数学奥林匹克高中训练题125汇总.docx
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数学奥林匹克高中训练题125汇总
2010年第1期
41
熬孥象游蜃窘鑫吩锄锨迢(125)
中图分类号:
e424.79
文献标识码:
A
文章编号:
1005-6416(2010)01—0041—06
第一试
一、填空题(每小题7分,共56分)1.设点D在△ABC的外部,且
———}———'——+
DA一2D曰一3DC=0.
则S脚c:
S△伽c=——.
2.十张卡片显示数字9
072543
681(如
图1).将相邻两张卡片的位置互换一次称为一次操作(如第一次操作后数字从原始的
9072543
681变成9
027543
681).则将原
始数字换成一个可被99整除的数至少需要
次操作.
.
团回团曰日曰曰曰困田
图l
3.已知两个非零复数戈、Y的立方和为
剐u(刍)一+(南)一的锄一.
4.如图2,在长方体
ABCD—AlB1Cl
Dl中,二
面角A—BD。
一Ai的度数为
A
n,AB:
BC:
CCl=1:
1:
2.
则tan
ot=——.
5.数字钟分别用两A
个数字显示小时、分、秒
B图2
(如10:
03:
18).在同一天的05:
00:
00~
23:
00:
00(按小时计算)之间,钟面上的六个
数字都不相同的概率是
.
6.数列{口。
}满足o。
=÷,及对于自然数
n,口川=口2。
+%则蚤ib的整数部分是
7.已知四次多项式f(x)的四个实根构
成公差为2的等差数列.则,’x)的所有根中
最大根与最小根之差是——.
8・如图3,已知M、A
D
Ⅳ分别是单位正方形ABCD的边BC、CD上的
点,么MAN=450,BE_LAN千点E。
DFLAM于点F,BG上A膨于点G,DH-LAN于点鼠则四边形EFGH的面积为
B
MC
圉3
二、解答题(共44分)
9.(14分)在平面直角坐标系xOy中,横、纵坐标均为整数的点称为整点.已知
o(o,o)、A(2,1),M是椭圆南+等=1内
的整点.若S△删=3,求符合条件的整点M
的个数.
10.(15分)已知a、b、c是△ABC的三边
长,且满足
∑丢√古+÷≥寻√Ⅱ(丢+古),
其中,“∑…‘Ⅱ”分别表示循环和、循环积
试判定△ABC的形状.
11.(15分)设a0,口l'.”,an均为实数,A是关
于聋的实系数方程∑q戈‘=0的复数根,且
IAf≥口。
≥…≥口l≥口0I>1.求证:
A”1=1.
加试
一、(50分)已知黝、船是00的切线,
A、B为切点,C是劣弧AB上一点,AC>BC,
万方数据
42
中等数学
PC的延长线分别交AB、00于点Q、D,E是AB的中点,c,平分么ACB交AB于点,.求
证:
,是△CDE的内心..
二、(50分)四位数m和凡互为反序的正整数,且m+,l=18k+9(k∈N.),m、ll,分
别有16个、12个正因数(包括l和本身),
n的质因数也是m的质因数,但n的质因数比m的质因数少1个.求m的所有可能值.
三、(50分)求所有的函数^R+_+R+,使得对于所有的正数x,y,恒有
夥(厂(菇)+以y))三(菇+y)/(“茗),,).①
四、(50分)是否存在4098个集合Bi={口fl,口i2,…,af。
}(i=1,2,…,4098,aiJ∈Aj={可一2,巧一1,巧},J=1,2,…,12)满足下列三个条件:
(1)尻nB川=f2j(i=1,2,…,4098,约定84嘲=B1);
(2)当i≠歹时,B;≠召j;(3)当2≤li-j
J≤4
096时,最n毋≠a?
参考答案
第一试
i、1.4。
如图4,设D、E分
别是边AB、BC的中点,联结CD.则
葫+葫:
2一OD’,①
蔬+砣:
2蔬.②
①一②×3得
——+———}——斗
0=伽一2凹一3Dc
:
2砀一6蔬.
A
天∑
?
\|../1
图4
则面:
3一OE.
