一次函数与方程复习1.docx

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一次函数与方程复习1

数学初中九年级上一轮复习北师大版

《一次函数与方程（复习1）》教学设计

学校

西北大附中

教师

李翠

授课班级

八年级

授课类型

复习课

课时

1节（45分钟）

一、教材分析：

1．教学内容：

北师大八年级上第五章第六节一次函数与方程的关系。

2．内容分析：

本节课是一次函数的应用的第一课时，是学生在学习了一次函数的性质，一元一次方程，二元一次方程组，函数思想，数形结合的解决问题等相关内容之后学习的，同时，一次函数与方程关系的探讨为二次函数与方程提供了研究函数的基本模式和解决问题的理论基础。

因此，这部分内容有着承前启后的作用，是函数应用部分的重点内容。

不仅研究一次函数与一元一次方程的关系，而且也会讨论一次函数与二元一次方程组的关系，利用一次函数的图象解一元一次方程，二元一次方程组以及一元一次不等式。

这节内容在初中的函数部分占据着重要的地位。

二、学情分析：

1、知识基础：

在学习本节内容之前，学生已经可以准确的画出一个一次函数的图象，根据图像能够说出其性质，即已经有了初步的数形结合的思想，同时，学生也掌握了解一元一次方程，解二元一次方程组，解一元一次不等式的方法，但是，由于学生的思维不够那么整合，学习的过程中不能自主建立知识之间的相互联系，因此，有必要将一次函数与方程联系起来，形成一个知识体系。

2、学习能力和态度：

学生的基础一般，数形结合的综合能力较弱，但是通过两年多的学习，学生已经具备了一定的提出问题，分析问题的能力，也具备了基本的语言转换能力，基本的问题概括能力，并且对数学的学习有自信和信心。

在学生的头脑中虽然有一定的图象直观，有一定的性质铺垫，也会解关于一元一次方程，一元一次不等式，及二元一次方程组，但是并没有把这些内容构建起逻辑上的联系，因此，学生渴望从这些零零碎碎的东西中解放出来，形成关于二者联系的体系，进而提高自己的知识水平和认知水平，所以，学生能在教师的引导和点拨下进行讨论和主动思考。

三、教学目标

本节课通过探索“方程”与“函数图象”的关系，培养学生数学转化的思想，通过学习学习二元一次方程（组）的解与直线交点坐标之间的关系，使学生初步建立了“数（方程的解）”与“形（一次函数的图象）”之间的对应关系，进一步培养了学生数形结合的意识和能力，因此确定本节课的教学目标为：

知识能力目标：

初步理解一元一次方程、二元一次方程、一元一次不等式和一次函数四种数学模型之间的关系；解释并总结一元一次方程的解和对应的一次函数交点的关系，二元一次方程组的解和对应的两个一次函数交点之间的关系以及一元一次不等式的解与相应一次函数之间的关系；能比较并运用函数的思想，数形结合的解决问题。

过程与方法目标：

借助直线模型和坐标系，参与并发现解和交点的直接对应，经历探索数（方程的解）和形（一次函数的图象）的关系，体验数形结合的数学思想方法，尝试用数形结合的意识解决实际问题。

情感态度价值观目标：

寻求数形关系的过程中，感受了数学在实际生活中的广泛应用，获得解决问题的方法的过程，增强了探索的乐趣、勇于讨论的积极态度，成功的体验和信心以及对数学之形之美的体验。

四、教学重点与难点：

重点：

一次函数与一元一次方程的关系，一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数一元一次不等式的关系；

