小学数学《奇偶分析法》练习题含答案.docx

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小学数学《奇偶分析法》练习题含答案

小学数学《奇偶分析法》练习题（含答案）

奇数和偶数的概念：

整数可以分成奇数和偶数两大类.

能被2整除的数叫做偶数（双数），不能被2整除的数叫做奇数（单数）.

奇数和偶数的表示方法：

因为偶数是2的倍数，所以通常用2k这个式子来表示偶数（这里k是整数）；

因为任何奇数除以2其余数总是1，所以通常用式子2k+1来表示奇数（这里k是整数）.

特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数.最小的奇数是１，最小的偶数是０．

奇数与偶数的运算性质：

性质1：

偶数±偶数=偶数

　　            奇数±奇数=偶数

　               偶数±奇数=奇数

同性质（指奇偶性）两数加减得偶，不同性质得奇.

性质2：

偶数×奇数=偶数（推广开来我们还可以得到：

偶数个奇数相加得偶数）

偶数×偶数=偶数（推广开就是：

偶数个偶数相加得偶数）

奇数×奇数=奇数（推广开就是：

奇数个奇数相加得奇数）

对于乘法，见偶就得偶.

性质3：

任何一个奇数一定不等于任何一个偶数.

你还记得吗

【复习1】从3开始，依据后一数是前一数加上3，写出2000个数排成一行：

3，6，9，12，15，18，21,……在这行数中第1991个数是奇数还是偶数?

分析：

由于奇数+奇数=偶数，偶数+奇数=奇数.3是奇数，所以，每个数加上3后，奇偶性与原来相反，也就是说，在3，6，9，12，……中，每一个数与前一个数的奇偶性不同.这行数的第一个数是奇数，并且是奇偶相间，由此可知，这行数的奇偶性与其序数的奇偶性相同．所以第1991个数是奇数.由此可以得到以下一条性质：

加上（或减去）一个偶数，奇偶性不变，而加上（或减去）一个奇数，奇偶性改变．

【复习2】7只杯子口均向上，每次操作翻动四只杯子，使其杯口朝向改变，能否经过有限次操作，使7只杯子口均向下?

分析：

我们可以从两个角度来考虑所有杯子被翻动次数的总和：

一是每次操作计4次，，z次操作共计4z次，为一偶数；二是看杯子状态，每只杯子由“口向上”变为“口向下”，需奇数次翻动，7只杯子翻动次数总和必为奇数．这样，奇≠偶，因此结论是不能．

【复习3】某班同学参加学校的数学竞赛，试题共50道，评分标准是：

答对一道给3分，不答给1分，答错倒扣1分.请你说明：

该班同学的得分总和一定是偶数.

分析：

对于一名参赛同学来说，如果他全部答对，他的成绩将是3×50=150，是偶数；有一道题未答，则他将丢2分，也是偶数；答错一道题，则他将丢4分，还是偶数；所以不论这位同学答的情况如何，他的成绩将是150减一个偶数，还将是偶数.所以，全班同学得分总和一定是偶数.

【复习4】在一张9行9列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起来，填在这个方格中，例如a=5+3=8，问：

填入的81个数中，奇数多还是偶数多?

多多少？

分析：

每两个相邻的方格，所填的数一奇一偶，将第一行的每个方格与它下面的相邻方格配对，可见第一、二行中奇数与偶数正好一样多.

同理，前八行中奇数与偶数一样多.第九行的前八个方格也可两两配对，每对相邻的方格中的数一奇一偶，所以这八格中的奇数偶数也一样多.最后，第九行，第九列有一个方格填18（=9+9），所以81个数中，偶数恰好比奇数多1个.

例题精讲

【例1】师傅与徒弟加工同一种零件，各人把产品放在自己的箩筐里，师傅的产量是徒弟的2倍，师傅的产品放在4只箩筐中，徒弟的产品放在2只箩筐中，每只箩筐都标明了产品的只数：

78只，94只，86只，87只，82只，80只．根据上面的条件，你能找出哪两只筐的产品是徒弟制造的吗?

