四升五暑假班讲义.docx

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四升五暑假班讲义

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四升五暑假班讲义

莱特1+1思维教育辅导讲义

课题

加法乘法原理与几何计算

授课时间：

授课教师：

知识点梳理

1、加法原理：

如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法……，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：

m1+m2.......+mn种不同的方法。

关键问题：

确定工作的分类方法。

基本特征：

每一种方法都可完成任务。

2、乘法原理：

如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：

m1×m2.......×mn种不同的方法。

关键问题：

确定工作的完成步骤。

基本特征：

每一步只能完成任务的一部分。

教学内容

例1、从南通到上海有两条路可走，从上海到南京有三条路可走。

王叔叔从南通经过上海到南京去，有几种方法

分析：

可以将王叔叔的各种走法根据线路示意图一一列举出来。

例2、用红、黄、蓝三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号

分析：

要使信号不同，就要求每一种信号颜色的顺序不同，把这些不同的信号一一列举出来即可。

例3、有三张数字卡片，分别为3,6,0。

从中挑出两张排成一个两位数，一共可以排成多少个两位数

分析：

排成时要注意“0”不能排在最高位，从而可以进行分类考虑：

当十位上是6或者是3时所得数的个数。

例4、从1~8这八个数中，每次取两个数，要使它们的和大于8，有多少种取法

分析：

为了既不重复又不遗漏的统计出结果，应该按一定的顺序分类列举，可以按照“几+8，几+7，几+6，几+5”的顺序来思考。

例5、在一次足球比赛中，4个对进行循环赛，需要比赛多少场

分析：

4个队进行循环赛，也就是说4个队每两个队都要赛一场，设4个队分别为A、B、C、D，可将他们两两比赛的情况列举出来。

练习：

1.从甲地到乙地，有两条直达铁路和四条直达公路，那么从甲地到乙地有多少种不同的走法

2．从甲地到乙地有两条直达铁路，从乙地到丙地有四条直达公路，那么从甲地到丙地有多少种不同的走法

3．甲、乙、丙三个同学排成一排，有几种不同的排法

4.用8、6、3、0这四个数字，可以组成多少个不同的三位数最大的一个是多少

5．从1~6这六个数字中，每次取两个数，要使它们的和大于6，有多少种取法

6．在一次羽毛球比赛中，8个队进行循环赛，需要比赛多少场

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课题

巧数图形

授课时间：

授课教师：

知识点梳理

1、直线：

一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。

线段：

直线上任意两点间的距离。

这两点叫端点。

射线：

把直线的一端无限延长。

2、直线特点：

没有端点，没有长度。

线段特点：

有两个端点，有长度。

射线特点：

只有一个端点；没有长度。

3、①数线段规律：

总数＝1+2+3+…+（点数一1）；②数角规律：

总数=1+2+3+…+（射线数一1）；③数长方形规律：

个数=长的线段数×宽的线段数：

④数长方形规律：

个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数

教学内容

例1、数出下面图形有多少条线段。

分析：

要正确解答这类问题，需要按照一定的顺序来数，做到不重复、不遗漏，因此我们可以分别从A点、B点、C点出发数线段。

例2、数一数图中有多少个锐角。

分析：

数角的方法和数线段的方法类似，图中的5条射线相当于线段上的5个点，因此要求图中有多少个锐角可根据公式求解。

例3、数一数下图中各有多少个三角形。

图1图2

分析：

图1中AD边上的每条线段与顶点O构成了一个三角形，也就是说AD边上有几条线段就构成了几个三角形；图2与图1相比，图2中多了一条线段

三角形的个数应是AD和

上面的线段与点O所围成的三角形个数的和。

例4、数一数图中有多少个长方形。

图1图2

分析：

数长方形与数线段的方法类似，图1中长方形的个数取决于AB或CD边上的线段；图2可以先算出AB边上的线段数，再把AB边上的每条线段作为长，AD边上的每条线段作为宽，每一个长配一个宽就组成长方形。

练习：

1.数下列图形中分别有多少条线段、有多少个锐角、多少个三角形。

2．数一数下图中各有多少个长方形。

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课题

和倍问题

授课时间：

授课教师：

知识点梳理

1、和倍问题：

已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题叫做和倍问题。

2、基本数量关系：

教学内容

例1、学校有科技书和故事书共480本，科技书的本数是故事书的3倍，两种书各有多少本

分析：

为了便于理解题意，我们画图来分析：

如果把故事书的本数看作1份，那么科技书的本数就是这样的3份，两种书的总份数是＿份，可以把480本书平均分成＿份，1份是故事书的本数，3份就是科技书的本数。

例2、果园里有梨树、桃树和苹果树共1200，其中梨树的棵树是苹果树的3倍，桃树的棵树是苹果树的4倍，求梨树、桃树和苹果树各有多少棵

分析：

如果把苹果树的棵树看作1份，三种树的总棵树共有＿份，从而可以算出苹果树的棵树，再求出梨树和桃树的棵树。

例3、有3个书橱共放了330本书，第二个书橱里的书是第一个的2倍，第三个书橱里的书是第二个的4倍，每个书橱里各放了多少本书

分析：

把第一个书橱里的本数看作1份，那么第二个书橱里的本数是这样的2份，第三个就是这样的＿份，三个书橱里的总本数是这样的＿份，所以第一个书橱里放了＿本书，再求出第二个、第三个里放的书即可。

