运筹学第五六七八章答案.docx
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运筹学第五六七八章答案
运筹学第五、六、七、八章答案
5.2用元素差额法直接给出表5-53及表5-54下列两个运输问题的近似最优解.表5-53B1B2B3B4B5AiA119161021918A21413524730A3253020112310A478610442Bj152535205表5-54B1B2B3B4AiA1538616A2107121524A31748930Bj20251015【解】表5-53。
Z=824表5-54Z=4955.3求表5-55及表5-56所示运输问题的最优方案.
(1)用闭回路法求检验数(表5-55)表5-55B1B2B3B4AiA11052370A2431280A3564430bj60604020
(2)用位势法求检验数(表5-56)表5-56B1B2B3B4AiA19154810A2317630A321013420A4458343bj20155015【解】
(1)
(2)5.4求下列运输问题的最优解
(1)C1目标函数求最小值;
(2)C2目标函数求最大值1545204060305040(3)目标函数最小值,B1的需求为30≤b1≤50,B2的需求为40,B3的需求为20≤b3≤60,A1不可达A4,B4的需求为30.【解】
(1)
(2)(3)先化为平衡表 B11B12B2B31B32B4aiA144977M70A266533220A3885991050A4M0MM0M40bj302040204030180最优解:
5.5
(1)建立数学模型设xij(I=1,2,3;j=1,2)为甲、乙、丙三种型号的客车每天发往B1,B2两城市的台班数,则
(2)写平衡运价表将第一、二等式两边同除以40,加入松驰变量x13,x23和x33将不等式化为等式,则平衡表为:
B1B2B3ai甲乙丙80605065504000051015bj10155为了平衡表简单,故表中运价没有乘以40,最优解不变(3)最优调度方案:
即甲第天发5辆车到B1城市,乙每天发5辆车到B1城市,5辆车到B2城市,丙每天发10辆车到B2城市,多余5辆,最大收入为Z=40(5×80+5×60+5×50+10×40)=54000(元)5.6
(1)设xij为第i月生产的产品第j月交货的台数,则此生产计划问题的数学模型为
(2)化为运输问题后运价表(即生产费用加上存储费用)如下,其中第5列是虚设销地费用为零,需求量为30。
12345ai12341MMM1.151.25MM1.31.40.87M1.451.551.020.98000065656565bj5040608030(3)用表上作业法,最优生产方案如下表:
12345ai123450152560105653065656565Bi5040608030上表表明:
一月份生产65台,当月交货50台;二月份交货15台,二月份生产35台,当月交货25台,四月份交货10台;三月份生产65台,当月交货60台,四月份交货5台,4月份生产65台当月交货。
最小费用Z=235万元。
5.7假设在例5.15中四种产品的需求量分别是1000、2000、3000和4000件,求最优生产配置方案.【解】将表5-35所示的单件产品成本乘以需求量,为计算简便,从表中提出公因子1000. 产品1产品2产品3产品4工厂1581385401040工厂275100450920工厂3651405101000工厂4821106001120用匈牙利法得到最优表第一个工厂加工产品1,第二工厂加工产品4,第三个工厂加工产品3,第四个工厂加工产品2;总成本Z=1000×(58+920+510+110)=1598000注:
结果与例5.15的第2个方案相同,但并不意味着“某列(行)同乘以一个非负元素后最优解不变”结论成立。
5.8求解下列最小值的指派问题,其中第
(2)题某人要作两项工作,其余3人每人做一项工作.
