新人教版九年级上册初中数学全册优质公开课教案教学设计.docx
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新人教版九年级上册初中数学全册优质公开课教案教学设计
21.1一元二次方程
第一课时
教学内容
一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念.
教学目标
了解一元二次方程的概念;一般式ax2+bx+c=0(a≠0)及其派生的概念;应用一元二次方程概念解决一些简单题目.
1.通过设置问题,建立数学模型,模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义.
2.一元二次方程的一般形式及其有关概念.
3.解决一些概念性的题目.
4.态度、情感、价值观.
5.通过生活学习数学,并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.
重难点关键
1.重点:
一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题.
2.难点关键:
通过提出问题,建立一元二次方程的数学模型,再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念.
教学过程
一、复习引入学生活动:
列方程.
问题如图,如果
,那么点C叫做线段AB的黄金分割点.
如果假设AB=1,AC=x,那么BC=________,根据题意,得:
________.
整理得:
_________.
问题(3)有一面积为54m2的长方形,将它的一边剪短5m,另一边剪短2m,恰好变成一个正方形,那么这个正方形的边长是多少?
如果假设剪后的正方形边长为x,那么原来长方形长是________,宽是_____,根据题意,得:
_______.
整理,得:
________.
老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型,并整理.
二、探索新知
学生活动:
请口答下面问题.
(1)上面三个方程整理后含有几个未知数?
(2)按照整式中的多项式的规定,它们最高次数是几次?
(3)有等号吗?
或与以前多项式一样只有式子?
老师点评:
(1)都只含一个未知数x;
(2)它们的最高次数都是2次的;
(3)都有等号,是方程.
因此,像这样的方程两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.
一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a≠0)后,其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.
例1.将方程(8-2x)(5-2x)=18化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
分析:
一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0).因此,方程(8-2x)(5-2x)=18必须运用整式运算进行整理,包括去括号、移项等.
解:
去括号,得:
40-16x-10x+4x2=18
移项,得:
4x2-26x+22=0
其中二次项系数为4,一次项系数为-26,常数项为22.
例2.(学生活动:
请二至三位同学上台演练)将方程(x+1)2+(x-2)(x+2)=1化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项、二次项系数;一次项、一次项系数;常数项.
分析:
通过完全平方公式和平方差公式把(x+1)2+(x-2)(x+2)=1化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式.
解:
去括号,得:
x2+2x+1+x2-4=1
移项,合并得:
2x2+2x-4=0
其中:
二次项2x2,二次项系数2;一次项2x,一次项系数2;常数项-4.
三、巩固练习
教材练习1、2
四、归纳小结(学生总结,老师点评)
本节课要掌握:
(1)一元二次方程的概念;
(2)一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)和二次项、二次项系数,一次项、一次项系数,常数项的概念及其它们的运用.
五、布置作业
1.教材复习巩固1-3题
2.选用作业设计.
作业设计
一、选择题
1.在下列方程中,一元二次方程的个数是().
①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③(x-2)(x+5)=x2-1④3x2-
=0
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.方程2x2=3(x-6)化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为().
A.2,3,-6B.2,-3,18C.2,-3,6D.2,3,6
3.px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程,则().
A.p=1B.p>0C.p≠0D.p为任意实数
二、填空题
1.方程3x2-3=2x+1的二次项系数为______,一次项系数为_______,常数项为_________.
三、综合提高题
1.a满足什么条件时,关于x的方程a(x2+x)=
x-(x+1)是一元二次方程?
2.关于x的方程(2m2+m)xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗?
为什么?
21.1一元二次方程
第二课时
教学内容
1.一元二次方程根的概念;
2.根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目.
教学目标
了解一元二次方程根的概念,会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题.
提出问题,根据问题列出方程,化为一元二次方程的一般形式,列式求解;由解给出根的概念;再由根的概念判定一个数是否是根.同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题.
重难点关键
1.重点:
判定一个数是否是方程的根;
2.难点关键:
由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.
教学过程
一、复习引入
学生活动:
请同学独立完成下列问题.
问题1.如图,一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m,那么梯子的底端距墙多少米?
设梯子底端距墙为xm,那么,
根据题意,可得方程为___________.整理,得_________.
列表:
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
问题2.一个面积为120m2的矩形苗圃,它的长比宽多2m,苗圃的长和宽各是多少?
设苗圃的宽为xm,则长为_______m.
根据题意,得________.整理,得________.
