自考04184线性代数经管类讲义docx.docx
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自考高数线性代数课堂笔记
第一章行列式
线性代数学的核心内容是:
研究线性方程组的解的存在条件、解的结构以及解的求法。
所用的基本工
具是矩阵,而行列式是研究矩阵的很有效的工具之一。
行列式作为一种数学工具不但在本课程中极其重要,而且在其他数学学科、乃至在其他许多学科(例如计算机科学、经济学、管理学等)都是必不可少的。
行列式的定义
(一)一阶、二阶、三阶行列式的定义
(1)定义:
符号叫一阶行列式,它是一个数,其大小规定为:
。
注意:
在线性代数中,符号不是绝对值。
例如,且;
(2)定义:
符号叫二阶行列式,它也是一个数,其大小规定为:
所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。
(主对角线减次对角线的乘积)
例如
(3)符号叫三阶行列式,它也是一个数,其大小规定为
例如=0
三阶行列式的计算比较复杂,为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式,我们可以采用下面的对角线
法记忆
方法是:
在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。
我们把行列式左上角到右下角的对角
线叫主对角线,把右上角到左下角的对角线叫次对角线,这时,三阶行列式的值等于主对角线的三个数的
积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之
和。
例如:
(1)
=1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0
(2)
(3)
(2)和(3)叫三角形行列式,其中
(2)叫上三角形行列式,(3)叫下三角形行列式,由
(2)(3)
可见,在三阶行列式中,三角形行列式的值为主对角线的三个数之积,其余五项都是0,例如
例1a为何值时,
[答疑编号:
针对该题提问]
解因为
所以8-3a=0,时
例2当x取何值时,
[答疑编号:
针对该题提问]
解:
解得0 所以当0 (二)n阶行列式 符号: 它由n行、n列元素(共个元素)组成,称之为n阶行列式。 其中,每一个数称为行列式的一个 元素,它的前一个下标i称为行标,它表示这个数在第i行上;后一个下标j称为列标,它表示这个数 在第j列上。 所以在行列式的第i行和第j列的交叉位置上。 为叙述方便起见,我们用(i,j)表示这个位置。 n阶行列式通常也简记作。 n阶行列式也是一个数,至于它的值的计算方法需要引入下面两个概念。 (1)在n阶行列式中,划去它的第 i行和第 j列,余下的数按照原来相对顺序组成的一个 (n-1)阶行 列式叫元素的余子式,记作 例如,在三阶行列式 中,的余子式表示将三阶行列式划去第1行和第1列后,余下的数按照相对位置组成的二阶 行列式,所以 相似地,的余子式表示将三阶行列式划去第二行和第三列后,余下的数组成的二阶行列式。 所以 例1若,求: (1) [答疑编号: 针对该题提问] (2) [答疑编号: 针对该题提问] (3) [答疑编号: 针对该题提问] (4) [答疑编号: 针对该题提问] 解 (1) (2) (3) (4) (2)符号 例2求例 叫元素的代数余子式定义: 1中的代数余子式 (系数其实是个正负符号) (1) [答疑编号: 针对该题提问] (2) [答疑编号: 针对该题提问] (3) [答疑编号: 针对该题提问] (4) [答疑编号: 针对该题提问] 解: (1) (2) (3) (4) (如果符号是奇数,等于相反数;如果是偶数,等于原数) 例3若 计算(以上两组数相等) [答疑编号: 针对该题提问] 解: 由于 与例3的结果比较,发现 广到 这一结果说明: 三阶行列式n阶行列式作为定义。 等于它的第一列的元素与对应的代数余子式的积的和 ,这一结果可以推 定义: n阶行列式 即规定n阶行列式 的值为它的第一列的元素与相应代数余子式的积的和,上面结果中因为 所以有 特别情形 例4计算下列行列式 (1) [答疑编号: 针对该题提问] 由本例可见四阶上三角形行列式的值也等于它的主对角线各数之积 (2) [答疑编号: 针对该题提问] 可见五阶上三角形行列式的值仍等于它的主对角线各数之积 一般地可推得 即任意n阶上三角形行列式的值等于它的主对角线各数之积 同理有 行列式按行(列)展开 在n行列式的展开,是把按其第一列展开而逐步把行列式的数降低以后,再求出其。 上,行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的。 