分析：

注意到6个标数只有一个为奇数，它肯定是徒弟制造的．原因很简单：

师傅的产量是徒弟的2倍，一定是偶数，它是4只箩筐中产品数的和，在题目条件下只能为四个偶数的和．徒弟的另一筐产嗁就得通过以下计算来确定：

利用求解“和倍问题”的方法，求出徒弟加工零件总数为：

（78+94+86+87+82+80）÷（2+1）=169，那另一筐放有产品169-87=82（只）．所以，标明“82只”和“87只”这两筐中的产品是徒弟制造的．

【前铺】某电影院共有2003个座位．有一天，这家电影院上、下午各演一场电影，看电影的是A、B两所中学的各2003名师生．同一学校的学生有的看上午场，有的看下午场，但每人恰看一场，有人断言：

“这天看电影时，肯定有的座位上、下午坐的是两所不同学校的师生．”你认为这种断言正确吗?

为什么?

分析：

此题读来费神，但仔细一想，道理却很简单．如果每个座位上、下午坐的都是同一所学校的，那么这所学校的人数就等于上午本校看电影人数的2倍，肯定为偶数，这就与人数为奇数2003矛盾．所以题中断言是正确的．

【例2】把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。

是否有可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？

试讲出理由.

分析：

不可能.假设在同一条直线上的红圈数都是奇数，5条直线上的红圈总数就会是奇数（奇数乘以奇数仍是奇数）.因为每个红圈均在两条直线上，所以按各条直线上的红圈数计算和时，每个红圈都被算了两次，所以红圈总数应是偶数.这就出现了矛盾，所以假设在同一条直线上的红圈数都是奇数是不可能的.

【巩固】元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数?

为什么?

分析：

此题初看似乎缺总人数.但解决问题的实质在送贺年卡的张数的奇偶性上，因此与总人数无关.

由于是两人互送贺年卡，给每人分别标记送出贺年卡一次.那么贺年卡的总张数应能被2整除，所以贺年卡的总张数应是偶数.

送贺年卡的人可以分为两种：

一种是送出了偶数张贺年卡的人：

他们送出贺年卡总和为偶数.另一种是送出了奇数张贺年卡的人：

他们送出的贺年卡总数=所有人送出的贺年卡总数一所有送出了偶数张贺年卡的人送出的贺年卡总数=偶数一偶数=偶数.他们的总人数必须是偶数，才使他们送出的贺年卡总数为偶数.所以，送出奇数张贺年卡的人数一定是偶数.

【例3】平面上有11个齿轮咬合成一圈．试问，能否使这些齿轮同时转动起来?

分析：

不能．假设齿轮1顺时针转动，则齿轮2就应当逆时针转动，齿轮3—顺时针转动，齿轮4—逆时针转动……．很清楚，凡“奇数号“齿轮均应顺时针转动，而“偶数“号，齿轮则相反．这样一来，齿轮1和齿轮11均为顺时针转动，这是不可能的．

注：

这道题解答的关键是：

齿轮的转动应当是顺时针与逆时针交替变化,要想同时转动，必须是偶数个齿轮相连．

【例4】如右图所示，如果按照箭头的方向转动摇把，图中所悬吊的物体A会，物体B会．（填“上升”或“下降”）

分析：

传动带交叉奇数次，滑轮转动方向改变．传动带交叉偶数次，滑轮转动方向不变．如图中，传动带交叉6次，则滑轮转动方向不变，故A会上升，B会下降．

【例5】如下图所示的十二张扑克牌，2点、6点、10点各四张．你能从中选出七张牌，使上面点数之和恰等于52吗?

