等差数列应用题15.docx

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等差数列应用题15

【题型】应用题

【题目】

2，5，8，11，14，…．

上面是按规律排列的一串数，问其中的第1995项是多少?

【答案】

5984

【解析】

注意到从第2项开始，后一项比前一项大3，于是第1995项比第1项大1994个3，所以第1995项为2+1994×3＝5984．

【难度】

难度2

【知识点】等差数列应用题

【题目】

在从1开始的自然数列中，第100个不能被3除尽的数是多少?

【答案】

149

【解析】

注意到从1开始，每3个数中有2个数不能被3除尽，并把它们作为一组，有100÷2＝50，所以第100个数为第50组的第2个数，即为49×3+2＝149．

【难度】

难度2

【知识点】等差数列应用题

【题目】

把1988表示成28个连续偶数的和，那么其中最大的那个偶数是多少?

【答案】

98

【解析】

1988÷28＝71，所以这28个连续偶数的中间两个数平均数为71，则这两个数为70、72，如果从小到大排列，对应为第14、15项．

而最大的项的第28项，比15项要大28－15＝13个2，即26，所以最大的那个偶数为72+26＝98．

【难度】

难度2

【知识点】等差数列应用题

【题目】

在大于1000的整数中，找出所有被34除后商与余数相等的数，那么这些数的和是多少?

【答案】

5425

【解析】

1000÷34＝29……14，所以商从29开始；

当商为29时，余数也是29，那么这个数为29×34+29＝1015；

当商为30时，余数也是30，那么这个数为30×34+30＝1050；

当商为31时，余数也是31，那么这个数为31×34+31＝1085；

当商为32时，余数也是32，那么这个数为32×34+32＝1120；

当商为33时，余数也是33，那么这个数为33×34+33＝1155．

显然，余数不能等于或超过除数，所以余数最大的33，则满足题意的商最大也只能是33，

所以，这些数的和为1015+1050+1085+1120+1155＝1085×5＝5425．

【难度】

难度2

【知识点】等差数列应用题

【题目】

盒子里装着分别写有l，2，3，…，134，135的红色卡片各一张．从盒中任意摸出若干张卡片，并算出这若干张卡片上各数的和除以17的余数，再把这个余数写在另一张黄色卡片上放回盒内．经过若干次这样的操作后，盒内还剩下两张红色卡片和一张黄色卡片．已知这两张红色卡片上写的数分别是19和97，求那张黄色卡片上所写的数．

【答案】

3

【解析】

这135张卡片上数字之和为（l+2+3+…+134+135）＝（1+135）×135÷2＝9180，除以17的余数为0，而每次操作不改变盒内卡片上数字之和除以17的余数．

现在有红色卡片19和97未摸出，对应除以17的余数分别为2和12，它们的和除以17的余数对应为2+12＝14，14与黄色卡片上的数字之和应是17的倍数，而黄色卡片的数字不会超过16，所以只能是17－14＝3．

【难度】

难度2

【知识点】等差数列应用题

【题目】

下面的各算式是按规律排列的：

l+l，2+3，3+5，4+7，1+9，2+11，3+13，4+15，1+17，…，那么其中第多少个算式的结果是1992？

【答案】

995

【解析】

我们接着往后再写几个数，l+l，2+3，3+5，4+7，1+9，2+11，3+13，4+15，1+17，2+19，3+21，4+23，1+25，2+27，3+29，4+31，…

这些数的和为（2，5，8，11），（10，13，16，19），（18，21，24，27），（26，29，32，35），……

有每四个数一组，从第二组开始，每组数的第一个数字比前一组的第一个数大8，组内的数依次比前一个数增加3，3，3；

有（1992－2）÷8＝248……6，所以算式结果为1992的数在第249组内，有249组第1个数为248×8+2＝1986，则第2、3、4个数为1989，1992，1995，

即为第249组内的第3个数，即为（249－1）×4+3＝995，即为第995个算式．

【难度】

难度3

【知识点】等差数列应用题

【题目】

如图12-1，数表中的上、下两行都是等差数列，那么同一列中两个数的差（大数减小数）最小是多少?