列表:
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
老师点评(略)
二、探索新知
提问:
(1)问题1中一元二次方程的解是多少?
问题2中一元二次方程的解是多少?
(2)如果抛开实际问题,问题1中还有其它解吗?
问题2呢?
老师点评:
(1)问题1中x=6是x2-36=0的解,问题2中,x=10是x2+2x-120=0的解.
(3)如果抛开实际问题,问题
(1)中还有x=-6的解;问题2中还有x=-12的解.
为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别,我们称:
一元二次方程的解叫做一元二次方程的根.
回过头来看:
x2-36=0有两个根,一个是6,另一个是-6,但-6不满足题意;同理,问题2中的x=-12的根也满足题意.因此,由实际问题列出方程并解得的根,并不一定是实际问题的根,还要考虑这些根是否确实是实际问题的解.
例1.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根?
-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.
分析:
要判定一个数是否是方程的根,只要把其代入等式,使等式两边相等即可.
解:
将上面的这些数代入后,只有-2和-3满足方程的等式,所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根.
例2.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗?
(1)x2-64=0
(2)3x2-6=0(3)x2-3x=0
分析:
要求出方程的根,就是要求出满足等式的数,可用直接观察结合平方根的意义.
解:
(1)移项得x2=64
根据平方根的意义,得:
x=±8
即x1=8,x2=-8
(2)移项、整理,得x2=2
根据平方根的意义,得x=±
即x1=
,x2=-
(3)因为x2-3x=x(x-3)
所以x2-3x=0,就是x(x-3)=0
所以x=0或x-3=0
即x1=0,x2=3
三、巩固练习
教材思考题练习1、2.
四、应用拓展
例3.要剪一块面积为150cm2的长方形铁片,使它的长比宽多5cm,这块铁片应该怎样剪?
设长为xcm,则宽为(x-5)cm
列方程x(x-5)=150,即x2-5x-150=0
请根据列方程回答以下问题:
(1)x可能小于5吗?
可能等于10吗?
说说你的理由.
(2)完成下表:
x
10
11
12
13
14
15
16
17
…
x2-5x-150
(3)你知道铁片的长x是多少吗?
分析:
x2-5x-150=0与上面两道例题明显不同,不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根,但是我们可以用一种新的方法──“夹逼”方法求出该方程的根.
解:
(1)x不可能小于5.理由:
如果x<5,则宽(x-5)<0,不合题意.
x不可能等于10.理由:
如果x=10,则面积x2-5x-150=-100,也不可能.
(2)
x
10
11
12
13
14
15
16
17
……
x2-5x-150
-100
-84
-66
-46
-24
0
26
54
……
(3)铁片长x=15cm
五、归纳小结(学生归纳,老师点评)
本节课应掌握:
(1)一元二次方程根的概念及它与以前的解的相同处与不同处;
(2)要会判断一个数是否是一元二次方程的根;
(3)要会用一些方法求一元二次方程的根.
六、布置作业
1.教材复习巩固
2.选用课时作业设计.
七:
教学后记
21.2解一元二次方程
配方法
(1)
教学内容
间接即通过变形运用开平方法降次解方程.
教学目标
理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程,并能熟练应用它解决一些具体问题.
通过复习可直接化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程的解法,引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤.
重难点关键
1.重点:
讲清“直接降次有困难,如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤.
2.难点与关键:
不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧.
教学过程
一、复习引入
(学生活动)请同学们解下列方程
(1)3x2-1=5
(2)4(x-1)2-9=0(3)4x2+16x+16=9(4)4x2+16x=-7
老师点评:
上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得
x=±
或mx+n=±
(p≥0).
如:
4x2+16x+16=(2x+4)2,你能把4x2+16x=-7化成(2x+4)2=9吗?
二、探索新知
列出下面问题的方程并回答:
(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢?
(2)能否直接用上面三个方程的解法呢?
问题2:
要使一块矩形场地的长比宽多6m,并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少?
(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是:
前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有.
(2)不能.
既然不能直接降次解方程,那么,我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程,下面,我们就来讲如何转化:
x2+6x-16=0移项→x2+6x=16
两边加32使左边配成x2+2bx+b2的形式→x2+6x+32=16+9
左边写成平方形式→(x+3)2=25降次→x+3=±5即x+3=5或x+3=-5
解一次方程→x1=2,x2=-8
可以验证:
x1=2,x2=-8都是方程的根,但场地的宽不能使负值,所以场地的宽为2m,常为8m.