例4、少先队员种柳树和杨树共216棵，杨树的棵树比柳树的3倍多20棵，两种树各种了多少棵

分析：

如果杨树少种20棵，那么杨树和柳树的总棵树是＿棵，这时杨树的棵树恰好是柳树的＿倍，于是柳树的棵树与杨树的棵树都可以算出来。

例5、三个筑路队共筑路1360米，甲队筑了米数是乙队的2倍，乙队比丙队多240米，三个队各筑了多少米

分析：

把乙队的米数看作是1份，甲队筑的米数是这样的2份，假设丙队多筑了240米，三队共筑了＿米，正好是乙队的＿倍，再算丙队筑的米数。

练习：

1.一块长方形的黑板的周长是96分米，长是宽的3倍，这块长方形黑板的长和宽是多少分米

2．甲、乙、丙三数的和是360，又知甲为乙的3倍，丙为乙的2倍，求甲、乙、丙各是多少

3．三块钢板共重621千克，第一块的重量是第二块的3倍，第二块的重量是第三块的2倍。

三块钢板各重多少千克

4．小花和小明参加数学竞赛，两人共得168分，小花的得分比小明的2倍少42分，两人各得了多少分

5．三个植树队共植树1900棵，甲队植树的棵树是乙队的2倍，乙队比丙队少300棵，三个队各植了多少棵

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课题

植树问题

授课时间：

授课教师：

知识点梳理

基本类型：

①在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树；基本公式：

棵数=段数＋1；棵距×段数=总长②在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树；        基本公式：

棵数=段数－1；棵距×段数=总长③在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树；或者在封闭曲线上植树  ；        基本公式：

棵数=段数；棵距×段数=总长

关键问题：

确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系。

教学内容

例1、城中小学在一条大路变从头至尾栽树28棵，每隔6米栽一棵，这条路长多少米

分析：

这是一道简单的植树问题，根据题意知道植树的总棵树和棵距，让求出总长。

例2、在一个周长是240米的游泳池周围栽树，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵树

分析：

这是道封闭路线上的植树问题，植树的棵树和段数相等。

例3、在一座长800米的大桥两边挂彩灯，起点和终点都挂，一共挂了202盏，相邻两盏之间的距离都相等，求相邻两盏彩灯之间的距离。

分析：

这道题是在桥的两边一共挂了202盏灯，已知桥长800米，要求两盏灯之间的距离需要求出每一边所挂的彩灯数，再看这些彩灯将800米分成了多少段，进而求出每段的距离。

例4、一个木工锯一根长19米的木料，他先把一头损坏部分锯下来1米，然后锯了5次，锯成同样长的短木条，每根短木条长多少米

例5、有一栋10层的大楼，由于停电电梯停开，某人从1层走到3层需要30妙，照这样计算，他从3层走到10层需要多少秒

分析：

把每一层楼所需要的时间看做是一个间隔，1层至3层共有两个时间间隔，所以每个间隔用去时间是30÷（3-1）=15（秒），3层到10层经过了10-3=7（个）时间间隔，这样可以算出所用时间。

