因式分解的十二种方法及多项式因式分解的一般步骤.docx
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因式分解的十二种方法及多项式因式分解的一般步骤
因式分解的十二种方法及多项式因式分解的一般步骤
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样,现总结如下:
1、提公因法
如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、分解因式x-2x-x(2003淮安市中考题)
x-2x-x=x(x-2x-1)
2、应用公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a+4ab+4b(2003南通市中考题)
解:
a+4ab+4b=(a+2b)
3、分组分解法
要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m+5n-mn-5m
解:
m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n
=(m-5m)+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、十字相乘法
对于mx+px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x-19x-6
分析:
1-3
72
2-21=-19
解:
7x-19x-6=(7x+2)(x-3)
5、配方法
对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解。
例5、分解因式x+3x-40
解x+3x-40=x+3x+()-()-40
=(x+)-()
=(x++)(x+-)
=(x+8)(x-5)
6、拆、添项法
可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解:
bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、换元法
有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来。
例7、分解因式2x-x-6x-x+2
解:
2x-x-6x-x+2=2(x+1)-x(x+1)-6x
=x[2(x+)-(x+)-6
令y=x+,x[2(x+)-(x+)-6
=x[2(y-2)-y-6]
=x(2y-y-10)
=x(y+2)(2y-5)
=x(x++2)(2x+-5)
=(x+2x+1)(2x-5x+2)
=(x+1)(2x-1)(x-2)
8、求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x,x,x,……x,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)……(x-x)
例8、分解因式2x+7x-2x-13x+6
解:
令f(x)=2x+7x-2x-13x+6=0
通过综合除法可知,f(x)=0根为,-3,-2,1
则2x+7x-2x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、图象法
令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x,x,x,……x,则多项式可因式分解为f(x)=f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)……(x-x)
例9、因式分解x+2x-5x-6
解:
令y=x+2x-5x-6
作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2
则x+2x-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、主元法
先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。
例10、分解因式a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)
分析:
此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列
解:
a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=a(b-c)-a(b-c)+(bc-cb)
=(b-c)[a-a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、利用特殊值法
将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式。
例11、分解因式x+9x+23x+15
解:
令x=2,则x+9x+23x+15=8+36+46+15=105
将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7
注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值
则x+9x+23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)
12、待定系数法
首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。
例12、分解因式x-x-5x-6x-4
分析:
易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。
解:
设x-x-5x-6x-4=(x+ax+b)(x+cx+d)
=x+(a+c)x+(ac+b+d)x+(ad+bc)x+bd
所以解得
则x-x-5x-6x-4=(x+x+1)(x-2x-4)
多项式因式分解的一般步骤
2007-10-2813:
19
①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;
②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解;
③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解;
④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
(6)应用因式定理:
如果f(a)=0,则f(x)必含有因式(x-a)。
如f(x)=x^2+5x+6,f(-2)=0,则可确定(x+2)是x^2+5x+6的一个因式
另外,在多次多项式内,还可以用双十字相乘法,轮换对称法解决。
主要注意事项:
初学因式分解的“四个注意”
因式分解初见于九年义务教育三年制初中教材《代数》第二册,在初二上学期讲授,但它的内容却渗透于整个中学数学教材之中。
学习它,既可以复习初一的整式四则运算,又为本册下一章分式打好基础;学好它,既可以培养学生的观察、注意、运算能力,又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
其中四个注意,则必须引起师生的高度重视。
因式分解中的四个注意散见于教材第5页和第15页,可用四句话概括如下:
首项有负常提负,各项有“公”先提“公”,某项提出莫漏1,括号里面分到“底”。
现举数例,说明如下,供参考。
例1把-a2-b2+2ab+4分解因式。
解:
-a2-b2+2ab+4=-(a2-2ab+b2-4)=-(a-b+2)(a-b-2)
这里的“负”,指“负号”。
如果多项式的第一项是负的,一般要提出负号,使括号内第一项系数是正的。
防止学生出现诸如-9x2+4y2=(-3x)2-(2y)2=(-3x+2y)(-3x-2y)=(3x-2y)(3x+2y)的错误?
膊荒芗汉啪拖取疤帷保匀饨蟹治觯?
/p>
如例2△abc的三边a、b、c有如下关系式:
-c2+a2+2ab-2bc=0,求证这个三角形是等腰三角形。
分析:
此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。
证明:
∵-c2+a2+2ab-2bc=0,∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0,∴(a-c)(a+2b+c)=0.
