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期末复习
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(一) 有理数
01 知识结构
02 重难点突破
重难点1 有理数的相关概念
【例1】 填空:
(1)|-
|=
;-
的相反数是
;-
的倒数是-
;
(2)如图,数轴上的点A表示的数为a,则a与1的距离为3.
【方法归纳】 对概念的考查,要紧扣概念的本质属性,掌握概念的展示形式,如绝对值、相反数有时是文字形式,有时是符号形式,还要理解某些概念的“代数,几何”双重意义.
1.如图,数轴上点A所表示的数的倒数是(D)
A.-2B.2C.
D.-
2.若x是2的相反数,|y|=3,则x-y的值是(D)
A.-5B.1
C.-1或5D.1或-5
重难点2 有理数的运算
【例2】 计算:
(-
+
-
)×(-24).
解:
原式=(-
)×(-24)+
×(-24)-
×(-24)
=12-16-(-6)
=12-16+6
=2.
【方法归纳】 本题主要是用乘法的分配律来简化运算,根据本题的特点也可以采用先算括号内的,然后做乘法运算.
3.计算:
1÷(-1)+0÷4-5×0.1×(-2)3.
解:
原式=-1+0+4
=3.
4.计算:
3
×(3
-7
)×
÷1
.
解:
原式=
×
×(
-
)×
=
×
-
×
=3-7
=-4.
重难点3 科学记数法与近似数
【例3】 (遵义五十三中月考)每天供给地球光和热的太阳与我们的距离非常遥远,它距地球的距离约为150000000千米,将150000000千米用科学记数法表示为(B)
A.0.15×109千米B.1.5×108千米
C.15×107千米D.1.5×107千米
【方法归纳】 用科学记数法将一个数表示成a×10n形式的方法:
(1)确定a,a是只有一位整数的数;
(2)确定n,当原数的绝对值≥10时,n为正整数,且等于原数的整数位数减1.
5.国家体育馆“鸟巢”的建筑面积达25.8万平方米,请将“25.8万”用科学记数法表示,结果是(D)
A.25.8×104B.25.8×105
C.2.58×104D.2.58×105
6.数1.6543精确到十分位为1.7.
重难点4 有理数的应用
【例4】 某次数学单元检测,七(8)班某小组六位同学计划平均成绩达到80分,组长在登记成绩时,以80分为基准,超过80分的分数记为正,成绩记录如下:
+10,-2,+15,+8,-13,-7.
(1)本次检测成绩最好的为多少分?
(2)该小组实际总成绩与计划相比是超过还是不足,超过或不足多少分?
(3)本次检测小组成员中得分最高与最低相差多少分?
解:
(1)80+15=95(分),则成绩最好的为95分.
(2)10+(-2)+15+8+(-13)+(-7)=11(分),则超过11分.
(3)最高分为80+15=95(分),
最低分为80-13=67(分),
最高分与最低分相差为95-67=28(分).
【方法归纳】 有理数运算的应用,关键是要扣住题目中的数量关系,先列出相应的运算式子,然后利用运算法则计算.
7.某检修小组乘一辆汽车沿东西走向的公路检修线路,约定向东走为正,某天从A地出发到收工时,行走记录如下(单位:
km):
+15,-2,+5,-1,+10,-3,-2,+12,+4,-5,+6.
(1)收工时,检修小组在A地的哪一边,距A地多远?
(2)若汽车每千米耗油3升,已知汽车出发时油箱里有180升汽油,问收工前是否需要中途加油?
若加,至少应加多少升?
若不加,还剩多少升汽油?
解:
(1)+15-2+5-1+10-3-2+12+4-5+6=39(千米).
答:
收工时,检修小组在A地的东边,距A地39千米.
(2)15+2+5+1+10+3+2+12+4+5+6=65(千米).
65×3=195(升).
195-180=15(升).答:
需要中途加油,至少应加15升.
03 备考集训
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.如果+3吨表示运入仓库的大米吨数,那么运出5吨大米表示为(A)
A.-5吨B.+5吨
C.-3吨D.+3吨
2.2017的倒数是(A)
A.
