北京市西城区学年高二上学期期末考试数学试题含答案.docx
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北京市西城区学年高二上学期期末考试数学试题含答案
北京市西城区2020—2021学年度第一学期期末试卷
2021.1
高二数学
本试卷共5页,共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案写在答题卡上,在试卷上作答无效。
第一部分(选择题共50分)
一、选择题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题列岀的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)在复平而内,复数z对应的点的坐标是(21),则复数Z二
(A)2-i(B)l-2i
(C)2+i(D)l+2i
(2)在(a+b)/l的展开式中,只有第4项的二项式系数最大,则,匸
(A)4(B)5
(C)6(D)7
⑶椭圆汩詁的焦点坐标为
(A)(5,0),(-5,0)
(B)(3,0),(-3,0)
(C)(0,5),(0,-5)
(D)(0,3),(0,-3)
(4)已知直线A:
or-y-l=0,厶:
ox+(a+2)y+l=0・若厶丄厶,则实数a=
(A)-1或1
(B)0或1
(C)一1或2
(D)一3或2
(5)已知平而&丄平而0,=下列结论中正确的是
(A)若直线加丄平面a,则milp
(B)若平而了丄平而a,贝0////?
(C)若直线加丄直线则加丄0
(D)若平而卩丄直线则了丄0
(6)将4张座位编号分别为1,2,3,4的电影票全部分给3人,每人至少1张•如果分给
同一人的2张电影票具有连续的编号,那么不同的分法种数是
(A)24
(B)18
(C)12
(D)6
(7)已知双曲线C:
4-—=1的两个焦点是,点P在双曲线C上.若C的离心率
/16
为】,且IP斥1=10,贝'JIPFJ=
3■
(A)4或16(B)7或13
(C)7或16(D)4或13
(8)在正三棱锥P-ABC中,AB=3./<4=2,则直线Q4与平WiABC所成角的大小为
(A)30°(B)45°
(C)60°(D)75°
(9)已知圆Q的方程为(x-«)2+(y-b)2=4,圆Q的方程为X+(y_b+i)2=i,其中
a.beR,那么这两个圆的位垃关系不可能为
(A)外离(B)外切
(C)内含(D)内切
2
(10)点M在直线/:
x=2上,若椭圆C:
x2+—=1上存在两点使得是等
4
腰三角形,则称椭圆C•具有性质P.下列结论中正确的是
(A)对于直线/上的所有点,椭圆C都不具有性质P
(B)直线/上仅有有限个点,使椭圆C具有性质P
(C)直线/上有无穷多个点(但不是所有的点),使椭圆C具有性质P
(D)对于直线/上的所有点,椭圆C都具有性质P
第二部分(非选择题共100分)
二、填空题共6小题,每小题4分,共24分。
(11)已知复数z=i-(l+i),贝ijlzl=—.
2
(12)若双曲线C:
F—L=l(〃>0)的焦距为2$贝忆=—:
C的渐近线方程为—・
lr
(13)设(X—2)4=a4x4+a3x3+a2x2+axx+a{y>贝Uax+a2+“3+=・
(14)在空间直角坐标系中,已知点A(L0,0).B(020),C(0,0,2).D(0.0,l),则直线Q
与BC所成角的大小是
(15)已知抛物线/=4a-的焦点为F,准线为/,点P在抛物线上,PQ丄/于点0.若
△PQF是锐角三角形,则点P的横坐标的取值范帀是—・
(16)如图,正方体ABCD-A.B^D,的棱长为1,分别为BgD、的中点,P是底三、解答题共6小题,共76分。
解答应写岀文字说明,演算步骤或证明过程。
而上一点.若AP〃平而BEF,
(17)(本小题10分)
生物兴趣小组有12名学生,其中正、副组长各1名,组员10名•现从该小组选派3名同学参加生物学科知识竞赛.
