完整版凸函数及其应用毕业设计.docx

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完整版凸函数及其应用毕业设计

本科生毕业论文

凸函数及其应用

姓名：

余浪彪

院系：

数学科学学院

年级专业：

10级数学与应用数学

指导教师：

赵秀（副教授）

2014年4月

诚信承诺书

本人郑重声明：

所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究所取得的成果。

除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。

对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。

本人完全意识到本声明的法律责任由本人承担。

作者签名：

日期：

关于学位论文使用授权的声明

本人完全了解兴义民族师范学院有关保留、使用学位论文的规定，同意学院保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权兴义民族师范学院可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文和汇编本学位论文。

（保密论文在解密后应遵守此规定）

作者签名：

导师签名：

日期：

目录

摘要I

AbstractII

第一章绪论1

1.1凸函数的产生1

1.2凸函数的发展1

第二章凸函数的定义及判定2

2.1凸函数的国际定义2

2.2凸函数的几何意义2

2.3凸函数的判定3

第三章凸函数的定义及性质的应用4

3.1凸函数定义的应用4

3.2凸函数的性质6

3.3凸函数性质的应用7

第四章结论8

参考文献9

致谢10

附录11

摘要

凸函数是一种具有特殊性质的函数，在函数的研究领域中占有十分重要的地位.到目前为止，凸函数的研究已经从定义的研究到凸性的研究，再到凸性应用的方面的研究.对函数凹凸性的研究，在数学分析的多个分支都有用处.特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面，凸函数起着十分重要的作用.凸函数有其独特的良好性质，由于凸函数理论的广泛性，及其在数学各个领域都有广泛的应用.因此，对凸函数的理论进一步深入地研究和推广，就显得尤为重要.

凸函数作为数学分析中一类特殊的函数，在实际课本中一般只介绍其定义以及判定，然而它在证明不等式中具有得天独厚的功用，却极少涉及.所以，探讨一些凸函数性质，并且利用这些性质证明一些初等数学无法证明的不等式，用以说明凸函数在不等式中的应用，是十分重要的.而且凸函数与一搬函数之间已有着千丝万缕的联系，利用其解决一般函数的相关问题也有着事半功倍的效果.

关键词：

凸函数性质不等式应用

Abstract

Theconvexfunctionisaspecialkindoffunction,occupiesaveryimportantpositionintheresearchfieldoffunction.Sofar,researchofconvexfunctionfromtotheconvexityofthestudydefinition,researchandthentoconvexapplications.Researchontheconcavityandconvexityoffunctions,areusefulinabranchofmathematicalanalysis.Especiallyinthederivedfunctionofgraphicdescriptionsandinequality,convexfunctionplaysaveryimportantrole.Ithasgoodpropertiesofconvexfunctionisunique,becauseoftheextensivetheoryofconvexfunctioninmathematics,andtheyarewidelyusedinallfields.Therefore,thetheoryofconvexfunctionfurtherdeepresearchandpromotion,isparticularlyimportant.

Convexfunctionisakindofspecialfunctioninmathematicalanalysis,intheactualtextgenerallyintroducesitsdefinitionandjudgment,howeverithasberichlyendowedbynaturefunctioninprovinginequalities,butrarelyinvolved.Therefore,summarizessomeofthepropertiesofconvexfunction,inequalityandusethesepropertiestoprovesomeelementarymathematicscannotprove,inordertoexplainapplicationofconvexfunctionininequality,isveryimportant.Andtheconvexfunctionwithamovefunctionbetweenalreadyhaveallkindsofconnectionswithcontact,usetherelevantproblemsofgeneralfunctionalsohasamultipliereffect.

