九年级春季班第11讲平行四边形的存在性问题教案教学设计导学案.docx
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九年级春季班第11讲平行四边形的存在性问题教案教学设计导学案
在几何中,平行四边形的判断方法有以下几条:
①两组对边相互平行;②两组对边分别相等;③一组对边平行且相等;④对角线相互均分;⑤两组对角相等。
在压轴题中,常常与函数(坐标轴)联合在一同,运用到④⑤的状况较少,更多的是从边的平行、相等角度来获得平行四边形.
1、知识内容:
已知三点后,其实已经固定了一个三角形(平行四边形的一半),如图.第四个点M则
有3种取法,过3个极点作对边的平行线且取相等长度即可(如图中3个M点).
2、解题思路:
(1)依据题目条件,求出已知3个点的坐标;
(2)用一点及其对边两点的关系,求出一个可能点;
(3)改换极点,求出全部可能的点;
(4)依据题目实质状况,考证全部可能点能否知足要求并作答.
【例1】如图,抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A、B,此抛物线与x轴的另一个交点
为C,抛物线的极点为D.
(1)求此抛物线的分析式;
(2)点P为抛物线上的一个动点,求使的点P的坐标;
(3)点M为平面直角坐标系上一点,写出使点M、A、B、D为平行四边形的点M的
坐标.
【答案】看法析.
【分析】解:
(1)易得,A、B坐标分别为(0,-3)和(3,0),代入抛物线分析式得,b=-2,c=3.
∴抛物线分析式为:
;
(2)∵极点D为(1,-4),C点为(-1,0),
∴.
∴.
∴P点纵坐标的绝对值为,
即P点纵坐标为±5(抛物线上最小为-4,负舍).
∴P点纵坐标为5,
代入抛物线分析式,解得:
或,
∴P点为(4,5)或(-2,5);
(3)过A、B、D分别作BD、AD、AB的平行线,
所得的三个交点即为知足条件的M的地点,
分别为(-2,-7)、(4,-1)、(2,1).
【总结】本题主要考察函数背景下的面积问题及点的存在性,注意本题中已知三点求第四个
点结构平行四边形时,利用平移的方法求解即可.
【例2】如图,已知抛物线与y轴交于点C,与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),
点B的坐标为(1,0),tan∠OBC=3.
(1)求抛物线的分析式;
(2)点E在x轴上,点P在抛物线上,能否存在以A、C、E、P为极点且以AC为一
边的平行四边形,若存在,写出点P的坐标;
(3)抛物线的对称轴与AC交于点Q,说明以Q为圆心,以OQ为半径的圆与直线BC
的关系.
【答案】看法析.
【分析】解:
(1)∵B点坐标为(1,0),tan∠OBC=3.
∴OC=3,C点坐标为(0,-3).
将B、C两点代入y=ax2+3ax+c,
∴抛物线的分析式为;
(2)A点坐标为(-4,0),C点为(0,-3),
平行四边形以AC为一边,
则它的对边为EP,两边平行且相等.
设E点的坐标为(e,0)分状况议论,
①P在E的右下方,则P点坐标为(e+4,-3).
将P点代入抛物线方程,能够解得:
e=-7.
②P在E的左上方,则P点坐标为(e-4,3).
将P点代入抛物线方程,解得:
,
∴P点为(-3,-3)或或;
(3)直线AC的分析式为,抛物线得对称轴为,
∴Q点坐标为,
∴圆Q的半径为.