练习：

1.一条路长200米，在路的一旁从头至尾植树，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵

2．在圆形的水池边，每隔3米种一棵树，共种树60棵，这个水池的周长是多少米

3．一座长400米的大桥两边挂彩灯，每两个相隔4米，从桥头到桥尾一共装了多少盏灯

4．一个木工锯一根长17米的木料，他先把一头损坏的部分锯下来2米，然后锯了4次，锯成同样长的短木条，每根短木条长几米

5．把6米长的木料平均锯成3段要6分钟，照这样计算，如果锯成6段，需要多少分钟

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课题

逻辑推理

授课时间：

授课教师：

知识点梳理

基本方法：

排除法、假设法、反证法、列表法、图表法。

解题步骤：

1、选准突破口。

2、逐步推理，排除不可能的情况。

3、对可能出现的情况作出假设，并判断是否真确。

教学内容

例1、有三个小朋友再谈论谁做的好事多。

东东说：

“兰兰做的比芳芳多。

”兰兰说：

“东东做的芳芳多。

”芳芳说：

“兰兰做的比东东少。

”这三位小朋友中，谁做的好事最多谁做的好事最少

例2、一个正方体，六个面上分别写上ABCDEF，你能根据这个正方体的不同的摆法，求出相对的两个面的字母是什么吗

分析：

如果找不出他们相对的是什么，可以先找他们相邻的是什么，再用排除法解题。

例3、甲、乙、丙三个孩子踢球打碎了玻璃窗，甲说：

“是丙打碎的”。

乙说：

“我没有打碎玻璃窗”，丙说：

“是乙打碎的。

”他们当中只有一个说了谎话，到底是谁打碎了玻璃窗

分析：

由题意可知，必须符合他们中只有一个说了谎，推理时可以先假设，看结论和条件是否矛盾。

例6、甲、乙、丙、丁四个人同时参加数学竞赛。

赛后，甲说：

“丙是第一名，我是第三名。

”乙说：

“我是第一名，丁是第四名。

”丙说：

“丁是第二名，我是第三名。

”丁没有说话。

成绩揭晓时，大家发现甲乙丙三个人各说对了一半，你能说出他们的名次吗

分析：

推理这道题时，必须以“他们都只说对了一半”为前提，可以借助图表分析。

例7、A、B、C、D与小强五个同学一起参加了象棋比赛，每两个人都赛一盘，比赛一段时间后统计，A赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了一盘，问小强已经赛了几盘