说明理由．

分析：

不能．由于各牌点数都等于2×奇数，即2=2×1，6=2×3，10=2×5．从十二张牌中任取七张牌点数之和，等于2乘以七个奇数之和，这数是一个奇数的两倍．但52=2×26是一个偶数的两倍．因此，无论怎样从十二张牌中选取七张牌，其点数之和都不会等于52．点评由于从所给十二张牌中每个被4除都余2，则任取七张点数之和被4除也都余2，而52被4整除，所以不能相等．

【例6】用1、2、3、4、5这五个数两两相乘.可以得到10个不同的乘积.问乘积中是偶数多还是奇数多?

分析：

如果二个整数乘积是奇数，那么这二个整数都必须是奇数.五个数中有三个奇数，这三个奇数两两相乘，只有3个乘积，也就是说总共只有3个奇数，而偶数的乘积有10-3=7个，因此乘积中偶数比奇数多.

【前铺】100个自然数，它们的和是100000，在这些数里，奇数的个数比偶数的个数多.问：

这些数里至多有多少个偶数?

分析：

因为这100个数的和是偶数，那么奇数的个数必须是偶数.又因为奇数的个数比偶数多，所以奇数的个数至少有52个，偶数至多有48个.比如取52个1，47个2和1个9854，它们的和为10000.

【例7】在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成其它两数之和，这样继续操作下去，最后得到66，88，237．问：

原来写的三个整数能否为1，3，5？

分析：

此题单从具体的数来，无从下手．但抓住其操作过程中奇偶变化规律，问题就变得很简单了．如果原来三个数为1，3，5，为三奇数，无论怎样，操作一次后一定为二奇一偶，再往后操作，可能有以下两种情况：

一是擦去一奇数，剩下一奇一偶，其和为奇，因此换上去的仍为奇数；二是擦去一偶数，剩下两奇，其和为偶，因此，换上去的仍为偶数．总之，无论怎样操作，总是两奇一偶，而66，88，237是两偶一奇，这就发生矛盾．所以，原来写的不可能为1，3，5．

【例8】现有6张桌子排成一排，每张桌上放着一只盘子．现规定每次操作必须将两只盘子由原来桌子移到相邻的桌子上．问：

能否操作有限次后，将所有盘子移到一张桌上去?

说明理由．

分析：

请画图帮助分析.我们将桌子依次编为l号，2号，…，6号．我们来考察盘子所在桌子的号码和．显然，最初的号码和为：

l+2+3+4+5+6=21．而如果能办到，即6只盘子都在n号桌上，号码和为6n．再看每次操作号码和有何变化．每只被移动的盘子的号码要么加l要么减1，两只盘子对号码和的影响是：

要么都加1，即加2；要么一加一减，即不变；要么都减1，即减2．但是不管怎样，都不会改变号码和的奇偶性，而21和6n的奇偶性显然不同．因此要把所有盘子移到一起是不可能的．

【例9】你能不能将自然数1到9分别填入3×3的方格中，使得每个横行中的三个数之和都是偶数?

分析：

显然不能．如果能，我们把三个横行的和相加，其和就是三个偶数之和必为偶数，然而它也恰是九个数之和，即1+2+3+…+9=45，而偶≠奇．

【拓展】能否将1～16褶这16个自然数填入4×4的方格表中（每个小方格只填一个数），使得各行之和及各列之和恰好是8个连续的自然数?

如果能填，请给出一种填法；如果不能填，请说明理由．

分析：

不能．将所有的行和与列和相加，所得之和为4×4的方格表中所有数之和的2倍．即为（1+2+3+…+15+16）×2=16×17．而8个连续的自然数之和设为：

k+（k+1）+（k+2）+（k+3）+（k+4）+（k+5）+（k+6）+（k+7）=8k+28．若4×4的方格表中各行之和及各列之和恰好是8个连续的自然数，应有8k+28=16×17，即2k+7=4×17，显然左端为奇数，右端为偶数，得出矛盾．

【例10】将两个自然数的差乘上它们的积，能否得到数45045?