Keywords:

ConvexfunctionPropertyInequalityApplication

第一章绪论

1.1凸函数的产生

凸函数是一类重要的函数，它的概念源于Jensen著述[1905]中，在Jensen著述中是这样介绍凸函数的：

若函数满足定义域上任意两个数都有，则称为凸函数.凸函数的产生不仅给人们带来

了一种新的研究函数的工具,也为函数这个“大家族”增枝散叶，随着凸函数的出现人们对函数这个概念又多了一丝陌生感，也引起人们“认识”它的欲望.在Jensen定义凸函数后，有不少的数学家对凸函数进行了研究，其中就有闵科夫斯基和杜克等人.

1.2凸函数的发展

凸函数的研究起源于丹麦数学家约翰.詹森（Jensen）和爱因斯坦在瑞士的数学老师闵科夫斯基对凸函数的研究，但那是人们对凸函数并不看好，真正引起人们广泛重视的是40-50年代冯.诺伊曼和杜克等人对策论和数学规划的研究，由于这方面的需要，从50年代初到六十年代末人们对凸函数进行了大量的研究.60年代中期产生了凸分析.从此以后，关于凸函数的研究大多数都是围绕凸分析所展开的.我国的数学爱好者对凸函数的研究也有涉及，其中的代表人物有张晓明、刘光中和胡克等人，他们的研究成果多数是以教材的形式所展示，而且对凸函数的定义也不尽相同.譬如，同济大学高等代数教材对凸函数所下定义与国际相反，国际定义的凸函数是指上方图是凸集，而同济大学高等代数数学教材则是指其下方图是凸集，两者定义刚好相反.由于人的求知欲是无限的和科技的不断发展，人们对凸函数的研究还会更上一层楼.

第二章凸函数的定义及判定

2.1凸函数的国际定义

由于目前对凸函数的理论研究是十分丰富的，而且对凸函数所给的定义也不尽相同，但人们常用凸函数的国际定义作为研究对象，本文也将采用凸函数国际定义.

定义2.1设函数在区间上有定义，若对任意的及对任意的总有：

，则称函数为区间上的凸函数（convexfunction）.

2.2凸函数的几何意义

设为区间上的凸函数且图像如图2—1所示，若当

，则弦AB的方程为：

.若存在参数,则有，故弦AB的方程可改写为：

，由于函数为凸函数，则：

.即连接凸函数图像上的任意两点的弦总位于对应图像的上方（如图2--2）.

2.3凸函数的判定

对任意的

有

，若是凸函数，则有：

…...①

将带入①式且经整理可得：

，即

若

即

……..②

将带入②式且经整理可得：

经移项整理得：

……..③

又将带入③式且经整理可得：

……..④，由④式可得函数为所给区间的凸函数，由此可得：

定理2.1函数为所给区间I上凸函数的充要条件为：

对任意的

.同理可得：

定理2.2函数为所给区间I上凸函数的充要条件为：

对任意的

定理2.2证明过程与定理2.1的推理过程大同小异，故在此不再证明.

第三章凸函数的定义及性质的应用

3.1凸函数定义的应用

不等式是数学学科中一个重要的组成部分，不等式最关键的就是对它的证明，而有些不等式用常规的不等式的证明方法就显得十分麻烦和困难，如借助凸函数的定义去证明就十分便捷，如下几例.

例3.1设

.

例3.2（均值不等式）

由上可以看出，凸函数的定义在解决不等式（无论是困难的，还是简单的）的证明方面都有着独特的作用.

3.2凸函数的性质

无论是国外还是国内的数学爱好者都对凸函数进行了大量的研究，也发现凸函数的许多性质，本文着重介绍凸函数的以下四条性质：

性质1（有界性）若为上的凸函数，则在上有界.

性质2（连续性）若为区间上的凸函数，则在任意点处连续.

性质3（可导性）若为区间上的凸函数，则（反之也成立）.

性质4（单调性）若为区间上的凸函数，则

本文只证明性质1，其它的性质都具有相通之处，便不再累述.

证明性质1：

3.3凸函数性质的应用

上节介绍了凸函数的四条基本性质，本节就以上的性质，作出实例，以充实理论.

