数学分析教案-(华东师大版)第十二章-数项级数.doc

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《数学分析》教案

第十二章数项级数

教学目的：

1.明确认识级数是研究函数的一个重要工具；2.明确认识无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的；3.理解并掌握收敛的几种判别法，记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性。

教学重点难点：

本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别；难点是一般级数敛散性的判别法。

教学时数：

18学时

§1级数的收敛性

一．      概念：

1．     级数：

级数，无穷级数;通项（一般项,第项）,前项部分和等概念（与中学的有关概念联系）.级数常简记为.

2.         级数的敛散性与和:

介绍从有限和入手,引出无限和的极限思想.以在中学学过的无穷等比级数为蓝本,定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念.

例1讨论几何级数的敛散性.（这是一个重要例题！

）

解时,.级数收敛;

时,级数发散;

时,,,级数发散;

时,,,级数发散.

综上,几何级数当且仅当时收敛,且和为（注意从0开始）.

例2讨论级数的敛散性.

解（利用拆项求和的方法）

例3 讨论级数的敛散性.

解设,

=

.

.

因此,该级数收敛.

例4讨论级数的敛散性.

解,.级数发散.

3.         级数与数列的关系:

对应部分和数列{},收敛{}收敛;

对每个数列{},对应级数,对该级数,有=.于是,数列{}收敛级数收敛.

可见,级数与数列是同一问题的两种不同形式. 

4.级数与无穷积分的关系:

其中.无穷积分可化为级数;

对每个级数,定义函数,易见有

=.即级数可化为无穷积分.

综上所述,级数和无穷积分可以互化,它们有平行的理论和结果.可以用其中的一个研究另一个.

二.           级数收敛的充要条件——Cauchy准则：

把部分和数列{}收敛的Cauchy准则翻译成级数的语言，就得到级数收敛的Cauchy准则.

Th（Cauchy准则）收敛和N,.

由该定理可见,去掉或添加上或改变（包括交换次序）级数的有限项,不会影响级数的敛散性.但在收敛时,级数的和将改变.去掉前项的级数表为或.

系（级数收敛的必要条件）收敛.

例5证明级数收敛.

证显然满足收敛的必要条件.令,则当时有

应用Cauchy准则时，应设法把式||不失真地放大成只含而不含的式子，令其小于，确定.

例6判断级数的敛散性.

（验证.级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件）

例7 （但级数发散的例）证明调和级数发散.

证法一（用Cauchy准则的否定进行验证） 

证法二证明{}发散.利用已证明的不等式

.即得，.

三．收敛级数的基本性质：

（均给出证明）

性质1收敛，—Const收敛且有=

（收敛级数满足分配律）

性质2和收敛，收敛,且有

=.

问题:

、、三者之间敛散性的关系.

性质3若级数收敛,则任意加括号后所得级数也收敛,且和不变.（收敛数列满足结合律）

例8考查级数从开头每两项加括号后所得级数的敛散性.该例的结果说明什么问题?

§2正项级数

一.正项级数判敛的一般原则:

1.         正项级数:

↗;任意加括号不影响敛散性.

2.         基本定理:

Th1设.则级数收敛.且当发散时,有,.（证）

正项级数敛散性的记法.

3.         正项级数判敛的比较原则:

Th2设和是两个正项级数,且时有,则

ⅰ><,<;

ⅱ>=,=.（ⅱ>是ⅰ>的逆否命题）

例1 考查级数的敛散性.

解有

例2设.判断级数的敛散性.

推论1（比较原则的极限形式）设和是两个正项级数且,则

ⅰ>时,和共敛散;

ⅱ>时,<,<;

ⅲ>时,=,=.（证）

推论2设和是两个正项级数,若=，特别地，若～,，则<=.

例3判断下列级数的敛散性:

⑴;（～）;⑵;⑶. 

二.           正项级数判敛法:

1．检比法：

亦称为D’alembert判别法.

用几何级数作为比较对象,有下列所谓检比法.

Th3设为正项级数,且及时

ⅰ>若,<;

ⅱ>若,=.

证ⅰ>不妨设时就有成立,有

依次相乘,,即

.由,得,<.

ⅱ>可见往后递增,.

推论（检比法的极限形式）设为正项级数,且.则ⅰ><,<;ⅱ>>或=,=.（证）

註倘用检比法判得=,则有.

检比法适用于和有相同因子的级数,特别是中含有因子者.