1

5

9

……

1329

1333

1000

997

994

……

4

1

图12-1

【答案】

2

【解析】

第1、2、3、4列的两个数的差依次为1000－1＝999，997－5＝992，994－9＝985，991－13＝978，…，

依次减小7，而999÷7＝142……5，第142列的上面一行为1+142×4＝569，下面一行为1000－142×3＝574，相差5．

那么再往右一列，即143列，上面的数为569+4＝573，下面的数变为574－3＝571，这样差就会由5变为2．再往右，下面一行的数始终大于上面一行的数，差还是依次增大7．

所以，同一列中两个数的差最小是2．

【难度】

难度2

【知识点】等差数列应用题

【题目】

有19个算式：

……

那么第19个等式左、右两边的结果是多少?

【答案】

8547

【解析】

注意到第1个等式，左边有3个数相加，右边有2个数相加；

第2个等式，左边有4个数相加，右边有3个数相加；

第3个等式，左边有5个数相加，右边有4个数相加；

所以，第19个等式左边有19+2＝21个数相加，右边有20个数相加；

于是，第19个等式左边的第一数为[3+4+5+6+…+（18+2）]+[2+3+4+5+…+（18+1）]+1＝207+189+1＝397．

所以第19个等式为397+398+…+（397+20）＝[（397+20）+1]+[（397+20）+2]+[（397+20）+2]+[（397+20）+3]+…+[（397+20）+20]－3＝8547．

即第19个等式左、右两边的结果是8547．

【难度】

难度2

【知识点】等差数列应用题

【题目】

已知两列数：

2，5，8，1l，…，2+（200－1）×3；

5，9，13，17，…，5+（200—1）×4．

它们都有200项，问这两列数中相同的项数共有多少对?

【答案】

50

【解析】

显然5是这两个数列第一次出现的相同项．

第一列数，从第二项开始，每一项比前一项大3，

第二列数，从第二项开始，每一项比前一项大4．

于是，第一列数增大4个3，即12；与第二列数增大3个4，也是12．

如果两列数无穷多，那么第一列数从第二项5开始每4个数有一个与第二列的某一项相等；而第二列数从第一项5开始每3个数有一个数与第一列的某一项相等．

现在第一列数只有200项，（200－1）÷4＝49……3，所以最多有49+1＝50个数对应与第二列的某项相同；

而第二列数也只有200项，200÷3＝66……2，所以最多有66+1＝67个数对应与第一列的某项相同．

所以，第一列有50个数对应与第二列的数相等，即为50对．

【难度】

难度2

【知识点】等差数列应用题

【题目】

如图12-2，有一个边长为1米的正三角形，在每条边上从顶点开始，每隔2厘米取一个点，然后以这些点为端点，作平行于正三角形各边的线段．这些平行线将大正三角形分割成许多边长为2厘米的小正三角形．求：

（1）边长为2厘米的小正三角形的个数，

（2）所作平行线段的总长度．

【答案】

2500,7350

【解析】

（1）显然划分后，第1行有1个边长为2的小正三角形，第2、3、4、5、6、…依次有3、5、7、9、11个小正三角形．

现在将边长为1米，即100厘米的正三角形的每边每隔2厘米取点，所以有100÷2＝50行，所以这50行有小正三角形

1+3+5+7+9+11+…+（50×2－1）＝（1+99）×50÷2＝2500个；

（2）我们先看平行与底边的，边长依次为2、4、6、8、10、…、98，这些线段长度的和为（2+98）×49÷2＝2450，而这样的情况在两腰也存在，所以这些平行线的长度和2450×3＝7350（厘米）．

【难度】

难度3

【知识点】等差数列应用题

【题目】

某工厂11月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续派相同人数的工人到分厂工作，直到月底，总厂还剩工人240人．如果月底统计总厂工人的

工作量是8070个工作日（一人工作一天为1个工作日），且无人缺勤．那么，这月由总厂派到分厂工作的工人共多少人?