在出下面的重要定理,其明从略。 定理(行列式展开定理)n行列式等于它的任意一行(列)的各元素与其的代数余子 式的乘之和,即(i=1,2,⋯,n)()或 (j=1,2,⋯),n()其中,是元素在D中的代数余 子式。 定理(行列式展开定理)n行列式等于它的任意一行(列)的各元素与其的代数余子 式的乘之和,即 (i=1,2,⋯),n() 或(j=1,2,⋯),n() 其中,是元素在D中的代数余子式。 ()式称D按第i行的展开式,()式称D按第j列的展开式,里i,j=1,2,⋯ 上述展开定理也可以表示成 (i=1,2,⋯),n (j=1,2,⋯),n 两个展开式中的每一都由三部分成: 元素和它前面的符号以及它后面的余子式, 三者缺一不可! 特容易忘掉的是把元素(特是)抄写下来。 根据定理知道,凡是含零行(行中元素全零)或零列(列中元素全零)的行列式,其必零。 特情形 (1) (2) 例5计算 [答疑编号: 针对该题提问] 解: 由于第一行或第四列所含零最多,故可按第一行展开(解题技巧) 可见四阶下三角形行列式的值也等于它的主对角线各数之积 例5的结果可推广为 我们称这种行列式为下三角行列式(可任意取值的元素在主对角线的下面)。 例6计算 [答疑编号: 针对该题提问] 解: 由于第2行含0最多,所以应按第二行展开 例7计算 [答疑编号: 针对该题提问] 解: 将按第6行展开得 例8计算 (1) [答疑编号: 针对该题提问] 解: 按第4行展开 (2) [答疑号: 提] 解: 将D按第一行展开 (重新分后得出) 行列式的性与算 因n行列式是n! 求和,而且每一都是n个数的乘,当n比大,算量会非常大,例如, 10! =3628800。 所以于数大的行列式很直接用定去求它的,利用行列式的性可以有效地 解决行列式的求。 下面我来研究行列式的性,并利用行列式的性来化行列式的算。 行列式的性 将行列式D的第一行改第一列,第二行改第二列⋯⋯第n行改第n列,仍得到一个n行列式, 个新的行列式称D的置行列式,或。 即如果 性1行列式和它的置行列式相等,即或 根据这个性质可知,在任意一个行列式中,行与列是处于平等地位的。 凡是对“行”成立的性质,对“列”也成立;反之,凡是对“列”成立的性质,对“行”也成立。 所以只需研究行列式有关行的性质,其所有结论 对列也是自然成立的。 (运用最多)性质2用数k乘行列式D中某一行(列)的所有元素所得到的行列式等于kD。 这也就是说, 行列式可以按某一行和某一按列提出公因数: 证将左边的行列式按其第i行展开以后,再提出公因数k,即得右边的值: 注意如果行列式有多行或多列有公因数,必须按行或按列逐次提出公因数。 例1计算行列式: [答疑编号: 针对该题提问] 解 =30(4+6+5-2-4-15) =30(-6)=-180 在例1的计算过程中,我们先提出第二行的公因数2和第三行的公因数3,得到第一个等号右边的式 子,然后提出这个行列式中第三列的公因数5,把行列式中各元素的绝对值化小以后,再求出原行列式的 值。 例2 [答疑编号: 针对该题提问] 因为 所以原式=4abcdef 这里是把上式第一个等号左边的行列式的第一、二、三行分别提出了公因子a,d,f,第二个等号左边的 行列式的第一、二、三列分别提出了公因子b,c,e,化简后再求出其值。 例3计算行列式: 在行列式D的每一行中都提出公因数(-1)并用行列式性质1可以得到 [答疑编号: 针对该题提问] 因为行列式D是一个数,所以由D=-D,可知行列式D=0。 用这种方法可以证明: 任意一个奇数阶反对称行列式必为零。 所谓反对称行列式指的是,其中主对角 线上的元素全为 0,而以主对角线为轴,两边处于对称位置上的元素异号。 即若 是反对称行列式, 则它满足条件 (运用最多)性质 3 互换行列式的任意两行(列),行列式的值改变符号。 即对于如下两个行列式 有 根据这个性质可以得到下面的重要推论: 推论如果行列式中有两行(列)相同,则此行列式的值等于零。 因为互换行列式D中的两个相同的行(列),其结果仍是D,但由性质3可知其结果为-D,因此D=-D, 所以 D=0。 性质4如果行列式中某两行(列)的对应元素成比例,则此行列式的值等于零。 证设行列式D的第i行与第j行的对应元素成比例,不妨设第j行元素是第 i行元素乘以 k得到的, 则 由于将行列式D中第因此该行列式的值为零,明。 j行的比例系数k提到行列式的外面来以后,余下的行列式有两行对应元素相同,从而原行列式的值等于零。 行列式中某两列元素对应成比例的情形可以类似地证 例4验算x=3是否是方程的根。 [答疑编号: 针对该题提问] 解: 因为(第二行与第四行成倍数) ∴x=3是方程f(x)=0的根。 