因此,-O-B与蔬共线,且I面|-3I蔬f.于是,I朋I=2lD应1.
.——_'————’
故穗=手幺注=2石S,垒aco=4.
2.2.
注意到99=9×11.于是,原始数字不管经过几次操作均能被9整除.
又(9+7+5+3+8)一(0+2+4+6+1)=19,(19—11)÷2=4,
因为4=(7—2)+(3—4),所以,7与2、3与4交换后,所得数字能被11整除.
3.2—1999或一1.
设菇=wy.则W3+1=0.
解得加=一1或W2一W+1=0.当彬=一1时,
原式=(南)2000+(击)2000
=2—2㈣+2—2咖=2—1
999.
当彬2一W+1=0时,
’原式=(i一2埘,.2000+(w=W--w)2。
∞
=(等)一+(三)一爿咖搿咖
=(加3)1333埘+w3)666w2
=(一1)1333w+(一1)酗aw2=一船+扩=一1.
4.2厢.
点F,联结AE.
A
B由对称性可知
图5
AE上BDl,AE=EC.
所以,么AEF是二面角A—BDl—A,的平面角,即a=么AEF.
设AB=口.则BC=a,CCl=2a.于是,ADl=438,AC=在8,BDl=49a.毛E
Rt
A脚。
¨层=筹=每.
在△ACE中,由余弦定理得
cos么栅=气警
2A萨一Ac2
l
I一——————=-一=一一2AF25
一够
A
.1
q面g曰
射球眠熵∞"
壤毗∥醮傩交5乱D埋C曩
又,山哪.图n
A
H点泉姗鲰舭~舭礁\
D
h
田\舳
生肛
万方数据
2010年第1期
43
故COSa=COS么AEF
=00s(1S0叱么AEC)=一咖么AEC=专
号。
in
a:
万i而:
学
j切n仅:
丝业:
2后.丘旦
。
’540。
为了满足题中的条件,设钟面显示应为hih2:
mlm2:
sls2(m1.<6,sl<6,hI≠^2).
当hl<6,h2<6时,ml和s1应在小于7中的另外四个数中选择.因而,m。
有四种选择方式,s。
有三种选择方式.
由于已选择了四个数字,m:
和s:
就只能从剩余的六个数字中选择,它们分别有六种、五种的选择方式.
在05:
00:
00—23:
00:
00之间,这种情形共有时间总数是7×4×3×6
X5=2520.
当h。
、h2中只有一个小于6时,类似可求在05:
00:
00~23:
00:
00之间,这种情形共有时间总数是8×5
x4x6X5=4800.
因此,钟面上的六个数字都不相同的次数是2
520+4800=7
320,概率为
2兰至Q一旦
18×3600—540’6.3.
注意到
l
l
l
l
___I_…==一
口。
+l
a。
(口。
+1)
口。
口。
+1
考j一:
土一上.口n+1
n“口n+1
.
则羹者=去一赤一忐.
因为口:
。
,:
>1,所以,所求整数部分为3.
7.2店.
设四次多项式f(戈)的四个实根分别为a、o+2、a+4、a+6.贝8
f(x)=.i}(茗一口)(石一口-2)(髫一口-4)(髫一口一6)
(k≠0).
令t=z—a一3.于是,
八戈)=k(t+3)(t+1)(t一1)(t-3)
=七(,一10t2+9)=g(t).
则g7(t)=k(4t3—20t)=4kt(t2—5).
因而,g’(£)的三个根为一√亨、0、万.
于是,/’(茗)的三个根为
D+3一,8-、口+3、口+3+√歹.
故(口+3+√歹)一(a+3一√互)=2√亨.
8.÷.
设么MAB=q,么MAN=卢=45。
,么NAD
=7.则
s出EF=扣E・AFsin口
=争瓤n
7・AD8infit'Sinp
=丢sina.8inp.8in≯
同理,s出甜=虿1
c∞a・sin
p・cos
y.
