的有关计算中,常常要设未知数,然后用勾股定理列方程(
组)求解。
解:
设此直角三角形两直角边分别是x,y,根据题意得:
由
(1)得:
x+y=7,(x+y)2=49,x2+2xy+y2=49。
(3)
(3)-
(2),得:
xy=12。
∴直角三角形的面积是
xy=
×12=6(cm2)。
方法:
课件出示题目;
学生独立计算,组内交流;
指名回答,集体订正。
3、若直角三角形两直角边的比是3∶4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。
解:
设此直角三角形两直角边分别是3x、4x,根据题意得:
(3x)2+(4x)
2=202,
化简得x2=16;
∴直角三角形的面积=
×3x×4x=6x2=96。
方法:
课件出示题目;
学生独立计算,组内交流;
指名回答,集体订正。
三、综合运用:
1、如图,△ABC中,AB=15cm,AC=24cm,∠A=60°,求BC的长。
思路分析:
因为∠A是一个特殊角,可考虑过点B作BD⊥AC,垂足为D,则∠ABD=30°,所以AD可求.在Rt△BCD中,由勾股定理可求出BC的长。
解:
过点B作BD⊥AC,垂足为D。
∵∠A=60°,∴∠ABD=30°。
∴AD=
AB=
×15=7.5。
BD2=AB2-AD2=152-7.52=168.75。
在Rt△BCD中,由勾股定理得,
BC2=BD2+CD2=168.75+16.52=441。
∴BC=21。
抓住特殊角,构造直角三角形是解决本题的关键.本题也可以这样作辅助线:
过点C作CE⊥AB,垂足为E,但过点A作AF⊥BC,垂足为F,则是行不通的。
请你想一想为什么?
从中可以得到什么启发?
方法:
课件出示题目;
学生独立计算,组内交流;
指名回答,集体订正。
2、在锐角
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- 初二 数学 勾股定理 教案