难点：

通过对数学模型关系的探究发展学生数形结合和数学转化的思想意识。

教学方法及学法指导

教学方法：

引导探究法、情境教学法、范例教学法。

学习方法：

探究学习法、合作学习法。

五、教学用具：

教具：

多媒体课件、三角板。

学具：

铅笔、直尺、练习本、坐标纸、三根小木棍。

六、教学过程

步骤

教学内容

教师活动

学生活动

教学意图

课

前

预

习

回顾八年级上一次函数，二元一次方程与一次函数

安排复习活动

课后回顾

通过提早回顾起基本内容，使复习更加有的放矢。

新课

导

入

1、回顾一次函数的图像与性质，一元一次方程，一元一次不等式，二元一次方程组的解法

2、开门见山，提出问题：

一次函数和一元一次方程，二元一次方程（组），一元一次不等式有什么关系？

1、一次函数y=kx+b（k≠0）图像是一条直线

2、y=kx+b相应的方程为kx+b-y=0是关于x,y的二元一次方程，当y为常数y0时，便是相应的一元一次方程kx+b-y0=0

3、若将“＝”换成“≠（＞或＜）”，则为相应的一元一次不等式kx+b-y0＞0（＜0）

4、那么，一次函数y=kx+b（k≠0）图像与相应的一元一次方程kx+b-y0=0，与相应的一元一次不等式kx+b-y0＞0（＜0）有什么关系？

提出问题，启发引导学生积极思考，从而引出本节内容，在黑板上板书本节课题：

一次函数与方程（复习1）：

学生积极思考，

并集体参与回答。

⒈观察计算机的演示，仔细思考老师提出的问题；

⒉学生进行发散性思维；

⒊思考后回答问题

1复习旧知识，为后面类比的方法探究和分析一次函数图像与方程，不等式的关系做了铺垫。

2提出稍高于与学生认知水平的问题，激发学生思考，并且，利用课间的演示，吸引学生的注意力，快速的使学生进入听课状态。

步骤

教学内容

教师活动

学生活动

设计意图

新课讲授

新课讲授

新课讲授

新课讲授

新课讲授

课堂同步练习

一、一次函数与一元一次方程

1.一次函数y＝3x＋6，图象如图1所示：

当y=0时，得到相应的一元一次方程3x＋6＝0，

解得x=-2，有图像可知，一次函数与x轴的交点为（-2,0）

图1

2.已知一次函数y=3x+6，图象如图2所示，当y=3时，得到相应的一元一次方程3x＋6＝3，

可以解得x=-1，由图像可知，（-1,3）在直线上，且（-1,3）是一次函数y=3x+6与直线y=3的交点。

二．利用一次函数图象解一元一次不等式

前面研究了方程和一次函数的关系，那么，结合一次函数的图象，我们可以解形如kx+b=d的方程，即：

方程的解就是一次函数图象与直线y=d的交点的横坐标。

如果将刚才研究的方程中“＝”换成“＞”，“＜”

例1.一次函数y＝3x＋6，

当y>0时，x____；

当y<0时，x____。

反之，若x>-2，则y____；

若x<-2，则y____

三．一次函数与二元一次方程组的关系

1.以上的分析可知，既可以用一次函数解一元一次方程，又可以解一元一次不等式，其实，上面分析的问题都是含有两个未知数x，y的，实质上也是二元一次方程的问题，因为二元一次方程的解有很多组，因此，我们主要研究二元一次方程组的唯一解和一次函数的关系。

2.利用一次函数解决实际问题

例2：

方式A:

以每分钟0.1元的价格计费；

方式B:

除收月基费20元外以每分钟0.05元的价格计费。

上网多长时间收费一样多呢?

选哪种方式更合算呢?