性质5行列式可以按行(列)拆开,即 证将左边的行列式按其第i行展开即得 这就是右边两个行列式之和。 (运用最多)性质6把行列式D的某一行(列)的所有元素都乘以同一数k以后加到另一行(列)的对应 元素上去,所得的行列式仍为D。 即: 例5证明: 的充要条件是k=1或k=±2 [答疑编号: 针对该题提问] 证因为 (第一行的数乘与(-1)加到第二行上去) 所以,D=0的充要条件是k=1或k=±2。 此题中,为了叙述方便,我们引入了新的记号,将每一步的行变换写在等号上面(若有列变换则写在 等号下面,本题没有列变换),即第一步中的②+(-1)×①表示将第一行的-1倍加到第二行上,第二步是第一列展开。 根据行列式的展开定理与行列式的性质,我们有下面的定理: 定理1.3.1n阶行列式的任意一行(列)各元素与另一行(列)对应元素的代数 余子式的乘积之和等于零,即 ,() ,() 行列式的计算 行列式的计算主要采用以下两种基本方法。 (1)利用行列式的性质,把原行列式化为容易求值的行列式,常用的方法是把原行列式化为上三角(或 下三角)行列式再求值。 此时要注意的是,在互换两行或两列时,必须在新的行列式的前面乘上(-1),在 按行或按列提取公因子k时,必须在新的行列式前面乘上k。 (2)把原行列式按选定的某一行或某一列展开,把行列式的阶数降低,再求出它的值,通常是利用性 质6在某一行或某一列中产生很多个“0元”素,再按包含0最多的行或列展开。 例6计算行列式 [答疑编号: 针对该题提问] 解由于上三角行列式的值等于其主对角线上元素的乘积,所以我们只要设法利用行列式的性质将行列式化为上三角行列式,即可求出行列式的值。 我们在计算例6中的行列式时,是利用行列式的性质先将它化成上三角行列式后,再求出它的值,事 实上在计算行列式的值时,未必都要化成上三角或下三角行列式,若将行列式的性质与展开定理结合起来 使用,往往可以更快地求出结果。 例7计算行列式: [答疑编号: 针对该题提问] 解观察到行列式的第一行第一列位置的元素a11=1,利用这个(1,1)位置的元素1把行列式中第一列的其他元素全都化为0,然后按第一列展开,可将这个四阶行列式降为三阶行列式来计算,具体步骤如 下: 按第一列展开,得 =(-1)×2× 例8计算行列式(把最简单的调到第一列或是第一旬) [答疑编号: 针对该题提问] 在本例中,记号①②写在等号下面,表示交换行列式的第一列和第二列,②+5×①写在等号下面, 表示将行列式的第一列乘以5后加到第二列。 例9计算行列式: (例子很特殊) [答疑编号: 针对该题提问] 解这个行列式有特殊的形状,其特点是它的每一行元素之和为6,我们可以采用简易方法求其值, 先把后三列都加到第一列上去,提出第一列的公因数6,再将后三行都减去第一行: (32) 例10计算行列式: a2-b2=(a+b)(a-b) [答疑编号: 针对该题提问] 例11计算n阶行列式(n>1): [答疑编号: 针对该题提问] 解将行列式按第一列展开,得 (简化的过程就是消阶,次方也应减少,为(N-1)等 例12计算范德蒙德(VanderMonde)行列式: [答疑编号: 针对该题提问](第一行乘(-X1)加到第二行上;第二行乘(-X1)加到第三行上) 例13计算 [答疑编号: 针对该题提问] (这是个定律) 例14计算(解题规律: 每行或是每列中的和是一样的,故每行或是每 列都乘“1”加到第一行或是第一列上去,再把这个数当公因数提取,形成有一行或是列全为“1”的行列 式,然后再化简) [答疑编号: 针对该题提问] =(x+4a)(x-a)4 克拉默法则 由定理和定理合并有 或 (一)二元一次方程组(方程1、2左右同乘以一个数,上下对减) 由a22*①-a12*②得 由a11②-a21①得 令=D=D1=D2 则有A是常数项 ∴当D≠0时,二元一次方程组有唯一解 (二)三元一次方程组 令叫系数行列式 ,, 由D中的A11①+A21②+A31③得 即 由D中的A12①+A22②+A32③得 即 由D中的A13①+A23②+A33③得 即 ∴当D≠0时,三元一次方程组有唯一解 一般地,有下面结果 定理(克拉默法则)在n个方程的n元 一次方程组 (1)中, 若它的系数行列式 ≠0则n元一次 方程组有唯一解。 推论: 在n个方程的n元一次齐次方程组 (2)中 (1)若系数行列式D≠0, 方程组只有零解 (2)若 系数行列式D=0则方程组 (2)除有零解外,还有非零解(不证) 例在三元一次齐次方程组 中,a为何值时只有零解,a为何值时有非0解。 [答疑编号: 针对该题提问] 解: =2a-6+3-4-(-9)-a=a+2 ∴ (1)a≠-2时,D≠0,只有零解 (2)a=-2时,D=0,有非零解。 