B.-
C.|2017|D.-2017
3.(自贡中考)比-1大1的数是(C)
A.2B.1C.0D.-2
4.用四舍五入的方法将3.602精确到0.01的结果是(B)
A.3.6B.3.60
C.3.602D.3.61
5.在-3,-1,1,3四个数中,比-2小的数是(A)
A.-3B.-1
C.1D.3
6.下列各数-(-2),(-2)2,-22,(-2)3中,负数有(B)
A.1个B.2个
C.3个D.4个
7.今年元旦,某风景区的最低气温为-5℃,最高气温为10℃,则这个风景区今年元旦的最高气温比最低气温高(B)
A.-15℃B.15℃
C.5℃D.-5℃
8.下列运算正确的是(D)
A.-
+
=-(
+
)=-1
B.-7-2×5=-9×5=-45
C.3÷
×
=3÷1=3
D.-(-3)2=-9
9.数轴上点A、B表示的数分别是5、-3,它们之间的距离可以表示为(D)
A.-3+5B.-3-5
C.|-3+5|D.|-3-5|
10.若a,b两数在数轴上的位置如图所示,则下列结论正确的是(B)
A.a+b>0B.a-b<0
C.ab>0D.
>0
11.下列结论不正确的是(A)
A.若a>0,b<0,且a>|b|,则a+b<0
B.若a<0,b>0,且|a|>b,则a+b<0
C.若a>0,b>0,则a+b>0
D.若a<0,b>0,则a-b<0
12.(黔南中考改编)甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依次循环报数,规定:
①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4,接着甲报5,乙报6,…,后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1,按此规律,当报到的数是50时,报数结束;②若报出的数为3的倍数,则该报数的同学需拍手一次,在此过程中,甲同学需要拍手的次数为(B)
A.3B.4C.5D.6
二、填空题(每小题4分,共24分)
13.有理数-
的相反数是
.
14.将算式(-5)-(-10)+(-9)-(+2)改写成省略加号和括号的和的形式,应该是-5+10-9-2.
15.(六盘水中考改编)“亚洲基础设施投资银行”在北京成立时,我国出资500亿美元,这个数用科学记数法表示为5×1010美元.
16.如图是一个简单的数值运算程序,当输入x的值为-2时,则输出的数值为-2.
→
→
→
17.已知(x-3)2+|y+5|=0,则xy-yx=110.
18.(铜仁中考)定义一种新运算:
a⊗b=b2-ab,如:
1⊗2=22-1×2=2,则(-1⊗2)⊗3=-9.
三、解答题(共40分)
19.(8分)已知下列各数:
0.5,-2,2.5,-2.5,0,-1.4,4,-
.
(1)在数轴上表示以上各数;
(2)用“<”号连接以上各数.
解:
(1)略.
(2)-2.5<-2<-1.4<-
<0<0.5<2.5<4.
20.(10分)计算:
(1)-32-(-8)×(-1)5÷(-1)4;
解:
原式=-17.
(2)(-370)×(-
)+0.25×24.5+(-5
)×(-25%).
解:
原式=100.
21.(10分)小虫从某点O出发在一直线上来回爬行,假定向右爬行的路程记为正,向左爬行的路程记为负,爬过的路程依次为(单位:
厘米):
+5,-3,+10,-8,-6,+12,-10.问:
(1)小虫最后是否回到出发点O?
(2)小虫离开出发点O最远是多少厘米?
(3)在爬行过程中,如果每爬行1厘米奖励一粒芝麻,那么小虫共可得到多少粒芝麻?
解:
(1)(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)+(+12)+(-10)=27+(-27)=0,
所以,小虫最后能回到出发点O.
(2)根据记录,小虫离开出发点O的距离分别为5cm、2cm、12cm、4cm、2cm、10cm、0cm,
所以,小虫离开出发点O最远为12cm.
(3)根据记录,小虫共爬行的距离为5+3+10+8+6+12+10=54(cm),
所以,小虫共可得到54粒芝麻.
22.(12分)观察下面一列数,探求其规律:
,-
,
,-
,
,-
,…
(1)这一列数属于有理数中的哪一类;
(2)写出第7,8,9项的三个数;
(3)第2017个数是什么?
(4)如果这一列数无限排列下去,与哪两个数越来越接近?
解:
(1)分数.
(2)
,-
,
.
(3)
.
(4)1与-1.