完成课堂同步练习

1.让学生自己动手去将直线准确的放到平面直角坐标系中，以这样的问题开始引导学生的思维转向思考到本节课的主题。

2.指导学生从不同的直线出现的结果，总结一次函数的图象与相应一元一次方程之间的关系。

总结：

直线y=kx+b

（k≠0）的图象与直线y=0（即x轴）交点的横坐标就是相应方程kx+b=0的解。

板书：

y=kx+b→（y=0）→kx+b=0

1引导学生当直线方程不变，改变y的取值，相应方程的解有什么变化。

直线出现的结果，总结一次函数的图象与相应一元一次方程之间的关系。

2.当直线方程也随之改变时，不同的y的取值和直线方程之间又有什么关系呢？

3.总结：

直线y=kx+b（k≠0）的图象与直线y=3交点的横坐标就是相应方程kx+b=3的解。

如果y=d时，直线y=kx+b（k≠0）的图象与直线y=d交点的横坐标就是相应方程kx+b=d的解。

5.板书：

y=kx+b→（y=d）→kx+b=d

1.提出问题：

如果将刚才研究的方程中“＝”换成“＞”，“＜”，那么，不等式中x的取值范围怎么求？

2.引导学生大胆猜想，勇敢思考，并且将学生的思考方向逐渐拓宽，使学生自己把握应该从哪儿作为切入点解决问题。

3.y>0，或y<0应以y=0为切入点，大于0，图象应在x轴上方，所以对应的x值应在与x轴交点横坐标的左或者右面。

4.总结：

已知一次函数求相应不等式的解的解决步骤，即画函数图象→找临界点→对应图像→找到取值范围

5.板书并画图：

y=kx+b→（y>0）→kx+b>0的解集（找临界点，看性质）

6.给出练习、已知一次函数y＝-2x＋4，若y>0，则x____；y<0，则x____2；反之，若x>2，则y____；若x<2，则y____

1.方程kx+b-y=0是否任意的二元一次方程都可以转化为y=kx+b的形式？

（1）在直线y=2x+7上任取一点（x,y）,则x,y一定是方程的解吗？

并画出图象

（2）在同一坐标系中画出一次函数y＝3x-8的图像,这两条直线有交点吗？

怎样求

2.这个交点坐标是方程组

的解

联立方程组，求出坐标

3.解和交点坐标的关系？

结论：

从“数”的角度，两直线的交点坐标相当于求方程组的解；从“形”的角度,解方程组相当于确定两条直线的交点坐标。

板书：

“数”+“形”

解：

设上网时间为x分，若按方式A则收y1=0.1x元；

若按方式B则收y2=0.05x+20元。

解方程组

得

所以两图象交于点（400，40）.

作出图象，由图象易知：

当0＜x＜400时，即选择方式A省钱；

当x=400时，即选择方式A，B都一样；

当x＞400时，即选择方式B省钱。

目的：

通过两条直线的交点与方程组的解的关系，去判断两个函数值的大小，进行实际应用。

1.布置书上内容，来巩固新知识；

2.课堂巡视了解，检查学生形成性练习完成的情况，将完成结果在班上展示

3.对普遍存在的问题进行重点讲解。

⒈拿出自己的坐标纸，讲一次函数模型放在坐标系中，认真思考并观察一次函数y＝3x＋6图象与相应的一元一次方程3x＋6＝0的解有什么关系。

这样的结果出现是否是巧合？

⒉换一条直线再试试，让y=0，再进行讨论分析，根据讨论的结果，回答老师提出的问题；

⒊归纳总结一次函数的图象和相应（y=0）的一元一次方程到底有什么样的关系。

总结：

交点的横坐标就是方程的解。

⒈按照上面的研究过程，拿出自己的坐标纸，将一次函数y＝3x＋6模型放在坐标系中，观察一次函数y＝3x＋6图象与相应的一元一次方程3x＋6＝3的解有什么关系。

⒉换一个y的值再试试，当y=d时，会有什么样的结论出现。

⒊归纳总结一次函数的图象和相应（y=d）的一元一次方程到底有什么样的关系。

总结：

与直线y=d交点的横坐标就是方程的解。

⒈思考并讨论，如果大于0，从图像上表示什么？

那么，相应的x应在什么样的范围内？

⒉换一个y的值再试试，当y>d时，会有什么样的结论出现。

⒊归纳总结利用一次函数图象解一元一次不等式应从相等入手，找到函数图像与y=d的交点，然后在图像上取y>d或者y

4.根据上面的讨论与分析，试一试自己学会了吗？

1.给出一个二元一次方程2x+y=7，并转化为相应的一次函数一般形式.。

2.写出几组以上二元一次方程的解，并回答多少组解，这些解有什么样的共同特点？

思考这些点和这条直线的图象有什么关系？

结论：

直线上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程的解。

3.解方程组

4.观察图象，发现两直线的交点坐标与方程组的解有什么关系？

5.总结：

方程组的解就是相应一次函数图象的交点。

1.认真理解题意，明确是什么实际问题，应该建立什么样的模型解决问题。

2.建立数学模型，讨论并分析，利用模型解决什么样的实际问题。

3.合算的计费方式，对于消费者来说，应选择价格相对低的。

1.完成课堂同步练习。

2.对于有问题的知识点或者题目讨论完成

1.注重概念形成过程，通过一个个的问题，使学生的整个学习过程成为“猜想”，让学生从感性认识自然过渡到理性认识，培养学生的观察、归纳、概括能力。

2.通过自主探索，使学生初步体会“数”（方程）与“形”（直线）之间的对应关系，为求两条直线的交点坐标打下基础．

1.将抽象的知识深入浅出，以学生能理解的方式，逐步探索，通过控制变量，是问题研究跟清晰，逻辑更加明了。

2.同时得出本节的重要结论：

一元一次方程与一次函数的关系。

即函数图像上点的横坐标就是相应一元一次方程的解

1.由学生自主学习，十分自然地建立了数形结合的意识，学生初步感受到了“数”的问题可以转化为“形”来处理，反之“形”的问题可以转化成“数”来处理，培养了学生的创新意识和变式能力．