本章考核内容小结 (一)知道一阶,二阶,三阶,n阶行列式的定义 知道余子式,代数余子式的定义 (二)知道行列式按一行(列)的展开公式 (三)熟记行列式的性质,会用展开公式或将行列式化为三角形的方法计算行列式重点是三阶行列式的计算和各行(列)元素之和相同的行列式的计算 (四)知道克拉默法则的条件和结论 第二章矩阵 矩是性代数学的一个重要的基本概念和数学工具,是研究和求解性方程的一个十分有效的工具;矩在数学与其他自然科学、工程技中,以及研究和工作中理性模型,也都是一个十分重要的工具。 本章矩的加、减法,数乘,乘法,矩的置运算,矩的求逆,矩的初等,矩的秩和矩的分运算等。 最后初步矩与性方程的。 矩的概念 定由m×n个数aij(i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n)排成一个m行n列的数表 用大小括号表示 称一个m行n列矩。 矩的含是,m×n个数排成一个矩形列。 其中aij称矩的第i行第 j列元素( i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n),而i称行, j称列。 第i行与第 j列的叉位置( i, j)。 通常用大写字母 A,B,C等表示矩。 有了明矩的行数 m和列数 n,也可 A=(aij)m×n或(aij)m×n或Am×n 当m=n,称A=(aij)n×nn矩,或者称n方。 n方是由n2个数排成一个正方形表,它不是一个数(行列式是一个数),它与n行列式是两个完全不同的概念。 只有一方才是一个数。 一 个n方A中从左上角到右下角的条角称 A的主角。 n方的主角上的元素 a11, a22,⋯,ann,称此方的角元。 在本程中,于不是方的矩,我不定角元。 元素全零的矩称零矩。 用 Om×n或者O(大写字)表示。 特,当m=1,称α=(a1,a2,⋯,an)n行向量。 它是1×n矩。 当n=1,称m列向量。 它是m×1矩。 向量是特殊的矩,而且它是非常重要的特殊矩。 例如,(a,b,c)是3行向量,是3列向量。 几种常用的特殊矩: 角矩 形如 或写 (那不是 A,念“尖”) 的矩,称角矩, 角矩必是方。 例如,是一个三角矩,也可写。 2.数量矩 当角矩的主角上的元素都相同,称它数量矩。 n数量矩有如下形式: 或。 (了角的就是N矩,没就不知是多少的) 特,当a=1,称它n位矩。 n位矩En或In,即 或 在不会引起混淆,也可以用E或I表示位矩。 n数量矩常用aEn或aIn表示。 其含中的数乘矩运算。 上三角矩与n下三角矩 形如 的矩分称上三角矩和下三角矩。 角矩必是方。 一个方是角矩当且当它既是上三角矩,又是下三角矩。 4.零矩 (可以是方也可以不是方) 矩运算 本介矩的加法、减法、数乘、乘法和置等基本运算。 只有在矩定了一些有理意和意的运算后,才能使它成行理研究和解决的有力工具。 矩的相等(同) 定 A=(a ) ,B=(b ) ,若m=k,n=l且a ij=bij ,i=1,2,⋯,m;j=1, ij m×n ij k×l 2,⋯,n,称矩A与矩B相等,A=B。 由矩相等的定可知,两个矩相等指的是, 它的行数相同,列数也相同,而且两个矩中于 相同位置(i,j)上的一数都必相等 。 特, A=(aij)m×n ij =O a=0,i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n。 注意 行列式相等与矩相等有本区 ,例如 因两个矩中(1,2)位置上的元素分0和2。 但是却有行列式等式 (因行列式是数,矩是表,表要求表里的每一个都一) 矩阵的加、减法 定义 设A=(a)和B=(b),是两个ijm×nijm×n m×n矩阵。 由A与B的对应元素相加所得到的一个 m×n 矩阵,称为 A与 B的和,记为 A+B,即 A+B=(aij+bij)m×n。 即若 则 当两个矩阵A与B的行数与列数分别相等时,称它们是同型矩阵。 只有当两个矩阵是同型矩阵时,它们才可相加。 例如 注意: (1)矩阵的加法与行列式的加法有重大区别例如 (阶数相同,所有的行(列)中除某一行(列)不相 同外,其余的行都一样才可以相加,方法是除了这两个不同的行(列)相加外,其它的不变。 ) (2)阶数大于1的方阵与数不能相加。 (阶数大于1它就是一个表,不是一个数了) 若A=(aij)为n阶方阵,n>1,a为一个数,则A+a无意义! 但是n阶方阵A=(aij)m×n与数量矩阵aEn可以相加: (把数转化为数量矩阵aEn就可以想加了) 由定义知矩阵的加法满足下列运算律: 设A,B,C都是m×n矩阵,O是m×n零矩阵,则 (1)交换律A+B=B+A(.乘法没有交换律) (2)结合律(
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