又∵a、b、c是△abc的三条边,∴a+2b+c>0,∴a-c=0,
即a=c,△abc为等腰三角形。
例3把-12x2nyn+18xn+2yn+1-6xnyn-1分解因式。
解:
-12x2nyn+18xn+2yn+1-6xnyn-1=-6xnyn-1(2xny-3x2y2+1)
这里的“公”指“公因式”。
如果多项式的各项含有公因式,那么先提取这个公因式,再进一步分解因式;这里的“1”,是指多项式的某个整项是公因式时,先提出这个公因式后,括号内切勿漏掉1。
防止学生出现诸如6p(x-1)3-8p2(x-1)2+2p(1-x)2=2p(x-1)2〔3(x-1)-4p〕=2p(x-1)2(3x-4p-3)的错误。
例4在实数范围内把x4-5x2-6分解因式。
解:
x4-5x2-6=(x2+1)(x2-6)=(x2+1)(x+6)(x-6)
这里的“底”,指分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
即分解到底,不能半途而废的意思。
其中包含提公因式要一次性提“干净”,不留“尾巴”,并使每一个括号内的多项式都不能再分解。
防止学生出现诸如4x4y2-5x2y2-9y2=y2(4x4-5x2-9)=y2(x2+1)(4x2-9)的错误。
由此看来,因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中,与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话:
“先看有无公因式,再看能否套公式,十字相乘试一试,分组分解要合适”是一脉相承的。
例题:
3ab+5b
-22y2+35y-3
a^2+b^2+ab+a+b+a+1
所有因式分解的破解法
2007-10-2813:
20
因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.而在竞赛上,又有拆项和添项法,待定系数法,双十字相乘法,轮换对称法等.
⑴提公因式法
①公因式:
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的~.
②提公因式法:
一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.
am+bm+cm=m(a+b+c)
③具体方法:
当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的.如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数是正的.
⑵运用公式法
①平方差公式:
.a^2-b^2=(a+b)(a-b)
②完全平方公式:
a^2±2ab+b^2=(a±b)^2
※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍.
③立方和公式:
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).
立方差公式:
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).
④完全立方公式:
a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3
⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]
a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数)
⑶分组分解法
分组分解法:
把一个多项式分组后,再进行分解因式的方法.
分组分解法必须有明确目的,即分组后,可以直接提公因式或运用公式.
⑷拆项、补项法
拆项、补项法:
把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项),使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解;要注意,必须在与原多项式相等的原则进行变形.
⑸十字相乘法
①x^2+(pq)x+pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是:
二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解:
x^2+(pq)x+pq=(x+p)(x+q)
②kx^2+mx+n型的式子的因式分解
如果能够分解成k=ac,n=bd,且有ad+bc=m时,那么
kx^2+mx+n=(axb)(cxd)
a\-----/bac=kbd=n
c/-----\dad+bc=m
※多项式因式分解的一般步骤:
①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;
②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解;
③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解;
④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
(6)应用因式定理:
如果f(a)=0,则f(x)必含有因式(x-a)。
如f(x)=x^2+5x+6,f(-2)=0,则可确定(x+2)是x^2+5x+6的一个因式。
经典例题:
1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2
解:
原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2
=[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x]
=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)
=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)
2.证明:
对于任何数x,y,下式的值都不会为33
x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5
解:
原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)
=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)
当y=0时,原式=x^5不等于33;当y不等于0时,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四个以上不同因数的积,所以原命题成立
因式分解的十二种方法
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样,现总结如下:
1、提公因法
如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、分解因式x-2x-x(2003淮安市中考题)
x-2x-x=x(x-2x-1)
2、应用公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a+4ab+4b(2003南通市中考题)
解:
a+4ab+4b=(a+2b)
3、分组分解法
要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m+5n-mn-5m
解:
m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n
=(m-5m)+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、十字相乘法
对于mx+px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x-19x-6
分析:
1-3
72
2-21=-19
解:
7x-19x-6=(7x+2)(x-3)
5、配方法
对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解。
例5、分解因式x+3x-40
解x+3x-40=x+3x+()-()-40
=(x+)-()
=(x++)(x+-)
=(x+8)(x-5)
6、拆、添项法
可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解:
bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、换元法
有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来。
例7、分解因式2x-x-6x-x+2
解:
2x-x-6x-x+2=2(x+1)-x(x+1)-6x
=x[2(x+)-(x+)-6
令y=x+,x[2(x+)-(x+)-6
=x[2(y-2)-y-6]
=x(2y-y-10)
=x(y+2)(2y-5)
=x(x++2)(2x+-5)
=(x+2x+1)(2x-5x+2)
=(x+1)(2x-1)(x-2)
8、求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x,x,x,……x,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)……(x-x)
例8、分解因式2x+7x-2x-13x+6
解:
令f(x)=2x+7x-2x-13x+6=0
通过综合除法可知,f(x)=0根为,-3,-2,1
则2x+7x-2x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、图像法
令y=f(x),做出函数y=f(x)的图像,找到函数图像与X轴的交点x,x,x,……x,则多项式可因式分解为f(x)=f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)……(x-x)
例9、因式分解x+2x-5x-6
解:
令y=x+2x-5x-6
作出其图像,见右图,与x轴交点为-3,-1,2
则x+2x-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、主元法
先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。
例10、分解因式a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)
分析:
此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列
解:
a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=a(b-c)-a(b-c)+(bc-cb)
=(b-c)[a-a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、利用特殊值法
将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式。
例11、分解因式x+9x+23x+15
解:
令x=2,则x+9x+23x+15=8+36+46+15=105
将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7
注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值
则x+9x+23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)
12、待定系数法
首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。
例12、分解因式x-x-5x-6x-4
分析:
易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。
解:
设x-x-5x-6x-4=(x+ax+b)(x+cx+d)
=x+(a+c)x+(ac+b+d)x+(ad+bc)x+bd
所以解得
则x-x-5x-6x-4=(x+x+1)(x-2x-4)
初学因式分解的“四个注意”
因式分解初见于九年义务教育三年制初中教材《代数》第二册,在初二上学期讲授,但它的内容却渗透于整个中学数学教材之中。
学习它,既可以复习初一的整式四则运算,又为本册下一章分式打好基础;学好它,既可以培养学生的观察、注意、运算能力,又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
其中四个注意,则必须引起师生的高度重视。
因式分解中的四个注意散见于教材第5页和第15页,可用四句话概括如下:
首项有负常提负,各项有“公”先提“公”,某项提出莫漏1,括号里面分到“底”。
现举数例,说明如下,供参考。
例1把-a2-b2+2ab+4分解因式。
解:
-a2-b2+2ab+4=-(a2-2ab+b2-4)=-(a-b+2)(a-b-2)
这里的“负”,指“负号”。
如果多项式的第一项是负的,一般要提出负号,使括号内第一项系数是正的。
防止学生出现诸如-9x2+4y2=(-3x)2-(2y)2=(-3x+2y)(-3x-2y)=(3x-2y)(3x+2y)的错误?
膊荒芗汉啪拖取疤帷保匀饨蟹治觯?
/p>
如例2△abc的三边a、b、c有如下关系式:
-c2+a2+2ab-2bc=0,求证这个三角形是等腰三角形。
分析:
此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。
证明:
∵-c2+a2+2ab-2bc=0,∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0,∴(a-c)(a+2b+c)=0.
又∵a、b、c是△abc的三条边,∴a+2b+c>0,∴a-c=0,
即a=c,△abc为等腰三角形。
例3把-12x2nyn+18xn+2yn+1-6xnyn-1分解因式。
解:
-12x2nyn+18xn+2yn+1-6xnyn-1=-6xnyn-1(2xny-3x2y2+1)
这里的“公”指“公因式”。
如果多项式的各项含有公因式,那么先提取这个公因式,再进一步分解因式;这里的“1”,是指多项式的某个整项是公因式时,先提出这个公因式后,括号内切勿漏掉1。
防止学生出现诸如6p(x-1)3-8p2(x-1)2+2p(1-x)2=2p(x-1)2〔3(x-1)-4p〕=2p(x-1)2(3x-4p-3)的错误。
例4在实数范围内把x4-5x2-6分解因式。
解:
x4-5x2-6=(x2+1)(x2-6)=(x2+1)(x+6)(x-6)
这里的“底”,指分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
即分解到底,不能半途而废的意思。
其中包含提公因式要一次性提“干净”,不留“尾巴”,并使每一个括号内的多项式都不能再分解。
防止学生出现诸
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