例4判断级数 

的敛散性.

解,.

例5讨论级数的敛散性.

解.

因此,当时,;时,;时,级数成为,发散.

例6判断级数的敛散性.

注意对正项级数，若仅有，其敛散性不能确定.例如对级数和,均有，但前者发散,后者收敛.

2.检根法（Cauchy判别法）:

也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法.

Th4设为正项级数,且及,当时,

ⅰ>若,<;

ⅱ>若,=.（此时有.）（证）

推论（检根法的极限形式）设为正项级数,且.则,<;,=.（证）

检根法适用于通项中含有与有关的指数者.检根法优于检比法. 

例7研究级数的敛散性.

解,.

例8判断级数和的敛散性.

解前者通项不趋于零,后者用检根法判得其收敛. 

3．积分判别法：

Th5设在区间上函数且↘.则正项级数与积分共敛散.

证对且

. 

例9讨论级数的敛散性.

解考虑函数0时在区间上非负递减.积分当时收敛,时发散.级数当时收敛,时发散.时,,级数发散.

综上,级数当且仅当时收敛. 

例10讨论下列级数的敛散性:

⑴;⑵.

习题课

一．直接比较判敛：

对正项级数，用直接比较法判敛时,常用下列不等式:

⑴.

⑵对,有.

⑶;特别地,有

.

⑷时,有.

⑸.

⑹充分大时,有.

例1判断级数的敛散性.

解时,,（或）.……

例2判断级数的敛散性,其中.

解时,有;

时,.

例3设数列有界.证明.

证设.

例4设且数列有正下界.证明级数.

证设.

例5.若,则.

证;又

.

例6设.若级数和收敛,则级数收敛.

例7设.证明

⑴,,;

⑵和之一或两者均发散时,仍可能收敛;

⑶,,.

证⑴充分大时,.

⑵取.

⑶. 

二.利用同阶或等价无穷小判敛:

例8判断下列级数的敛散性:

⑴;⑵;⑶;

⑷;⑸.

例9判断下列级数的敛散性:

⑴;⑵.

註设正项级数的通项为的有理分式.当为的假分式时,由于,;若为的真分式,倘用检比法,必有.

有效的方法是利用等价无穷小判别法.

例10设函数在点有连续的二阶导数,且.试证明:

⑴若,则级数发散.

⑵若,则级数收敛.

（2002年西北师大硕士研究生入学试题）

解把函数在点展开成带二阶Lagrange型余项的Maclaurin公式,有,介于与之间.

⑴若,则当充分大时不变号,可认为是同号级数.有

∽,发散.

⑵若注意到在点连续,在点的某邻域内有界,设

有||=.

收敛.

如例10所示，当时，常用Maclaurin公式确定的等价无穷小.

例11判断级数的敛散性,其中且.

解 

三．利用级数判敛求极限：

原理:

常用判定级数收敛的方法证明或.

例12证明.

例13证明.

例14设↘.若,.

证对,由,有

即;

即.

于是,时总有.此即.

§3一般项级数 

一.交错级数:

交错级数,Leibniz型级数. 

Th1（Leibniz）Leibniz型级数必收敛,且余和的符号与余和首项相同,并有.

证（证明部分和序列的两个子列和收敛于同一极限.为此先证明递增有界.）

↗;

又,即数列有界.

由单调有界原理,数列收敛.设.

..

由证明数列有界性可见,.余和亦为型级数,余和与同号,且.

例1判别级数的敛散性.

解时,由Leibniz判别法,收敛;时,通项,发散.

二.绝对收敛级数及其性质:

1.  绝对收敛和条件收敛:

以Leibniz级数为例,先说明收敛绝对收敛.

Th2（绝对收敛与收敛的关系）,收敛.

证（用Cauchy准则）. 

一般项级数判敛时,先应判其是否绝对收敛. 

例2判断例1中的级数绝对或条件收敛性. 

2.绝对收敛级数可重排性:

⑴同号项级数：

对级数，令

则有ⅰ>和均为正项级数,且有和;

ⅱ>,.

⑵同号项级数的性质:

Th3ⅰ>若，则，.

ⅱ>若条件收敛,则,.

证ⅰ>由和,ⅰ>成立.

ⅱ>反设不真,即和中至少有一个收敛,不妨设.由=,=以及和收敛,.而,,与条件收敛矛盾.