∵QC长度为,QC ∴圆Q与BC订交. 【总结】本题主要考察函数背景下的平行四边形的存在性问题,此外考察了直线与圆的地点 关系,注意利用相应的数目关系去判断. 【例3】如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx+b分别与x轴负半轴交于点A,与y轴 正半轴交于点B,经过点A,点B(圆心P在x轴负半轴上),已知AB=10,AP=. (1)求点P到直线AB的距离; (2)求直线y=kx+b的分析式; (3)在上能否存在点Q,使以A、P、B、Q为极点的四边形是菱形? 若存在,恳求出点Q的坐标;若不存在,请说明原因. 【答案】看法析. 【分析】 (1)过点P作,垂足为D, 由垂径定理,得AD=DB=5; 在中,由AD=5,AP=, 得PD=; (2)由,,得: ∽, ∴OA=8,OB=6, ∴A(,0),B(0,6) 易得直线分析式为: ; (3)在上不存在点Q,使以A、P、B、Q为极点的四边形是菱形.∵PA=PB,, ∴以A、P、B、Q为极点的是菱形的极点Q只好在PD的延伸线上. 延伸PD至点Q,使PD=DQ,AD=DB,且得菱形APBQ, 但PQ=2PD=大于半径PA, ∴点Q在外, 即在上不存在点Q,使以A、P、B、Q为极点的四边形是菱形. 【总结】本题主要考察函数背景下与圆相联合的问题,注意利用圆的有关定理解决相应问题,第(3)问中注意利用菱形性质去判断. 1、知识内容: 在此类问题中,常常是已知一条边,而它的对边为动边,需要利用这组对边平行且 相等列出方程,从而解出有关数值.更复杂的有,一组对边的两条边长均为变量,需要 分别表示后才可列出方程进行求解. 2、解题思路: (1)找到或设出必定平行的两条边(一组对边); (2)分别求出这组对边的值或函数表达式; (3)列出方程并求解; (4)返回题面,考证求得结果. 【例4】如图,抛物线与y轴交于点A(0,1),过点A的直线与抛物线交于另一点B,过点 B作BC⊥x轴,垂足为 C. (1)求抛物线的表达式; (2)点P是x轴正半轴上的一动点,过点P作PN⊥x轴,交 直线AB于点M,交抛物线于点N,设OP的长度为m. ①当点P在线段OC上(不与点O、C重合)时,试用含m的 代数式表示线段PM的长度; ②联络CM、BN,当m为什么值时,四边形BCMN为平行四边形? 【答案】看法析. 【分析】 (1)将A、B代入抛物线,可解得抛物线的分析式为. (2)由题目中条件,易得直线AB的分析式为. ①∵P点坐标为(m,0),M点坐标为(m,), ∴; ②∵BC//MN,∴只要要MN=BC即能使MNBC为平行四边形. 当点P在线段OC上时, 又∵,, ∴,解得: 或; 当点P在线段OC的延伸线上时, ,即, 解得: (不合题意,舍去),, 综上所述,当m的值为1或2或时,四边形BCMN为平行四边形. 【总结】本题主要考察了二次函数的综合,在解题时要注意分析式确实定, 论的数学思想. 而且注意分类讨 【例5】如图,已知抛物线经过A(0,1)、B(4,3)两点. (1)求抛物线的分析式; (2)求tan∠ABO的值; (3)过点B作BC⊥x轴,垂足为C,在对称轴的左边且平行于y轴的直线交线段 于点N,交抛物线于点M,若四边形MNCB为平行四边形,求点M的坐标. 【答案】看法析. AB 【分析】解: (1)将A、B两点代入抛物线, 可得抛物线分析式为; (2)过A作AH⊥BO于H, 可得. 又∵, ∴. 又∵, ∴. ∴; (3)∵BC//y轴,MN//y轴, ∴BC//MN. 要使MNCB为平行四边形,只要要BC=MN即可. 直线AB的分析式为. 设N点为(n,),则M点为(n,),又∵BC=3, ∴. 解得: 或(与M在对称轴左边矛盾,舍). ∴M点坐标为(1,). 【总结】本题主要考察了二次函数的综合,注意锐角三角比的运用及平行四边形的存在性的 议论. 【例6】如图,在中,∠C=90°,AC=6,BC=8,动点P从点A开始沿边AC向点C以 每秒1个单位长度的速度运动,动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长 度的速度运动,过点P作PD//BC,交AB于点D,联络PQ.点P、Q分别从点A、C 同时出发,当此中一点抵达端点时,另一点也随之停止运动,设运动的时间为t秒(t0). (1)直接用含t的代数式分别表示: QB=_______,PD=_______; (2)能否存在t的值,使四边形PDBQ为菱形? 若存在,求出t的值;若不存在,说明原因,并研究怎样改变点Q的速度(匀速运动),使四边形PDBQ在某一时辰为菱形,求点Q的速度. 【答案】看法析. 【分析】 (1),. (2)不存在. 要使PDBQ为菱形,第一它应当是平行四边形, ∴PD=BQ,即.解得: . 此时,而. ∴此时不为菱形,不存在t使得PDBQ为菱形. 