像上面的解题方法,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫配方法.
可以看出,配方法是为了降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.
例1.用配方法解下列关于x的方程
(1)x2-8x+1=0
(2)x2-2x-
=0
分析:
(1)显然方程的左边不是一个完全平方式,因此,要按前面的方法化为完全平方式;
(2)同上.
解:
略
三、巩固练习
教材探究,并说明理由.
教材练习.
四、应用拓展
例3.如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=8m,CB=6m,点P、Q同时由A,B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动,它们的速度都是1m/s,几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半.
分析:
设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半,△PCQ也是直角三角形.根据已知列出等式.
解:
设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半.
根据题意,得:
(8-x)(6-x)=
×
×8×6
整理,得:
x2-14x+24=0
(x-7)2=25即x1=12,x2=2
x1=12,x2=2都是原方程的根,但x1=12不合题意,舍去.
所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半.
五、归纳小结
本节课应掌握:
左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程的方程.
六、布置作业
教材复习巩固2.3.
(1)
(2)
配方法
(2)
教学内容
给出配方法的概念,然后运用配方法解一元二次方程.
教学目标
了解配方法的概念,掌握运用配方法解一元二次方程的步骤.
通过复习上一节课的解题方法,给出配方法的概念,然后运用配方法解决一些具体题目.
重难点关键
1.重点:
讲清配方法的解题步骤.
2.难点与关键:
把常数项移到方程右边后,两边加上的常数是一次项系数一半的平方.
教具、学具准备
小黑板
教学过程
一、复习引入
(学生活动)解下列方程:
(1)x2-4x+7=0
(2)2x2-8x+1=0
老师点评:
我们上一节课,已经学习了如何解左边不含有x的完全平方形式,不可以直接开方降次解方程的转化问题,那么这两道题也可以用上面的方法进行解题.
解:
略.
(2)与
(1)有何关联?
二、探索新知
讨论:
配方法届一元二次方程的一般步骤:
(1)现将已知方程化为一般形式;
(2)化二次项系数为1;(3)常数项移到右边;
(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式;
(5)变形为(x+p)2=q的形式,如果q≥0,方程的根是x=-p±√q;如果q<0,方程无实根.
例1.解下列方程
(1)2x2+1=3x
(2)3x2-6x+4=0(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0
分析:
我们已经介绍了配方法,因此,我们解这些方程就可以用配方法来完成,即配一个含有x的完全平方.
解:
略
三、巩固练习
教材练习题
四、归纳小结
本节课应掌握:
1.配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤.
2.配方法是解一元二次方程的通法,它重要性,不仅仅表现在一元二次方程的解法中,也可通过配方,利用非负数的性质判断代数式的正负性(如例3)在今后学习二次函数,到高中学习二次曲线时,还将经常用到。
六、布置作业
1.教材复习巩固3.(3)(4)
补充:
(1)已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0,则求x+y+z的值
(2)求证:
无论x、y取任何实数,多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是正数
公式法
教学内容
1.一元二次方程求根公式的推导过程;
2.公式法的概念;
3.利用公式法解一元二次方程.
教学目标
理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念,会熟练应用公式法解一元二次方程.
复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程,引入ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式的推导公式,并应用公式法解一元二次方程.
重难点关键
1.重点:
求根公式的推导和公式法的应用.
2.难点与关键:
一元二次方程求根公式法的推导.
教学过程
1.前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”,比如,方程
(1)x2=4
(2)(x-2)2=7
提问1这种解法的(理论)依据是什么?
提问2这种解法的局限性是什么?
(只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效,不能实施于一般形式的二次方程。
)
2.面对这种局限性,怎么办?
(使用配方法,把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式。
)
(学生活动)用配方法解方程2x2+3=7x
(老师点评)略
总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结,老师点评).
(1)现将已知方程化为一般形式;
(2)化二次项系数为1;(3)常数项移到右边;
(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式;
(5)变形为(x+p)2=q的形式,如果q≥0,方程的根是x=-p±√q;如果q<0,方程无实根.
二、探索新知
用配方法解方程:
(1)ax2-7x+3=0
(2)ax2+bx+3=0
(3)如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根,请同学独立完成下面这个问题.
问题:
已知ax2+bx+c=0(a≠0),试推导它的两个根x1=
,x2=
(这个方程一定有解吗?
什么情况下有解?
)
分析:
因为前面具体数字已做得很多,我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.