故S四边形E删=S△^铘一SZuEF
=÷sin卢(c。
s
a.cos
y“na.sin
y)
=÷8in卢・c∞(a+7)=专血45。
・cos45。
一上
一4‘
二、9.联结似.易知椭圆内整点在菇轴
上有两个肘。
(-6,0)、M2(6,0)满足题意.
分别过点M。
、鸩作平行于直线伽的两
条直线Z。
、Z:
.
根据三角形等底同高面积相等可知,符合条件的整点膨均在直线Z。
、Z:
上.易知
.
1—0
l后OA
22—-—0
2—2—‘
故直线Z。
、Z:
的解析式分别为
,,=丢(茹+6),Y=÷(菇一6).
万方数据
中等数学
已知M是椭圆丽2+等=1内的整点,有
面X2+等2<1.
分别解
上+8笠-<120
8
,
,,,=号(髫_6),
得一10<菇<一面10,西10<菇<10.
由M是整点,且在直线1,、12上,知戈为偶数.
所以,在一10<石<一西10及西10<茗<10
中,名分别有4个偶数.
故符合条件的整点的个数为8.
10.设d=a+b,e=b+c,/=c+a.贝q以
d、已、f为边长可构成一个△DEF.于是,
.
D
吼n虿2百=i吾历
f一=
√
2
一
腿si鹰=后磊磊
.
F
鲫n丁2厂——磊—一
√瓦i叹i可在△DEF中,恒有
sin譬+sin导+sin虿F≤虿3,
sln虿+sln虿+sm虿≤虿,
①
当且仅当么D=/E=≠F=詈时,式①等
号成立.
故∑
≤吾.
上式两边同乘以∑丢“_万得
∑÷仁巧≤甜记巧.②
由式②及题设不等式得∑÷腮=钏记巧
此即为式①中等号成立.
所以,么D=么E=么,=要
=祀=e沪口+6=6+c=c+口
j口=6=cj△ABC为等边三角形-
11.因颓是方程∑ai算i=0的根,所以,
I=U
∑哦膏=oj(A—1)∑哦膏=0
I=U
‘00
毒%r”=∑(哦一q—1)f+ao,
①
‘=1
其中,ai—a¨(i=1,2,…,rt)为非负数
又…>11
考…“≥121‘I>1(i=1,2,…,n)
考k∥1l≤∑(口i一吼一1)…+口o
l=l
≤∑(口f一口㈠)…8+口。
1218≤口。
…“
‘=I
jlAI≤1jIAI=1j口n=a^一l=…=at={z0
21.
由式①得r“=1.
加试
一、如图6,过点B作BF-LAC于点
F,联结OB、OC、OD、OP、EF、AD、BD.则
PE
LAB.
A
由切割线定理
及射影定理得
尸
PC・PD=PBz
图6
=PE・Po.
所以,C、D、0、E四点共圆.
故么C肿=么ODC=么DCD=/O肋.
从而,么CEQ=么OEQ,即EQ平分
1
6
<十
o+
1—2
:
斋垆
万方数据
2010年第1期
45
么CED.
因为即=÷仰=AE=朋,所以,
么CFE=么FAB=么PBC.’又么BCF=么ADB=么ABP,则
Rt/\BCFcoRt△脚毒篙=篙=篙.
故△CEF∽△CPBj/ECF=么PCB.
从而,么ACE=/BCD.
因为么ACI=么BCI,所以,么ECI=么OCl,即口是么ECD的平分线.
因此。
,是ixCDE的内心.
二、设m=abcd,ad≠O.则凡=dcba.由tlq,+凡=9(2k+1),贝09l(,n+n).故9I[(1000a+lOOb+lOc+d)+
(1000d+lOOc+10b+口)],
9
12(a+b+c+d),9l(8+6+c+d).
于是,9lm,9h
由m+n为奇数,知m与乃一奇一偶.若,l为偶数,即2f尼,则2m,m为偶数.矛盾.
因此,m为偶数,死为奇数.
记m分解质因数后,3的个数为a,,2的个数为a2.贝9
dl
I>2,仅2>t1.
由因数个数定理得[(仪1+1)(a2+1)]I16.于是,(al+1)18,al+1>13。
所以,al+l=4或8,a1=3或7.故m至多有三个质因数.