2.例1意在引导学生利用图像给出练习，应用解题。

但是不同的是函数的单调性与前函数有所不同。

3.通过变式训练来强化概念，开拓学生的思维，训练学生思维的严谨性；

1.通过设置问题情景，让学生感受方程和一次函数的相互转化，启发引导学生总结二元一次方程组与一次函数的对应关系．

2.以“问题串”的形式，启发引导学生探索知识的形成过程，培养了学生数学转化的思想意识．

1.二元一次方程和一次函数图像的关系：

即两条直线的交点坐标就是相应二元一次方程组的解，同时以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；

2.在明确相等的关系时，学生认真分析怎样由图像解决不等关系。

同步练习，检测学生的掌握情况，及时反馈，强化知识点的学习，为下节课内容的学习打好基础；

归纳小结

1.如果y=d时，直线y=kx+b（k≠0）的图象与直线y=d交点的横坐标就是相应方程kx+b=d的解。

2.已知一次函数求相应不等式的解的解决步骤，即画函数图象→找临界点→对应图像→找到取值范围

3.从“数”的角度，两直线的交点坐标相当于求方程组的解；从“形”的角度,解方程组相当于确定两条直线的交点坐标。

1.启发引导学生进行归纳整理；

2.对学生主动学习的态度及方式给予肯定；

3.强调学生学习数学过程中，需踏实、认真的学习态度。

1.用自己的语言归纳，本节课学到了什么？

2.学会了什么数学思想和方法，并理清怎样用这样的方法解决问题。

使学生理清这节课的重难点，深化对基本概念，基本理论的理解，帮助学生从感性认识升华到理性认识,同时培养学生宏观掌握

作业布置

1.每位同学自己出题：

两道一次函数与一元一次不等式，两道一次函数解决二元一次方程组实际问题；

2.并同桌交换做题，并批改，若有疑问的，互相讨论。

说明作业的要求

听清作业要求，按要求完成。

了解学生对本节内容的基本掌握情况；

加深对所学知识的理解和运用，使学生掌握基础知识，利于学生思维能力的培养。

板书设计

投影屏幕

一次函数与方程（复习1）

一、一次函数与一元一次方程

y=kx+b→（y=0）→kx+b=0

y=kx+b→（y=d）→kx+b=d

一次函数图像与

y=d交点横坐标方程的解

“形”“数”

二、一次函数与二元一次方程组

两条直线的交点

的解

“形”“数”

3、小结

四、作业布置

课堂同步练习：

1．选择题

1.一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（  ） 

A．x=2      B．y=2      C．x=1      D．y=1  

2.已知关于x的方程mx+n=0的解是x=2，求直线y=mx+n与x轴的交点坐标．  

3.一次函数y=ax+b的图象如图所示，则不等式ax+b＞0的解集是（  ） A．x＜2      B．x＞2      C．x＜1      D．x＞1  

4.已知一次函数y=ax+b的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2，0），则关于x的不等式a （x1）b＞0的解集为（  ） 

A．x＜1      B．x＞1      C．x＞1      D．x＜1  

二．填空题

5.如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组

的解是______________           

6题图

5题图

7题图

6.

（1）已知关于x的方程mx+n=0的解是x=2，那么直线y=mx+n与x轴的交点坐标是____________． 

（2）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：

y=kx+b与直线OA：

y=mx相交于点

A（1，2），则关于x的不等式kx+b＜mx的解是_________ ．

三．解答题

7.已知一次函数y1=kx+b和正比例函数y2＝-1/2x的图象交于点A（2，m），又一次函数y1=kx+b的图象过点B（1，4）． 

（1）求一次函数的解析式； 

（2）根据图象写出y1＞y2的取值范围