设Q的速度为v时,存在t使得PDBQ为菱形,∴,,. ∴,即,解得: , ∴,即,解得: . 即当点Q的速度为每秒个单位长度时,经过秒,四边形PDBQ是菱形. 【总结】本题主要考察几何图形背景下的动点问题,一方面要注意动点的运动轨迹, 面要注意对动点的存在性进行议论. 另一方 【习题1】已知平面直角坐标系xOy(如图),一次函数的图像与y轴交于点A,点M在正 比率函数的图像上,且MO=MA.二次函数的图像经过点A、M. (1)求线段AM的长; (2)求这个二次函数的分析式; (3)假如点B在y轴上,且位于点A下方,点C在上述二次函数的图像上,点D在 一次函数的图像上,且四边形ABCD是菱形,求点C的坐标. 【答案】看法析. 【分析】 (1)M点应在OA的垂直均分线上, A点坐标为(0,3),∴M在直线上, 又点M在正比率函数的图像上,∴M点为,∴AM的长为; (2)将A、M分别代入二次函数分析式,解得分析式为: ; (3)依据四边形ABCD四个极点的次序可知,D点在A点右上方,C在右下方, 且CD//AB(即平行于y轴),∴设D点为,则C点为. ∵ABCD为菱形,∴CD=AD. ∴,解得: (舍)或. ∴C点坐标为(2,2). 【总结】本题主要考察二次函数的图像与性质以及菱形的存在性,注意利用性质确立点的坐 标. 【习题 2】 在平面直角坐标系 xOy 中,经过点 A(,0)的抛物线与 y轴交于点 C,点 B 与点 A、点 D 与点 C分别对于该抛物线的对称轴对称 . (1)求b的值以及直线AD与x轴正方向的夹角; (2)假如点E是抛物线上的一动点,过E作EF平行于x轴交直线AD于点F,且F 在E的右侧,过点 E作 EG⊥AD 于点 G,设 E的横坐标为 m,的周长为 l,试用 m表示 l; (3)点 M是该抛物线的极点,点 P是 y轴上一点, Q是坐标平面内一点,假如以 A、 M、P、Q为极点的四边形是矩形,求该矩形的极点 Q的坐标. 【答案】看法析. 【分析】 (1)由, ∴,对称轴直线x=1; ∴C(0,3),D(2,3),A(,0), ∴直线AD分析式为: y=x+1,与x轴正方向的夹角为 (2)∵E(m,),F(,), ∴EF= 45°; ∵为等腰直角三角形,, ∴. (3)A(,0),M(1,4),设AM的中点为N,则N(0,2) ○1当AM为对角线时, ∵,∴, ∴,Q在y轴上,∴(0,),(0,); ○2当AM为边时, ,, ∴,(0,) ∴≌,∴(,) 同理(2,) 【总结】本题综合性较强,解题时要运用几何图形的有关性质,而且注意对方法的概括总结. 【作业1】如图,在平面直角坐标系xOy中,直线与x轴、y轴分别交于点A、B,点C在线段AB上,且. (1)求点C的坐标(用含有m的代数式表示); (2)将沿x轴翻折,当点C的对应点C′恰巧落在抛物线上时,求该抛物线的表达式; (3)设点M为 (2)中所求抛物线上一点,当以A、O、C、M为极点的四边形为平行 四边形时,请直接写出全部知足条件的点M的坐标. 【答案】看法析. 【分析】解: (1)将x=0代入直线分析式,可得B点为(0,-4m). 将y=0代入后,可得A点为(6,0). 过C作CD⊥OB于D,作CE⊥OA于E.∵,∴BC=AC. 易证,. ∴,. ∴C点坐标为(3,-2m); (2)由题意,C'点为(3,2m).∴将C'点代入,解得: .∴抛物线的分析式为: . (3)由题意,使得A、O、C、M组成平行四边形的M点可能为: ,,,分别代入抛物线分析式,可知这三个点均为知足条件的点. 【总结】本题主要考察了二次函数的综合,在解题时要注意分析式确实定,而且注意分类讨 论的数学思想. 【作业2】如图,直线与反比率函数()的图像交于点A、B,与x轴、y轴分别交于D、 C,,. (1)求反比率函数分析式; (2)联络BO,求的正切值; (3)点M在直线上,点N在反比率函数图像上,假如以点A、B、M、N为极点的四 边形是平行四边形,求点N的坐标. 【答案】看法析. 【分析】 (1)过点作,垂足是. 易得;∴; 由题意,得,∴; 在中,,, ∴;∴,;∴; ∴,得; ∴反比率函数分析式为: . (2)过点作,垂足是. 由题意,得;∴直线的表达式是; 又点是直线与双曲线的交点,∴,; 在中,可解得: ,;∴; 在中,,. (3)以分别为对角线和边两种状况议论. 当是对角线时,由题意,可知直线与双曲线的交点就是点, ∴; 当是边时,将向右平移2个单位,点落在直线上,∴; 当是边时,将向左平移2个单位,点落在直线上,∴; 综上,点N的坐标为: 或或. 【总结】本题主要考察一次函数与反比率函数的综合,第 (1)小问比较基础,计算坐标时 注意方法的选择,第 (2)小问也可利用等面积法求出相应线段长,第(3)小问注意利用平 移求出相应的点的坐标.
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