分析：

不可能．因为45045是奇数，所以它只能表示成3个奇数的连乘积，但是对任何两个奇数x和y（x

【巩固】是否存在自然数a和b，使得ab（a+5b）=15015?

分析：

不存在．因为15015是奇数，所以a、b、a+5b都应为奇数，但是当a和b均为奇数时，a+5b却是偶数．

【例11】下面的四个算式中（如图），每个方框代表一个整数.其中每个算式至少有一个奇数和一个偶数.问：

这12个整数中，共有几个偶数?

口+口=口

口-口=口

口×口=口

口÷口=口

分析：

加法算式，只可能有三种情况.即：

奇+偶=奇，奇+奇=偶，偶+偶=偶，但已知至少有一个奇数，所以第三种情况被排除，因而式中只有一个偶数.同理，第二个算式中也只有一个偶数.

乘法算式，只可能有三种情况，即：

奇×偶=偶，偶×偶=偶，奇×奇=奇；由已知，只留下第一种情况，因而算式中有2个偶数.同理，第四个算式中有2个偶数.因此，4个算式中共有6个偶数.

【例12】甲同学一手握有写着23的纸片，另一只手握有写着32的纸片．乙同学请甲回答如下一个问题：

“请将左手中的数乘以3，右手中的数乘以2，再将这两个积相加，这个和是奇数还是偶数?

”当甲说出和为奇数时，乙马上就猜出写有23的纸片握在甲的左手中．你能说出是什么道理吗?

分析：

甲的两张纸片，23是奇数，32是偶数．因此，只要能判断出甲的左手中握的是奇数，即可知左手握的是23．

设甲左手握的数为a，右手握的数为b，乙同学请甲计算所得结果为f，则3×a+2×b=c．

（1）若C为奇数，则3×a为奇数，所以左手握的数a是奇数．

（2）若C为偶数，则3×a为偶数，所以左手握的数a是偶数．

因此，从c的奇偶性就可以断定左手握的数a的奇偶性，从而确定左手握的数是23还是32．在本题中，c为奇数，因此合于第

（1）种情况，a是奇数，即左手中握的是23．

【例13】甲、乙二人做游戏，先任意指定7个整数（允许有相同的）.甲先把这7个整数以任意的顺序填在图中第一行的方格内，然后，乙再将这7个数以任意的顺序填在图第二行的方格内。

最后，将所有的同一列的两个数的差（这样的差当然有7个）相乘.约定：

如果积为偶数，算甲胜；如果积为奇数，算乙胜.你能判断谁胜吗?

分析：

甲必胜.这是因为，在7个整数中，奇数的个数与偶数的个数是不相等的.因此，每一列的两个数不可能奇偶性都不相同（因为如果每列中的两个数奇偶性都不同，那么7个数中奇数与偶数的个数一定相等），也就是至少有一列的两个数的奇偶性相同，这两个数的差是偶数.于是，乘积必为偶数.

附加题目

【附1】扑克牌中的J、Q、K分别表示1l、12、13．甲取13张红心，乙取13张草花，两人都各自任意出一张牌凑成一对，这样一共可凑成13对．如果将每对求和，再将这13个和相乘．从积的奇偶性看，积应是奇数还是偶数？

分析：

每人有7个奇数6个偶数，所以至少有一对是2个奇数，其和为偶数．因为自然数与偶数相乘是偶数，所以这13个和相乘，积必是偶数．

【附2】从起点起，每隔1米种一棵树。

如果把三块“爱护树木”的小牌分别挂在三棵树上，那么不管怎样挂，至少有两棵挂牌的树，它们之间的距离数是偶数（以米为单位）.为什么?

分析：

给每棵树编号，每棵树的号码数，也就是这棵数到零点的一棵树的距离。

假定挂牌的三棵树的编号分别为a、b、c，那么这三个数只有四种可能：

（1）三数都是奇数；

（2）两个奇数，一个偶数；

（3）三数都是偶数；

（4）两个偶数，一个奇数。

不管怎样挂，至少有两棵挂牌树之间的距离数是偶数（以米为单位）.