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(二) 整式的加减
01 知识结构
用字母表示数
整式加减运算
02 重难点突破
重难点1 用字母表示数
【例1】 (海南中考)某企业今年1月份产值为x万元,2月份比1月份减少了10%,3月份比2月份增加了15%,则3月份的产值是(A)
A.(1-10%)(1+15%)x万元
B.(1-10%+15%)x万元
C.(x-10%)(x+15%)万元
D.(1+10%-15%)x万元
【方法归纳】 本题考查了列式表示数量关系,理解各月产值之间的百分比的关系是解题的关键.
1.某地区夏季高山温度从山脚处开始每升高1km气温就下降6摄氏度,若山脚处为30摄氏度,则山上akm处温度是__(30-6a)__摄氏度.(用含a的式子表示)
2.如图,正方形的边长为x,圆的半径为r,用整式表示图中阴影部分的面积为πr2-x2.(保留π)
重难点2 同类项
【例2】 (遵义中考改编)如果单项式-xyb+1与
xa-2y3是同类项,那么(a-b)2017=1.
【思路点拨】 根据同类项的定义,可得
解方程即可求得a、b的值,再代入(a-b)2017即可求解.
【方法归纳】 抓住同类项的两条标准:
(1)所含字母相同;
(2)相同字母的指数相同.
3.已知-
x3y2n与2x3my2是同类项,则mn的值是(A)
A.1B.3C.6D.9
4.写出-5x3y2的一个同类项:
答案不唯一,如:
x3y2.
重难点3 整式的化简及求值
【例3】 先化简,再求值:
(-4x2+2x-8)-(
x-1),其中x=
.
【思路点拨】 先根据去括号法则去掉两个小括号,然后合并同类项,再将x=
代入求值.
解:
原式=-x2+
x-2-
x+1
=-x2-1.
当x=
时,原式=-(
)2-1
=-
.
【方法归纳】 去括号的要点:
(1)不要漏乘;
(2)括号前面是“-”,去括号后括号里面的各项都要变号.合并同类项时,只把系数相加减,字母与字母的指数不变.
5.已知:
A-2B=7a2-7ab,且B=-4a2+6ab+7.
(1)求A等于多少?
(2)若|a+1|+(b-2)2=0,求A的值.
解:
(1)因为A-2B=A-2(-4a2+6ab+7)=7a2-7ab,
所以A=(7a2-7ab)+2(-4a2+6ab+7)=-a2+5ab+14.
(2)依题意,得a+1=0,b-2=0,
即a=-1,b=2.
所以A=-(-1)2+5×(-1)×2+14=3.
6.先化简,再求值:
2x2-[7x-(4x-3)+2x2],其中x=2.
解:
原式=2x2-7x+4x-3-2x2=-3x-3.
当x=2时,原式=-6-3=-9.
03 备考集训
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.单项式-a的系数是(B)
A.0B.-1C.1D.2
2.(广东中考)计算3a-2a的结果正确的是(B)
A.1B.a
C.-aD.-5a
3.列式表示“比m的平方的3倍大1的数”是(B)
A.(3m)2+1B.3m2+1
C.3(m+1)2D.(3m+1)2
4.下列各式-
mn,m,8,
,x2+2x+6,
,
,
中,整式有(C)
A.3个B.4个
C.6个D.7个
5.下列运算正确的是(D)
A.-2(a+b)=-2a-b
B.-2(a-b)=-2a+b
C.-2(a-b)=-2a-2b
D.-2(a-b)=-2a+2b
6.买一个足球需要m元,买一个篮球需要n元,则买4个足球、7个篮球共需要(A)
A.(4m+7n)元B.28mn元
C.(7m+4n)元D.11mn元
7.已知一个多项式是三次二项式,则这个多项式可以是(B)
A.x2-2x+1B.2x3+1
C.x2-2xD.x3-2x2+1
8.当a=5,b=3时,式子a-[b-2a-(a-b)]的值为(B)
A.10B.14
C.-10D.4
9.(张家界中考)若-5x2ym与xny是同类项,则m+n的值为(C)
A.1B.2
C.3D.4
10.若-
是七次单项式,则n的值为(B)
A.4B.3
C.2D.1
11.已知a+b=4,c-d=-3,则(b-c)-(-d-a)的值为(A)
A.7B.-7
C.1D.-1
12.设M=x2-8x+22,N=-x2-8x-3,那么M与N的大小关系是(A)
A.M>NB.M=N