(1)【解】最优解
(2)【解】虚拟一个人,其效率取4人中最好的,构造效率表为 12345甲2638415227乙2533445921丙2030475625丁2231455320戊2030415220最优解:
甲~戊完成工作的顺序为3、5、1、2、4,最优值Z=165最优分配方案:
甲完成第3、4两项工作,乙完成第5项工作,丙完成第1项工作,丁完成第2项工作。
5.9求解下列最大值的指派问题:
(1)【解】最优解
(2)【解】最优解第5人不安排工作。
表5-58成绩表(分钟)游泳自行车长跑登山甲20433329乙15332826丙18423829丁19443227戊173430285.10学校举行游泳、自行车、长跑和登山四项接力赛,已知五名运动员完成各项目的成绩(分钟)如表5-58所示.如何从中选拔一个接力队,使预期的比赛成绩最好.【解】设xij为第i人参加第j项目的状态,则数学模型为接力队最优组合乙长跑丙游泳丁登山戊自行车甲淘汰。
预期时间为107分钟。
习题六图6-396.1如图6-39所示,建立求最小部分树的0-1整数规划数学模型。
【解】边[i,j]的长度记为cij,设数学模型为:
图6-406.2如图6-40所示,建立求v1到v6的最短路问题的0-1整数规划数学模型。
【解】弧(i,j)的长度记为cij,设数学模型为:
6.3如图6-40所示,建立求v1到v6的最大流问题的线性规划数学模型。
【解】设xij为弧(i,j)的流量,数学模型为6.4求图6-41的最小部分树。
图6-41(a)用破圈法,图6-41(b)用加边法。
图6-41【解】图6-41(a),该题有4个解,最小树长为21,其中一个解如下图所示。
图6-41(b),最小树长为20。
最小树如下图所示。
6.5某乡政府计划未来3年内,对所管辖的10个村要达到村与村之间都有水泥公路相通的目标。
根据勘测,10个村之间修建公路的费用如表6-20所示。
乡镇府如何选择修建公路的路线使总成本最低。
表6-20两村庄之间修建公路的费用(万元)123456789101234567891012.810.59.68.57.713.812.713.112.611.413.911.28.67.58.314.815.78.59.68.98.013.212.410.59.38.812.714.812.713.615.89.88.211.713.69.78.910.513.414.69.110.512.68.98.8【解】属于最小树问题。
用加边法,得到下图所示的方案。
最低总成本74.3万元。
6.6在图6-42中,求A到H、I的最短路及最短路长,并对图(a)和(b)的结果进行比较。
图6-42【解】图6-42(a):
A到H的最短路PAH={A,B,F,H},{A,C,F,H}最短路长22;A到I的最短路PAI={A,B,F,I},{A,C,F,I}最短路长21。
对于图6-42(b):
A到H的最短路PAH={A,C,G,F,H},最短路长21;A到I的最短路PAI={A,C,G,F,I},最短路长20;结果显示有向图与无向图的结果可能不一样。
6.7已知某设备可继续使用5年,也可以在每年年末卖掉重新购置新设备。
已知5年年初购置新设备的价格分别为3.5、3.8、4.0、4.2和4.5万元。
使用时间在1~5年内的维护费用分别为0.4、0.9、1.4、2.3和3万元。
试确定一个设备更新策略,使5年的设备购置和维护总费用最小。
【解】设点vj为第j年年初购置新设备的状态,(i,j)为第i年年初购置新设备使用到第j年年初,弧的权为对应的费用(购置费+维护费),绘制网络图并计算,结果见下图所示。
总费用最小的设备更新方案为:
第一种方案,第1年购置一台设备使用到第5年年末;第二种方案,第1年购置一台设备使用到第2年年末,第3年年初更新后使用到第5年年末。
总费用为11.5万元。
图6-436.8图6-43是世界某6大城市之间的航线,边上的数字为票价(百美元),用Floyd算法设计任意两城市之间票价最便宜的路线表。
【解】教师可利用模板求解:
data\chpt6\ch6.xlsL1 v1v2v3v4v5v6v108.895.686v28.801051004v3910034.814v45.653012100v581004.81209v6641410090L2 v1v2v3v4v5v6v108.88.65.686v28.8085134v38.68034.814v45.65307.89v58134.87.809v66414990L3 v1v2v3v4v5v6v108.88.65.686v28.8085134v38.68034.812v45.65307.89v58134.87.809v66412990最优票价表:
v1v2v3v4v5v6v108.88.65.686v2085134v3034.812v407.89v509v60v1、v2、…、v6到各点的最优路线图分别为:
6.9设图6-43是某汽车公司的6个零配件加工厂,边上的数字为两点间的距离(km)。
现要在6个工厂中选一个建装配车间。
(1)应选那个工厂使零配件的运输最方便。
(2)装配一辆汽车6个零配件加工厂所提供零件重量分别是0.5、0.6、0.8、1.3、1.6和1.7吨,运价为2元/吨公里。
应选那个工厂使总运费最小。
【解】