第四章结论

凸函数是一种具有特殊性质的辅助函数，它在函数图像、函数最值及不等式系统中都起着十分重要的作用.如今随着科技的发展和网络的普及，人们对凸函数的认识越来越系统，研究也越来越全面,特别是凸函数的应用方面，许多数学爱好者都对其进行了大量的研究，他们的研究成果都为我们更好的认识凸函数作出了巨大贡献.

本文是对前人的研究进行归纳和总结，当然也有自己的一些观点，在本次课题研究中，我发现：

凸函数的定义及性质是研究凸函数的基石，无论我们是研究凸函数的浅显概念还是其广泛的应用都应从其定义及性质着手，凸函数的性质极多在研究其应用时我们应做到“对症下药”，不能盲目地使用其性质，盲目地使用其性质只会让我们走进误区，更有甚者走进死胡同，只有正确地使用凸函数的性质才能使我们的研究事半功倍.

参考文献

[2]刘三阳,于力,李广民.数学分析选讲[M].北京：

科学出版社，2007.77-89.

[3]熊鹏飞.凸函数的性质和应用[J].黑龙江科技信息，2011,（21）:

180.

[4]刘小宁.关于凸函数的有趣不等式[J].黄冈职业技术学院院报，2013,

（1）:

99-100.

[6]刘象华.凸函数的应用[J].云南民族大学学报，1991,（4）：

71-84.

[7]时贞军.凸函数的若干性质及应用[J].应用数学，2004,（51）：

1-4.

[8]杨再鹏.凸函数在不等式中的应用[J].成功（教育版），2009,（7）：

173.

[9]刘佩.凸函数性质举例[J].考试（高考教育版），2012,（8）：

50-51.

[10]罗超群.凸函数在分析中的应用初探[J].科教文汇（下旬刊），2010,（9）：

92-93.

[11]郭志荣.利用凸函数的性质巧证积分不等式[J].数学学习与研究，2011,（7）：

56.

[12]王强芳，魏元金.函数凹凸性在解题中的应用[J].上海中学数学，2007，（11）：

31-32.

[13]杨再鹏.凸函数在不等式中的应用[J].长江教育，2009,（7）：

173.

[14]张小明.几何凸函数[Ｍ]．安徽大学出版社，2004.06.11-14.

[16]（德）洛克菲拉.凸分析（英文版）[M].世界图书北京出版公司，2011.01.10-50.

致谢

此次论文到此就接近尾声了，在此我要感谢我的论文指导老师赵秀老师，在她不辞辛劳的指导下，本论文才得以完美收笔.同时我也感谢在论文创作中帮过我的朋友及老师,正因为他们的帮助，我在书写论文时才显得游刃有余.最后，我还要特别感谢我所参考的文献作者，可以这么说，我是站在他们的肩膀上才摘得了成熟的果实,如没有他们的研究，我可能很难发现前进的灯塔,更不可能自由航行.由于自身才疏学浅及书写经验不足，文中必有不足，还望各位高手不吝赐教！

附录

1.闵可夫斯基（Minkowski，1864－1909）:

德国数学家，出生于俄国的一个商人家庭，他的主要成就是在数论、代数和数学物理上.在数论上，他对二次型进行了重要的研究,在1881年法国大奖中，Minkowski深入钻研了高斯（Gauss）、狄利克雷（Dirichlet）等人的论著.因为Gauss曾在研究把一个整数分解为三个平方数之和时用了二元二次型的性质，Minkowski由前人的工作中认识到把一个整数分解为五个平方数之和的方法与四元二次型有关.由此，他深入研究了n元二次型，建立了完整的理论体系.

约翰·詹森（1859—1925）：

丹麦数学家和工程师,约翰·詹森最知名的是他的詹生不等式，1915年詹森也证明了存在无穷多个非正则素数.

2.