分析：

该题可以用图表法求解：

用5个点表示这5个人，如果某两个人之间已经进行了比赛，就在表示这两个人的点之间画一条线。

练习：

1.卢刚、丁飞和陈雨以为是工程师，一位是医生，一位是飞行员。

现在只知道：

卢刚和医生不同岁，医生比丁飞年龄小，陈雨比飞行员年龄大。

请问谁是工程师，谁是医生，谁是飞行员

2．某学校为表扬好人好事核实一件事，老师找了A、B、C三个学生。

A说：

“是B做的。

”B说：

“不是我做的。

”C说：

“不是我做的。

”这三个中只有一个说了实话，请问这件好事是谁做的

3．甲、乙、丙、丁四人进行游泳比赛，赛前名次众说不一。

有的说：

“甲是第二名，丁是第三名。

”有的说：

“甲第一名，丁第二名。

”有的说：

“丙第二名，丁第四名。

”实际上，上面三种说法各说对了一半。

问甲、乙、丙、丁各是多少名

4、

明明、东东、兰兰、芳芳、思思和毛毛六人参加一次会议，见面时每两人都要握一次手，明明已经握了5次手，东东握了4次手，兰兰握了3次手，芳芳握了2次，思思握了1次。

问毛毛握了几次

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课题

巧算年龄

授课时间：

授课教师：

知识点梳理

年龄问题的几个基本特征：

①两个人的年龄差总是不变的；                    

②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；

③两个人年龄之间的倍数关系也会发生变化。

教学内容

例1、爸爸今年43岁，儿子今年11岁，几年后爸爸的年龄是儿子的3倍

分析：

儿子出生后无论在哪一年，爸爸和儿子的年龄差总是不变的。

例2、妈妈今年的年龄是女儿的4倍，3年前，妈妈和女儿的年龄和是39岁。

问妈妈、女儿今年各是多少岁

分析：

从3年前到今年，妈妈、女儿都长了3岁，可以先算出她们今年的年龄和，再转化成和倍问题来解决。

例3、今年小红的年龄是小梅的5倍，3年后小红的年龄是小梅的2倍，小红和小梅今年各是多少岁

分析：

3年后，小红和小梅各长3岁，假如小红年龄还是小梅的5倍，小红要增长

=15岁，但是只长了3岁，少了12岁，就少了

倍。

例4、甜甜的爸爸今年28岁，妈妈今年26岁，再过多少年，他的爸爸和妈妈的年龄之和为80岁

分析：

两人的年龄和每年增加2岁，先求今年爸爸和妈妈的年龄和，再求80比他们的年龄和多了多少，然后看这个所多的数里包含了多少个2就是经过了几年。

例5、小英一家由小英和她的父母组成。

小英的父亲比母亲大3岁。

今年全家年龄总和是71岁，8年前这个家的年龄的总和是49岁，今年3人各是多少岁

分析：

已知8年前这个家的年龄总和是49岁，这个条件中8年与49岁看上去有一个是多余的，有的同学可能误认为8年前这个家的年龄总和应该是

岁，但这与题中所给的条件49不一致，为什么呢这说明8年前小英还没有出生。

由相差的2岁可以求出小英今年的年龄，再求出父母今年年龄和，最后分别求出父亲和母亲的年龄即可。

练习：

1.妈妈今年36岁，儿子今年12岁，问几年后妈妈的年龄是儿子的2倍

2．今年小丽和她爸爸的年龄和是41岁，4年前爸爸的年龄恰好是小丽的10倍，小丽和爸爸今年各是多少岁

3．今年小明的年龄是小娟的3倍，3年后小明的年龄是小娟的2倍，小明和小娟今年各是多少岁

4．今年小亮的年龄是小英的2倍，6年前小亮的年龄是小英的5倍，小英和小亮今年各是多少岁

5．今年爸爸56岁，儿子30岁，当父子年龄和为46岁时，爸爸和儿子各是多少岁

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课题

定义新运算

授课时间：

授课教师：

知识点梳理

周期现象：

事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。

周期：

我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。

关键问题：

确定循环周期。

解题方法：

确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个；如果比整数个周期多n个，那么为下个周期里的第n个；如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续计算。

闰    年：

一年有366天；①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除；平  年：

一年有365天。

①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；

教学内容

例1、数列5、6、2、4、5、6、2、4…

（1）第129个数是多少

（2）这129个数的和是多少

分析：

（1）观察这列数可以发现5、6、2、4这4个数是一个循环，并且是按照这样的循环规律不断重复出现的，由129÷4=32……1，可知有32个循环，还剩一个数；

（2）可以算出每个循环的和，进而求总和。

例2、2003年1月1日是星期三，

（1）该月的22号是星期几

（2）2003年4月5日是星期几90

分析：

（1）一星期7天，为一个周期。

这类题在计算天数时，可采用“算头不算尾”或“算尾不算头”的方法。

（2）首先要能正确算出天数，要考虑平年或闰年的二月份的天数，平年28闰年29。

例3、我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流代表年号，例如，第一年如果属鼠年，第二年就是属牛年，第三年就属虎年。

如果公元1年属鸡年，那么公元2001年属什么年

分析：

一共有12种动物，因此12为一个循环，从公元2年到2001年共经历了2000年（算头不算尾），可以根据这些数除以12所得的余数来分析、判断。

例4、假设所有的自然数排列起来，如下所示，39应该排在哪个字母下面88应该排在哪个字母下面

ABCD

1234

5678

9……

分析：

从排列情况可以知道，这些自然数的按照从小到大4个数一个循环，可以根据这些数除以4所得的余数来分析、判断。

例5、用1、2、3、4这四张卡片可以组成不同的四位数，如果把它们从小到大依次排列出来，第1个是1234，第2个是1243，第15个是多少

分析：

一共可以组成24个不同，每个数字在千位上都出现6次，以6次为一周期进行计算。

练习：

1.有一列数，1、4、2、8、5、7、1、4、2、8、5、7……

（1）第58个数是多少

（2）这58个数的和是多少

2.1996年8月1日是星期四，1996年元旦是星期几

3.我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流代表年号，如果公元3年是属猪年，那么公元2000年是属什么年

4、有a、b、c、三条直线，从a线开始，从1起一次在三条直线上写数（如下图），22、59、2001各在哪一条直线上

5、用2、3、4、5四个数字组成不同的四位数，把它们从小到大排列，第16个是多少

莱特1+1思维教育辅导讲义

课题

容斥问题

授课时间：

授课教师：

知识点梳理

1、容斥问题：

当两个计数部分有重复包含时，为了不重复的计数，应从它们的和中排除重复部分的问题叫做容斥问题。

2、容斥原理：

对n个事物，如果采用两种不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=

。

教学内容

例1、一个班有48人，班主任在会上问：

“谁做完语文作业请举手！

”有37人举手。

又问：

“谁做完数学作业请举手！

”有42人举手。

最后问：

“谁语文、数学作业没做完”没有人举手。

求这个班语文、数学作业都完成的人数。

分析：

如图可知完成语文数学作业的总人数多于全班人数，这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。

例2、某班有36个同学在一项测试中答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。

问多少同学两题都答得不对

分析：

如图所示，已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的人数。

要求两题都答的不对的人数，我们可以从反面求出至少答对一题的人数。

例3、某班有56个人，参加语文竞赛的有28人，参加爱数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人

分析：

要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数，再求两科竞赛同时参加的人数。

例4、在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个

分析：

从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数，这就需要算出是5的倍数的数有多少个，是6的倍数的数有多少个，同时还要算出既是5的倍数又是6的倍数的数的个数，可以自己画出图表示。

例5、光明小学举办学生书画展览。

学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法共有多少幅

练习：

1.四年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。

其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人，语文数学都优秀的有多少人

2．五一班有40个学生，其中有25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。

那么，有多少人两个小组都没有参加

3．一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。

问这两种棋都会下的有多少人

4．在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数也不是8的倍数的数有多少个

5．六一儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有25幅画不是三年级的，有19幅不是四年级的，三、四年级参展的画共有8幅，其他年级参展的画共有多少幅