(1)利用习题6.8表L3的结果 v1v2v3v4v5v6Maxv108.88.65.6868.8v28.808513412.8v38.68034.81212v45.65307.899v58134.87.80912.8v6641299012选第1个工厂最好。
(2)计算单件产品的运价,见下表最后一行。
计算单件产品的运费,见下表最后一列。
v1v2v3v4v5v6单件产品运费v108.88.65.68684.88v28.808513489.16v38.68034.81282.16v45.65307.8971.96v58134.87.80981.92v6641299082.2运价11.21.62.63.23.4选第4个工厂最好。
图6-446.10如图6-44,
(1)求v1到v10的最大流及最大流量;
(2)求最小割集和最小割量。
【解】给出初始流如下第一轮标号:
得到一条增广链,调整量等于5,如下图所示调整流量。
第二轮标号:
得到一条增广链,调整量等于2,如下图所示调整流量。
第三轮标号:
得到一条增广链,调整量等于3,如下图所示调整流量。
第四轮标号:
不存在增广链,最大流量等于45,如下图所示取,最小截集{(3,7),(4,7),(6,9),(8,10),最小截量等于45。
6.11将3个天然气田A1、A2、A3的天然气输送到2个地区C1、C2,中途有2个加压站B1、B2,天然气管线如图6-45所示。
输气管道单位时间的最大通过量cij及单位流量的费用dij标在弧上(cij,dij)。
求
(1)流量为22的最小费用流;
(2)最小费用最大流。
图6-45【解】虚拟一个发点和一个收点T6.11-1得到流量v=22的最小费用流,最小费用为271。
求解过程参看第4章PPT文档习题答案。
T6.11-13最小费用最大流如下图,最大流量等于27,总费用等于351。
6.12如图6-43所示,
(1)求解旅行售货员问题;
(2)求解中国邮路问题。
图6-43【解】
(1)旅行售货员问题。
距离表C 1234561∞8.895.68628.8∞105∞43910∞34.81445.653∞12∞58∞4.812∞966414∞9∞在C中行列分别减除对应行列中的最小数,得到距离表C1。
距离表C1 1234561∞3.23.400.60.422.8∞61∞0347∞001140.620∞7.2∞51.2∞07.2∞960010∞3.2∞由距离表C1,v1到v4,H1={v1,v4,v3,v5,v6,v2,v1},C(H1)=5.6+3+4.8+9+4+8.8=35.2去掉第1行第四列,d41=∞,得到距离表C2。
得到距离表C2 1235622.8∞6∞0347∞0114∞207.2∞51.2∞0∞9600103.2∞距离表C2的每行每列都有零,H2=H1={v1,v4,v3,v5,v6,v2,v1}就是总距离最小的Hamilton回路,C(H1)=35.2。
(2)中国邮路问题。
虚拟一条边取回路H1={v1,v3,v4},C(H1)=9+5+3=17,C(v1,v3)=9>C(H1)/2,调整回路。
所有回路满足最短回路的准则,上图是最短的欧拉回路,其中边(v1,v4)和(v4,v3)各重复一次。
习题七7.2
(1)分别用节点法和箭线法绘制表7-16的项目网络图,并填写表中的紧前工序。
(2)用箭线法绘制表7-17的项目网络图,并填写表中的紧后工序表7-16工序ABCDEFG紧前工序---ACAF、D、B、E紧后工序D,E G E G G G -表7-17工序ABCDEFGHIJKLM紧前工序---BBA,BBD,GC,E,F,HD,GC,EIJ,K,L紧后工序FE,D,F,G I,K H,J I,K I H,J I L M M M - 【解】
(1)箭线图:
节点图:
(2)箭线图:
7.3根据项目工序明细表7-18:
(1)画出网络图。
(2)计算工序的最早开始、最迟开始时间和总时差。
(3)找出关键路线和关键工序。
表7-18工序ABCDEFG紧前工序-AAB,CCD,ED,E工序时间(周)961219678【解】
(1)网络图
(2)网络参数工序ABCDEFG最早开始09921214040最迟开始015921344140总时差06001310(3)关键路线:
①→②→③→④→⑤→⑥→⑦;关键工序:
A、C、D、G;完工期:
48周。
7.4表7-19给出了项目的工序明细表。
表7-19工序ABCDEFGHIJKLMN紧前工序---A,BBB,CED,GEEHF,JI,K,LF,J,L工序时间(天)8571281716814510231512
(1)绘制项目网络图。
(2)在网络图上求工序的最早开始、最迟开始时间。
(3)用表格表示工序的最早最迟开始和完成时间、总时差和自由时差。
(4)找出所有关键路线及对应的关键工序。
(5)求项目的完工期。
【解】
(1)网络图
(2)工序最早开始、最迟开始时间(3)用表格表示工序的最早最迟开始和完成时间、总时差和自由时差工序tTESTEFTLSTLF总时差S自由时差FA80891790B5050500C7077700D12820172999E851351300F1772472400G161329132900H82937293700I14132733472020J51318192466K103747374700L232447244700M154762476200N124759506233(4)关键路线及对应的关键工序关键路线有两条,第一条:
①→②→⑤→⑥→⑦→→;关键工序:
B,E,G,H,K,M第二条:
①→④→⑧→⑨→→;关键工序:
C,F,L,M(5)项目的完工期为62天。
7.5已知项目各工序的三种估计时间如表7-20所示。
求:
表7-20工序紧前工序工序的三种时间(小时)ambA-91012BA6810CA131516DB8911EB,C151720FD,E91214
(1)绘制网络图并计算各工序的期望时间和方差。
(2)关键工序和关键路线。
(3)项目完工时间的期望值。
(4)假设完工期服从正态分布,项目在56小时内完工的概率是多少。
(5)使完工的概率为0.98,最少需要多长时间。
【解】
(1)网络图工序紧前工序工序的三种时间(小时)期望值方差ambA-9101210.170.25BA681080.4444CA13151614.830.25DB89119.1670.25EB,C15172017.170.6944FD,E9121411.830.6944
(2)关键工序:
A,C,E,F;关键路线:
①→②→④→⑤→⑥(3)项目完工时间的期望值:
10.17+14.83+17.17+11.83=54(小时)完工期的方差为0.25+0.25+0.6944+0.6944=1.8889(4)X0=56,56天内完工的概率为0.927(5)p=0.98,要使完工期的概率达到0.98,则至少需要56.82小时。
7.6表7-21给出了工序的正常、应急的时间和成本。
表7-21工序紧前工序时间(天)成本时间的最大缩量(天)应急增加成本(万元/天)正常应急正常应急A1512506535BA1210100120210CA74808933DB,C13116090215ED1410405243FC1613456035GE,F1086084212
(1)绘制项目网络图,按正常时间计算完成项目的总成本和工期。
(2)按应急时间计算完成项目的总成本和工期。
(3)按应急时间的项目完工期,调整计划使总成本最低。
(4)已知项目缩短1天额外获得奖金4万元,减少间接费用2.5万元,求总成本最低的项目完工期。
(1)正常时间项目网络图项目网络图总成本为435,工期为64。
(2)应急时间项目网络图总成本为560,工期为51。
(3)应急时间调整工序C、F按正常时间施工,总成本为560-9-15=536,完工期为51。
(4)总成本最低的项目完工期工序A、E分别缩短3天,总成本为435+15+12-6.5×7=416.5,完工期为57。
7.7继续讨论表7-21。
假设各工序在正常时间条件下需要的人员数分别为9、12、12、6、8、17、14人。
(1)画出时间坐标网络图
(2)按正常时间计算项目完工期,按期完工需要多少人。
(3)保证按期完工,怎样采取应急措施,使总成本最小又使得总人数最少,对计划进行系统优化分析。
【解】
(1)正常时间的时间坐标网络图
(2)按正常时间调整非关键工序的开工时间(3)略,参看教材。
7.8用WinQSB软件求解7.5。
7.9用WinQSB软件求解7.6。
习题八8.1在设备负荷分配问题中,n=10,a=0.7,b=0.85,g=15,h=10,期初有设备1000台。
试利用公式(8.7)确定10期的设备最优负荷方案。
【解】将教材中a的下标i去掉。
由公式得(g-h)/g(b-a)=0.2222,a0+a1+a2=1+0.7+0.49=2.19<2.222<a0+a1+a2+a3=2.533,n-t-1=2,t=7,则1~6年低负荷运行,7~10年为高负荷运行。
各年年初投入设备数如下表。
年份12345678910设备台数1000850723614522444377264184.81298.2如图8-4,求A到F的最短路线及最短距离。
【解】A到F的最短距离为13;最短路线A→B2→C3→D2→E2→F及A→C2→D2→E2→F8.3求解下列非线性规划
(1)
(2)(3)(4)(5)(6)【解】
(1)设s3=x3,s3+x2=s2,s2+x1=s1=C则有x3=s3,0≤x2≤s2,0≤x1≤s1=C用逆推法,从后向前依次有k=3,及最优解x3*=s3k=2,由故为极大值点。
所以及最优解x2*=s2k=1时,,由,得故已知知x1+x2+x3=C,因而按计算的顺序推算,可得各阶段的最优决策和最优解如下,由s2=s1-x1*=2C/3,由s3=s2-x2*=C/3,最优解为:
【解】
(2)设s3=x3,s3+x2=s2,s2+x1=s1=C则有x3=s3,0≤x2≤s2,0≤x1≤s1=C用逆推法,从后向前依次有k=3,及最优解x3*=s3k=2,由=4>0,故x2=为极小值点。
因而有k=1时,由知得到最优解【解】(3)设s3=x3,s3+x2=s2,s2+x1=s1=10则有x3=s3,0≤x2≤s2,0≤x1≤s1=10用逆推法,从后向前依次有k=3时,及最优解x3=s3k=2时,而。
讨论端点:
当x2=0时,x2=s2时如果s2>3时,k=1时,同理有,x1=0,f1(s1)=s12=100,x1=s1,f1(s1)=2s1=20(舍去)得到最优解【解】(4)设s3=x3,2s
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