C.M 二、填空题(每小题4分,共24分) 13.计算: 2a2+3a2=5a2. 14.多项式2x2y- +1的常数项是1. 15.请你写出一个单项式,使它的系数为-1,次数为3: -x3(答案不唯一). 16.把多项式x2y-2x3y2-3+4xy3按字母x的指数由小到大排列是-3+4xy3+x2y-2x3y2. 17.学校餐厅有10a桶花生油,周一用去1.5a桶,周二用去3.5a桶,周三运进7a桶,现在还有12a桶花生油. 18.如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案,第1个图案中有6根小棒,第2个图案中有11根小棒,…,则第n个图案中有(5n+1)根小棒. 三、解答题(共40分) 19.(8分)化简: (1)(x2-7x)-(3x2-5-7x); 解: 原式=-2x2+5. (2)(4ab-b2)-2(a2+2ab-b2). 解: 原式=b2-2a2. 20.(12分)化简求值: (1)(4a2-2a-6)-2(2a2-2a-5),其中a=-1; 解: 原式=4a2-2a-6-4a2+4a+10=2a+4. 当a=-1时,原式=2. (2)- a-2(a- b2)-( a- b2),其中a=-2,b= . 解: 原式=- a-2a+b2- a+ b2 =-4a+ b2. 当a=-2,b= 时,原式=11. 21.(8分)设a表示一个两位数,b表示一个三位数,把a放在b的左边,组成一个五位数x,把b放在a的左边,组成一个五位数y,试问9能否整除x-y? 请说明理由. 解: 依题意可知: x=1000a+b,y=100b+a, 所以x-y=(1000a+b)-(100b+a) =999a-99b =9(111a-11b). 因为a、b都是整数, 所以9能整除9(111a-11b),即9能整除x-y. 22.(12分)某超市在春节期间对顾客实行优惠,规定如下: 一次性购物 优惠办法 少于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 九折优惠 500元或超过500元 其中500元部分给予九折优惠,超过500元部分给予八折优惠 (1)王老师一次性购物600元,他实际付款530元; (2)若顾客在该超市一次性购物x元,当x小于500但不小于200时,他实际付款0.9x元,当x大于或等于500时,他实际付款(0.8x+50)元;(用含x的式子表示) (3)如果王老师两次购物货款合计820元,第一次购物的货款为a元(200<a<300),用含a的式子表示: 两次购物王老师实际付款多少元? 解: 0.9a+0.8(820-a)+50=0.1a+706, 即两次购物王老师实际付款(0.1a+706)元. 期末复习(三) 一元一次方程 01 知识结构 02 重难点突破 重难点1 方程的解 【例1】 如果关于x的方程2x+1=3和方程2- =0的解相同,那么k的值为5. 【方法归纳】 求方程中某些字母的值时,只要将方程的解代入方程,即可得到关于待求字母的方程,解这个方程即可. 1.若方程kx=3的解为自然数,则整数k等于(D) A.0,1B.-1,3 C.-1,-3D.1,3 2.已知x=-1是关于x的方程3n+2x= -2x的解,求关于x的方程nx-3=n-2nx的解. 解: 因为x=-1是关于x的方程3n+2x= -2x的解, 所以3n-2= +2.所以n= . 将n= 代入方程nx-3=n-2nx,得 x-3= -3x.解得x=1. 重难点2 解一元一次方程 【例2】 解方程: - =1. 解: 去分母,得2(2x+1)-(10x+1)=6. 去括号,得4x+2-10x-1=6. 移项,得4x-10x=6-2+1. 合并同类项,得-6x=5. 系数化为1,得x=- . 【方法归纳】 解一元一次方程时,要灵活安排各个步骤的次序(不一定每个步骤都要用到),这样往往可使计算简便,在整个求解过程中,要注意避免去分母,去括号,移项时常出现的错误. 3.(遵义正安县期末)在解方程 - =1时,去分母正确的是(D) A.3(x-1)-4x+3=1 B.3x-1-4x+3=6 C.3x-1-4x+3=1 D.3(x-1)-2(2x+3)=6 4.