【附3】有一个袋子里装着许多玻璃球．这些玻璃球或者是黑色的，或者是白色的．假设有人从袋中取球，每次取两只球．如果取出的两只球是同色的，那么，他就往袋里放回一只白球；如果取出的两只球是异色的，那么，他就往袋里放回一只黑球．他这样取了若干次以后，最后袋子里只剩下一只黑球．请问：

原来在这个袋子里有个黑球．（在上填“奇数”或“偶数”）

分析：

无论这个人取同色和异色的两个球黑色球总是减少0个或2个，即减少偶数个，而剩下一个黑球，则原来袋子里必有奇数个黑球．

【附4】如果把8个整数分别填在方框内，使四个算式都成立，那么填入的数中最多能有多少个奇数?

分析：

一个加法或减法算式中，至少有一个偶数，所以我们把第一横排第二空，第三横排第一空取偶数，就可满足条件，且偶数最少，那么此时奇数最多有6个．

【附5】

（1）如图，你能否把从1到7的所有的数安排在圆周上，使它们每个数都能被它的两个相邻数之差所整除?

（2）如果上述要求不变，但要把从1到7改为从1到9的各数呢?

分析：

（1）是可以安排的，具体做法见右图．其中任何一数都能被它两个邻数之差所整除．如果你注意到奇数不可能被偶数整除的话，就会明白圆周上不可能出现“偶一奇一偶”的安排．由此可见奇数一定会成对出现．但是在1，2，…，9之间却存在了5个奇数，所以它们不可能全都成对出现，这就说明

（2）是不可能安排的．

练习九

1．沿着河岸长着8丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个，问：

8丛植物上能否一共结有225个浆果?

说明理由．

分析：

任何相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个，所以任何相邻两丛植物上所结的浆果数目之和都是奇数．这样一来，8丛植物上所结的浆果总数就是4个奇数之和，必为偶数，所以不可能一共结有225个浆果．

2.在的4×4方格中还有12个空格，希望填入12个自然数，使得同一行中相邻两数的差（大数减小数）都相等，同一列中相邻两数的差（大数减小数）也相等.问：

这件事能否办到？

为什么？

分析：

按照题目要求，第二行第三列的数既应与1奇偶性相同，又应与6奇偶性相同，矛盾.

3．能不能在下式：

1口2口3口4口5口6口7口8口9=10的每个方框中，分别填入加号或减号，使等式成立?

分析：

在一个只有自然数加减法运算的式子中，如果把式子中任一减法运算改成加法运算，那么所得结果的奇偶性不变.因此无论在每个方框中怎样填加减号，所得结果的奇偶性，与在每个方框中都填入加号所得结果的奇偶性一样.但是，每个方框中都填入加号所得结果是奇数.而式子的右边是10，是个偶数.因而无论怎样填加减号，两边的奇偶性不同，所以不能使等式成立.

4．将3个连续自然数的和记作A，将紧接它们之后的3个连续自然数的和记作B．问：

乘积A×B能否等于111111111（共9个1）?

分析：

不可能，因为A与B中有一个为偶数，从而乘积A×B为偶数，而111111111却是奇数．

5．有3个不同的自然数组成一等式：

口+△+O=口×△一○，这三个数中最多有多少个奇数？

分析：

因为2+4+1=2×4-l，所以这三个数中可以有一个奇数.如果这三个数中有2个奇数和1个偶数，那么等式左边必为偶数，等式右边必为奇数，不可能.如果这三个数均为奇数，那么等式左边必为奇数，而等式右边必为偶数，不可能.因此，这三个数中最多有1个奇数.

6．3～9这七个数，两两相乘后所得的乘积的和，是奇数还是偶数？

为什么？

分析：

七个数中有四个奇数，只有这四个奇数两两相乘得到6个奇数，其余都是偶数，所以和是偶数.