解:
移项,得:
ax2+bx=-c
二次项系数化为1,得x2+
x=-
配方,得:
x2+
x+(
)2=-
+(
)2
即(x+
)2=
∵4a2>0,4a2>0,当b2-4ac≥0时
≥0
∴(x+
)2=(
)2
直接开平方,得:
x+
=±
即x=
∴x1=
,x2=
由上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定,因此:
(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,将a、b、c代入式子x=
就得到方程的根.(公式所出现的运算,恰好包括了所学过的六中运算,加、减、乘、除、乘方、开方,这体现了公式的统一性与和谐性。
)
(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.
公式的理解
(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.
例1.用公式法解下列方程.
(1)2x2-x-1=0
(2)x2+1.5=-3x(3)x2-
x+
=0(4)4x2-3x+2=0
分析:
用公式法解一元二次方程,首先应把它化为一般形式,然后代入公式即可.
补:
(5)(x-2)(3x-5)=0
三、巩固练习
教材练习1.
(1)、(3)、(5)或
(2)、(4)、(6)
四、应用拓展
例2.某数学兴趣小组对关于x的方程(m+1)
+(m-2)x-1=0提出了下列问题.
(1)若使方程为一元二次方程,m是否存在?
若存在,求出m并解此方程.
(2)若使方程为一元二次方程m是否存在?
若存在,请求出.
你能解决这个问题吗?
分析:
能.
(1)要使它为一元二次方程,必须满足m2+1=2,同时还要满足(m+1)≠0.
(2)要使它为一元一次方程,必须满足:
①
或②
或③
五、归纳小结
本节课应掌握:
(1)求根公式的概念及其推导过程;
(2)公式法的概念;
(3)应用公式法解一元二次方程的步骤:
1)将所给的方程变成一般形式,注意移项要变号,尽量让a>0.2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。
3)计算b2-4ac,若结果为负数,方程无解,4)若结果为非负数,代入求根公式,算出结果。
(4)初步了解一元二次方程根的情况.
六、布置作业
教材复习巩固5.
判别一元二次方程根的情况
教学内容
用b2-4ac大于、等于0、小于0判别ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况及其运用.
教学目标
掌握b2-4ac>0,ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实根,反之也成立;b2-4ac=0,ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根,反之也成立;b2-4ac<0,ax2+bx+c=0(a≠0)没实根,反之也成立;及其它们关系的运用.
通过复习用配方法解一元二次方程的b2-4ac>0、b2-4ac=0、b2-4ac<0各一题,分析它们根的情况,从具体到一般,给出三个结论并应用它们解决一些具体题目.
重难点关键
1.重点:
b2-4ac>0
一元二次方程有两个不相等的实根;b2-4ac=0
一元二次方程有两个相等的实数;b2-4ac<0
一元二次方程没有实根.
2.难点与关键
从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的b2-4ac的情况与根的情况的关系.
教具、学具准备
小黑板
教学过程
一、复习引入
(学生活动)用公式法解下列方程.
(1)2x2-3x=0
(2)3x2-2
x+1=0(3)4x2+x+1=0
老师点评,(三位同学到黑板上作)老师只要点评
(1)b2-4ac=9>0,有两个不相等的实根;
(2)b2-4ac=12-12=0,有两个相等的实根;(3)b2-4ac=│-4×4×1│=<0,方程没有实根.
二、探索新知
方程
b2-4ac的值
b2-4ac的符号
x1、x2的关系
(填相等、不等或不存在)
2x2-3x=0
3x2-2
x+1=0
4x2+x+1=0
请观察上表,结合b2-4ac的符号,归纳出一元二次方程的根的情况。
证明你的猜想。
从前面的具体问题,我们已经知道b2-4ac>0(<0,=0)与根的情况,现在我们从求根公式的角度来分析:
求根公式:
x=
,当b2-4ac>0时,根据平方根的意义,
等于一个具体数,所以一元一次方程的x1=
≠x1=
,即有两个不相等的实根.当b2-4ac=0时,根据平方根的意义
=0,所以x1=x2=
,即有两个相等的实根;当b2-4ac<0时,根据平方根的意义,负数没有平方根,所以没有实数解.
因此,(结论)
(1)当b2-4ac>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等实数根即x1=
,x2=
.
(2)当b-4ac=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根即x1=x2=
.
(3)当b2-4ac<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.
例1.不解方程,判定方程根的情况
(1)16x2+8x=-3
(2)9x2+6x+1=0
(3)2x2-
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