解下列方程: (1)5x-3=-x+3; 解: 6x=6, x=1. (2)3x-7(x-1)=3-2(x+3); 解: 3x-7x+7=3-2x-6, 3x-7x+2x=3-6-7, -2x=-10, x=5. (3) +1= ; 解: 2(5x-7)+12=3(3x-1), 10x-14+12=9x-3, 10x-9x=-3+14-12, x=-1. (4)x- =1- . 解: 6x-2(x+2)=6-3(x-1), 6x-2x-4=6-3x+3, 6x-2x+3x=6+3+4, 7x=13, x= . 重难点3 一元一次方程的应用 【例3】 (淄博中考)为鼓励居民节约用电,某省试行阶梯电价收费制,具体执行方案如下: 档 次 每户每月用电数(度) 执行电价(元/度) 第一档 小于等于200 0.55 第二档 大于200小于400 0.6 第三档 大于等于400 0.85 例如: 一户居民七月份用电420度,则需缴电费420×0.85=357(元). 某户居民五、六月份共用电500度,缴电费290.5元.已知该用户六月份用电量大于五月份,且五、六月份的用电量均小于400度.问该户居民五、六月份各用电多少度? 解: 因为两个月用电量为500度,所以每个月用电量不可能都在第一档.假设该用户五月、六月每月用电均超过200度,此时的电费共计: 500×0.6=300(元),而300>290.5,不符合题意,又因为六月份用电量大于五月份,所以五月份用电在第一档,六月份用电在第二档.设五月份用电x度,六月份用电(500-x)度,根据题意,得 0.55x+0.6(500-x)=290.5.解得x=190. 则500-x=500-190=310. 答: 该户居民五、六月份各用电190度、310度. 【方法归纳】 分档计费问题的关键是先通过已知条件推理出按第几档收费,然后再根据题意列出方程. 5.某城市自来水收费实行阶梯水价,收费标准如下表所示: 月用水量 不超过10m3 的部分 超过10m3不超 过16m3的部分 收费标 准(元/m3) 2.00 2.50 若某用户4月份交水费25元,则4月份所用水量是(B) A.10m3B.12m3 C.14m3D.16m3 6.(黔东南期末)某汽车厂要在预定期限内生产一批汽车,若按原计划每天生产20辆,则差100辆不能完成任务.现在每天生产25辆,结果比原计划多生产50辆,求原计划生产多少辆? 预定期限多少天? 解: 设预定期限为x天,根据题意,得 20x+100=25x-50. 解得x=30. 则20×30+100=700(辆). 答: 原计划生产700辆车,预定期限是30天. 7.(抚州中考)情境: 试根据图中的信息,解答下列问题: (1)购买6根跳绳需150元,购买12根跳绳需240元; (2)小红比小明多买2根,付款时小红反而比小明少5元.你认为有这种可能吗? 若有,请求出小红购买跳绳的根数;若没有,请说明理由. 解: 有这种可能.设小红购买跳绳x根,根据题意,得 25×80%x=25(x-2)-5,解得x=11. 因此小红购买跳绳11根. 03 备考集训 一、选择题(每小题3分,共36分) 1.已知下列方程: ① x=2;② =3;③ =2x-1;④2x2=1;⑤x=2;⑥2x+y=1.其中一元一次方程的个数是(B) A.2B.3 C.4D.5 2.(滨州中考)把方程 x=1变形为x=2,其依据是(B) A.等式的性质1B.等式的性质2 C.分式的基本性质D.不等式的性质1 3.方程2x-1=3x+2的解为(D) A.x=1B.x=-1 C.x=3D.x=-3 4.在解方程 =1- 时,去分母后正确的是(C) A.5x=1-3(x-1)B.x=1-(3x-1) C.5x=15-3(x-1)D.5x=3-3(x-1) 5.已知x=1是方程x+2a=-1的解,那么a的值是(A) A.-1B.0C.1D.2 6.已知y1=- x+1,y2= x-5,若y1+y2=20,则x=(B) A.-30B.-48C.48D.30 7.用“△”表示一种运算符号,其意义是a△b=2a-b,若x△(-1)=2,则x等于(B) A.1B. C. D.2 8.若3a-6与 互为倒数,则a2-2a+1的值为(A) A.4B.1C.7D.3 9.如图,在周长为10m的长方形窗户上钉一块宽为1m的长方形遮阳布,使透光部分正好是一个正方形,则钉好后透光面积为(A) A.4m2 B.9m2 C.16m2 D.25m2 10.(遵义务川期末)小明在做解
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