于是,n至多含有两个质因数,3是n的一个质因数.
若凡只有一个质因数,则这个质因数为3.从而,,l=311>10000,与,l是四位数相
矛盾.
因此,凡含有两个质因数.设n的另一个质因数为P.因为9In,所以,
几=32P3或33p2或35p(p>3).
故,扎=2口23。
1P叼(al、a2、a3∈N+).又(a2+1)(aI+1)(a3+1)=16,贝Ⅱ
al=3,a2
2
a3=1,即In,=54t,.
由m≥l000,知P≥19.此时,32p3的值大于9999.当P=19时,33p2=9
747。
而/71,=54p=1026不互为反序数,于是,pi>23.此时,33p2>9
999.
.因此,凡=35p.于是,
詈=等瑚一2扎,
9(1ooO口+lOOb+lOc+d)=2(1000d+100c+10b+口),
818a+80b=181d+lOc.
①
818a≤181X9+10X9=1719<3X818.
故口<3.
因为孢为奇数,所以,a为奇数.故8=1.
由式①得
d=婴酱尊≥掣=4击.
d5——百广≥—1盯一私面’因为m为偶数,所以,d为偶数.于是,d=6或8.
当d=6时,由式①得
880b—llOc=2948.
因为5l(80b一10c),所以,d=8.
得8b—c=63,8b=63+ci>63,6I>7÷.
于是,b=8或9.当6=8时,c=l;当b=9时,c=9.于是,m=1818或1998.
因为27Im,所以,m≠1
818.
又m=1
998=2×33
X
37.拜=8991=
35×37符合题意.
因此,m=1
998.
三、将菇=y=t代人式①得
2t2f(t)=20coc(t)t),
即认t)=八tf(t))(Vt∈R+).②
若存在石。
≠搿:
,使得八筇。
)=八名:
),则将
万方数据
中等数学茗'--Xl,Y=菇2代人式①得(曰。
,1),(B。
,2),(B2,1),(曰,,2),…,(曰。
,2)就是一个(s+1,2t)集合圈(这里第二个分量交替取1,2);(ii)当t为偶数时,(B。
,3),(B:
,1),(B3,2),(B。
,1),(B5,2),…,(曰I一2,1),(B^一l,2),毛恐以毛)坝恐))=(茗。
+x2)f(f(x,)吻).2xl石√一(菇2)=(髫l+菇2蝴鼻2)菇2),即由以石。
)钒菇:
)及式②得2xl髫2,I髫2)=(石l+茗2)茗√一(茹2).又戈2>0,八茹2)>0,贝q2x1=茗l+茗2,即髫l"-X2,这与xi≠z2相矛盾.故对任意的菇。
≠菇:
有八髫。
)≠以算:
).(晚,3),(日¨,1),(BI一2,2),…,③(B5,1),(日。
,2),(B,,1),(B:
,2)是一个(s+l,2k一2)集合圈,其中,_i}表示不将t=1代人式②得八1)=尺八1)).由式③得八1)=1.将z=I代入式①得,,(1+以,,))=(1+,,九尺y).所以,尺,,)=弘大于t的偶数,并且除了B。
、玩对应的第二1L分量取值为3外,其余所对应的第二个分量都交替地取1,2.显然,有(1,3)集合圈.根据上面构造新集合圈的方法,可依次得到集合圈:
(2,6),(3,10),(4,18),(5,34),(6,66),(7,130),(8,258),(9,514),(10,1026),(11,2050),(12,4098).故存在12个集合A。
,A:
,…,A.2和4个集合日。
,B:
,…,B。
嗍构成的集合圈.(谢文晓湖北省黄冈中学,438000)098经检验,八茗)=菇满足题目要求.四、用(s,t)表示有s个集合A。
,A:
,…,A,和t个集合B,,B:
,…,曰;符合题设条件的一个集合圈,用(曰;,p)表示Bi的所有元素与A…中的第P个元素组成的一个集合.若曰,,B:
,…,曰,满足题设条件,则(i)当t为奇数时,(B。
,1),(启2,2),(B3,1),(B。
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