(18)(本小题12分) 已知圆C过原点O和点A(l,3),圆心在直线y=l±. (II)直线/经过点O,且/被圆C截得的弦长为2,求直线/的方程. (19)(本小题13分) 如图,在正三棱柱ABC—几色G中,AB=AA{,DEF分别是的中点. (I)求证: CF//平而ADE; (II)求证: 丄平jffiADE. (20)(本小题13分) 如图,设点A"在x轴上,且关于原点O对称•点P满足tanZP^B=2janZPBA=l, 且的而积为20. (I)求点P的坐标; (II)以43为焦点,且过点P的椭圆记为C.设M(i0,y0)是C上一点,且-1 求儿的取值范围.yk (21)(本小题14分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,PQ丄平而E为AD的中点,底而ABCQ是边长为2的正方形,且二而角P—BE-C的余弦值为近. (II)求点C到平而的距离. (22)(本小题14分) 22 已知椭圆C: 2+・=l(d>〃〉0)的一个焦点为F(-1.0),A(-“0),4S0),且crb- \A2F\=3. (I)求椭圆c的方程; (II)过点F的直线交椭圆C于点M记△4MN和△4M/V的面积分别为&和S? .当S厂S严甞~时,求直线MN的方程. 北京市西城区202—2021学年度第一学期期末试卷 高二数学参考答案 2021.1 一、选择题 (共10小题,每小题5分,共50分) (1)A (2)C(3)B (4) C (5) (6)B (7)A(8)A (9) C (10) 二'填空题 (共6小题,每小题4分,共24分) (11)>/2 (12)2 y=±2x (13)-15 (14)60° D D (16) (15)(l,+oo)注: (12)、(16)题每空2分。 三、解答题(共6小题,共76分) (17)(共10分)解: (I)正、副组长2人中有且只有1人入选, 选派方法数为C;Cfo=9O. (II)正.副组长2人都入选,且组员甲没有入选, 选派方法数为C;C;=9・ 正、副组长2人中有且只有1人入选,且组员甲没有入选,选派方法数为 所以正、副组长2人中至少有1人入选,且组员甲没有入选,选派方法数为 10分 9+72=81. (18)(共12分) 解: (I)设圆C的圆心坐标为(仏1)・……1分 依题意,有3+卩=血一1)2+22,......3分 解得d=2.……4分 从而圆C的半径为r=舶+F=x/5,……5分 所以圆C的方程为(x-2尸+(y_1尸=5.……6分 (II)依题意,圆C的圆心到直线/的距离为2.……7分 显然直线兀=0符合题意.……8分 当直线/的斜率存在时,设英方程为y=kx9即kx-y=O・……9分 所以 12—11 血+1 3 解得心一二・ 4 3所以直线/的方程为y=--x. 4 订0分 11分 12分 综上,直线/的方程为x=0或3x+4y=0. (19)(共13分) 解: (I)设AE(]BF=O,连接OD. 因为ABC-A.B,G为正三棱柱,且= 所以侧而AAB3为正方形.……1分 因为E,F分别是BB^AA,的中点, 所以O是BF的中点.……2分 又因为D是BC的中点, 所以OD//CF.……4分 因为ODu平而ADE,CFcz平而ADE, 所以CF〃平而ADE. (II)因为△ABC为正三角形, 所以AQ丄BC. 又CC|丄平而ABC, 所以AD丄Cq. 所以A£>丄平而£BCC|. 所以BC;丄AD. 连接BQ. 因为侧而B/CG为正方形, 所以BC]丄B,C. 所以BC;丄£>£. 所以SC】丄平面ADE. (20)(共13分) •8分 7分 10分 11分 12分 13分 解: (I)设A(—c,0),3(c,0)・ 所以^r=20, 解得c=5.……5分 所以点P的坐标为(-3,4).……6分 (II)由(I)得A(—5,0),3(5,0)・ 所tllPAl=7(-3+5)2+42=2>/5,IPBl=7(-3-5)2+42=4^5.……8分 22设以人B为焦点且过点P的椭圆方程为C: =+刍=1. “\r 贝iJfl=l(IPAl+lPBl)=3>/5,又X=a2-c2=20,……10分 2 22 所以椭圆c的方程为器+务=1.……11分 所以余+弟儿即£=20(1一善). 因为-1 所以16 W20.……12分 所以v0的取值范围是[-2x/5,^)U(4,275J.……13分 (21)(共14分) 解: (I)依题意,DA.DCQP两两互相垂直,如图 建立空间直角坐标系D-xyz・ 1分 设平面PEB的法向量为n=(勺,儿,心), 设PD=h(h>0)・由题意得E(LO.O),B(Z2.0),P(O.OM)・所以PE-(1,0,-/? ),EB=(1,2,0). 5=0.即 itEB=0, xo-%力=0’ xo+2y()=0. 2 f则〉'o=T,5冷 又因为PD丄平而ABCD, 所以平而ABCD的一个法向量为加=(0.0.1)・ 依题意’有唤5=緒 2 卫 一6' 解得h=2、 所以PD=2. 10分 (II)由(I)得,平而P£B的法向量为w=(2-lJ). 11分 又C(020), 所以BC=(-2,0,0)・ 12分 所以点C到平面哪的距离为罄件芈 14分 ……5分 6分 ……8分 10分 ……12分 ……13分 14分 所以gFI=a+c=3. 所以lr=n2-c2=3.3分 、•> 所以椭圆C的方程为二+匚=1・……4分 43 (II)当直线MN的斜率不存在时,其方程为无=-1・ 此时M(-导N(-1,-彳)‘或M(-1厂尹(-1肩)・ 39 所以5=? 即S2-S1=3,不合题意. 当直线MN的斜率存在时,设其方程为y=k(x+\)伙工0).由得(3+4,庆+弘3+4“一12=0. [3x2+4y2=12 •rt.-、-.z•nj.l8Zc"4«~—12 攻: M(X]」),N(X2」2),则坷+七=_3+4川,a-x2=3+4A: 因为S^ll^FIdy.l+lyJ),S^ll^FKIyJ+ly,! ), 22 所以S? -5,=ix2x(|xl+l儿|)=|yi-y2\=I^(a--a-,)I =lklJ(X]—4兀内 _12lklJ/+1 =3+4k2• 令岑黑王L罟,解得^±i. 所以直线MN的方程为—y+l=0,或x+y+l=O.
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