【答案】

60

【解析】

由题中条件知，总厂11月份每天的工作人数构成一等差数列．由等差数列的求和公式知，全部的工作日的计算方法为：

（第一天人数+最后一天人数）×天数÷2．

已知最后一天为240人，11月为30天，全部工作日统计为8070，故而可求出第一天人数为：

8070×2÷30－240＝298人．

于是总厂每天派出的人数为：

（298－240）÷（30－1）＝2人．11月份总共派出了30×2＝60人．

【难度】

难度3

【知识点】等差数列应用题

【题目】

小明读一本英语书．第一次读时，第一天读35页，以后每天都比前一天多读5页，结果最后一天只读35页便可读完；第二次读时，第一天读45页，以后每一天都比前一天多读5页，结果最后一天只需读40页便可读完．问这本英语书共有多少页?

【答案】

385

【解析】

小明两种读法有

35

40

45

50

……

45

50

……

注意到，如果小明第一种读法所需的天数比第二种读法所需的天数多2天，那么第一种读法比第二种读法多读35+40－（40－35）＝70页，而实际上两种读法的所读的书的页数相等，有第二种读法在最后多出一个读70页的这一天．

则第二种读法共读了（45+50+…+70）+40，括号内是一个公差为5的等差数列，那么共有（70－45）÷5+1＝6项，所以有（45+50+…+70）+40＝（45+70）×6÷2+40＝385页．

即这本英语书有385页．

【难度】

难度3

【知识点】等差数列应用题

【题目】

某森林公园计划将园林中的150棵松树栽在它附近的一条公路旁．第一棵栽在离园林300米的地方，以后每隔50米栽一棵．公园有一辆汽车，每次能运送9棵松树，用这辆汽车将这150棵松树从园林运到目的地，然后返回园林，最少要行驶多少米?

【答案】

141100

【解析】

由题意知我们需将种树的地点按离园林的距离由远至近每9个分成一组，但是其中的最后一组只有6个地点．（注意，为什么是由远至近来分组，而不是由近至远来分组）

汽车依次将树运到各组，需要走的路程最少是该组离园林最远的地点到园林距离的2倍．最远点离园林的距离为300+（150－1）×50＝7750，下一组最远点离园林的距离为7750－9×50＝7300，再下一组为7300－9×50＝6850，…，恰好构成一个公差为450的等差数列．

又由于150÷9＝16……6，故应共有17组，最后一项为：

7750－（17－1）×450＝550．

于是汽车需要走的最少路程为：

（7750＋550）×17÷2×2＝141100米．

【难度】

难度3

【知识点】等差数列应用题

【题目】

7个小队共种树100棵，各小队种的棵数都不相同，其中种树最多的小队种了18棵．种树最少的小队最少种了多少棵树?

【答案】

7

【解析】

我们知道种树较多的6个小队最多能种18+17+16+15+14+13＝93棵，所以，最少的小队最少种100－93＝7棵．

【难度】

难度3

【知识点】等差数列应用题

【题目】

将14个互不相同的自然数，从小到大依次排成一列．已知它们的总和是170；如果去掉最大的数及最小的数，那么剩下的数总和是150．在原来排成的次序中，第二个数是多少?

【答案】

7

【解析】

最大数与最小数之和为20，故最大数不会超过19．

从大到小排列，剩下的数依次不会超过18、17、16、…、7．而由于：

7+8+…+18=150．

由题意有剩下的12个数之和恰为150，于是这12个数只能取上面的情形．

在原来的次序中，第二个数为7．

【难度】

难度3

【知识点】等差数列应用题