⑶绝对收敛级数的可重排性:

更序级数的概念. 

Th4设是的一个更序.若,则,且=.

证ⅰ>若，则和是正项级数,且它们的部分和可以互相控制.于是,,,且和相等.

ⅱ>对于一般的,=,=.正项级数和分别是正项级数和的更序.由,据Th1,和收敛.由上述ⅰ>所证,有,,且有=,=,=.

由该定理可见,绝对收敛级数满足加法交换律.是否只有绝对收敛级数才满足加法交换律呢?

回答是肯定的.

Th5（Riemann）若级数条件收敛,则对任意实数（甚至是）,存在级数的更序,使得=.

证以Leibniz级数为样本,对照给出该定理的证明.

关于无穷和的交换律,有如下结果:

ⅰ>若仅交换了级数的有限项,的敛散性及和都不变.

ⅱ>设是的一个更序.若,使在中的项数不超过,则和共敛散,且收敛时和相等.

三.级数乘积简介:

1.级数乘积:

级数乘积,Cauchy积.[1]P20—21.

2．级数乘积的Cauchy定理:

Th6（Cauchy）设,,并设=,=.则它们以任何方式排列的乘积级数也绝对收敛,且乘积级数的和为.（证略）

例3几何级数

是绝对收敛的.将按Cauchy乘积排列,得到

.

四.型如的级数判敛法：

1．Abel判别法：

引理1（分部求和公式，或称Abel变换）设和（）为两组实数.记.则

.

证注意到,有

. 

分部求和公式是离散情况下的分部积分公式.事实上,

.

可见Abel变换式中的相当于上式中的,而差相当于,和式相当于积分.

引理2（Abel）设、和如引理1.若单调,又对,有，则.

证不妨设↘.

.

系设↘,（）.和如.有.

（参引理2证明）

Th7（Abel判别法）设ⅰ>级数收敛，ⅱ>数列单调有界.则级数收敛.

证（用Cauchy收敛准则,利用Abel引理估计尾项）

设,由收敛,对时,对,有.于是当时对有

.

由Cauchy收敛准则,收敛.

2.Dirichlet判别法:

Th8（Dirichlet）设ⅰ>级数的部分和有界,ⅱ>数列单调趋于零.则级数收敛.

证设,则,对,有

.

不妨设↘0,对.此时就有

.

由Cauchy收敛准则,收敛.

取↘0,,由Dirichlet判别法,得交错级数收敛.可见Leibniz判别法是Dirichlet判别法的特例.

由Dirichlet判别法可导出Abel判别法.事实上,由数列单调有界,收敛,设.考虑级数,单调趋于零,有界,级数收敛,又级数收敛,级数收敛.

例4设↘0.证明级数和对收敛.

证

，

时，，.

可见时,级数的部分和有界.由Dirichlet判别法推得级数收敛.同理可得级数数收敛.

习题课

例1判断级数的敛散性.

解注意到,所论级数绝对收敛,故收敛.（用D-判法亦可）.

例2考查级数的绝对及条件收敛性.

解时为Leibniz型级数,……,条件收敛;

 时,绝对收敛.

例3若.交错级数是否必收敛?

解未必.考查交错级数

.

这是交错级数,有.但该级数发散.因为否则应有级数

收敛.而.

由该例可见,在Leibniz判别法中,条件单调是不可少的.

例4判断级数

的敛散性.

解从首项开始,顺次把两项括在一起,注意到,以及级数,所论级数发散.

例5设级数收敛.证明级数收敛.

证.由Abel或Dirichlet判法,收敛.

例6,判断级数的敛散性.

解.

现证级数收敛:

因时不

又↘,由Dirichlet判法,级数收敛.

故本题所论级数发散. 

例7判断级数的绝对收敛性.

解由Dirichlet判法,得级数收敛.但. 

仿例6讨论,知本题所论级数条件收敛.

例8设级数绝对收敛,收敛.证明级数收敛.证先证数列收敛.事实上,收敛,收敛.

令,则数列收敛,故有界.设,于是由Abel变换,有

（或

而,收敛.又数列和收敛,数列收敛,部分和数列收敛.

例9设数列收敛,级数收敛.证明级数收敛.

证注意到,

收敛.

例10设↘,.证明级数收敛.

证法一由↘,↘,.因此,所论级数是Leibniz型级数,故收敛.

证法二,↘,.由Dirichlet判法,收敛.

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