2022年浙江省高考数学试卷真题+答案解析.doc
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2022年浙江省高考数学试卷和答案
一、选择题:
本大题共10小题,每小题4分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(4分)设集合A={1,2},B={2,4,6},则A∪B=( )
A.{2} B.{1,2} C.{2,4,6} D.{1,2,4,6}
2.(4分)已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i(i为虚数单位),则( )
A.a=1,b=﹣3 B.a=﹣1,b=3
C.a=﹣1,b=﹣3 D.a=1,b=3
3.(4分)若实数x,y满足约束条件则z=3x+4y的最大值是( )
A.20 B.18 C.13 D.6
4.(4分)设x∈R,则“sinx=1”是“cosx=0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.(4分)某几何体的三视图如图所示(单位:
cm),则该几何体的体积(单位:
cm3)是( )
A.22π B.8π C.π D.π
6.(4分)为了得到函数y=2sin3x的图象,只要把函数y=2sin(3x+)图象上所有的点( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
7.(4分)已知2a=5,log83=b,则4a﹣3b=( )
A.25 B.5 C. D.
8.(4分)如图,已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1,AC=AA1,E,F分别是棱BC,A1C1上的点.记EF与AA1所成的角为α,EF与平面ABC所成的角为β,二面角F﹣BC﹣A的平面角为γ,则( )
A.α≤β≤γ B.β≤α≤γ C.β≤γ≤α D.α≤γ≤β
9.(4分)已知a,b∈R,若对任意x∈R,a|x﹣b|+|x﹣4|﹣|2x﹣5|≥0,则( )
A.a≤1,b≥3 B.a≤1,b≤3 C.a≥1,b≥3 D.a≥1,b≤3
10.(4分)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an﹣an2(n∈N*),则( )
A.2<100a100< B.<100a100<3
C.3<100a100< D.<100a100<4
二、填空题:
本大题共7小题,单空题每题4分,多空题每空3分,共36分。
11.(4分)我国南宋著名数学家秦九韶,发现了从三角形三边求面积的公式,他把这种方法称为“三斜求积”,它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式,就是S=,其中a,b,c是三角形的三边,S是三角形的面积.设某三角形的三边a=,b=,c=2,则该三角形的面积S= .
12.(6分)已知多项式(x+2)(x﹣1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a2= ,a1+a2+a3+a4+a5= .
13.(6分)若3sinα﹣sinβ=,α+β=,则sinα= ,cos2β= .
14.(6分)已知函数f(x)=则f(f())= ;若当x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3,则b﹣a的最大值是 .
15.(6分)现有7张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张,记所抽取卡片上数字的最小值为ξ,则P(ξ=2)= ,E(ξ)= .
16.(4分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左焦点为F,过F且斜率为的直线交双曲线于点A(x1,y1),交双曲线的渐近线于点B(x2,y2)且x1<0<x2.若|FB|=3|FA|,则双曲线的离心率是 .
17.(4分)设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上,则2+2+…+2的取值范围是 .
三、答案题:
本大题共5小题,共74分。
答案应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.(14分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4a=c,cosC=.
(Ⅰ)求sinA的值;
(Ⅱ)若b=11,求△ABC的面积.
19.(15分)如图,已知ABCD和CDEF都是直角梯形,AB∥DC,DC∥EF,AB=5,DC=3,EF=1,∠BAD=∠CDE=60°,二面角F﹣DC﹣B的平面角为60°.设M,N分别为AE,BC的中点.
(Ⅰ)证明:
FN⊥AD;
(Ⅱ)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值.
20.(15分)已知等差数列{an}的首项a1=﹣1,公差d>1.记{an}的前n项和为Sn(n∈N*).
(Ⅰ)若S4﹣2a2a3+6=0,求Sn;
(Ⅱ)若对于每个n∈N*,存在实数cn,使an+cn,an+1+4cn,an+2+15cn成等比数列,求d的取值范围.
21.(15分)如图,已知椭圆+y2=1.设A,B是椭圆上异于P(0,1)的两点,且点Q(0,)在线段AB上,直线PA,PB分别交直线y=﹣x+3于C,D两点.
(Ⅰ)求点P到椭圆上点的距离的最大值;
(Ⅱ)求|CD|的最小值.
22.(15分)设函数f(x)=+lnx(x>0).
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)已知a,b∈R,曲线y=f(x)上不同的三点(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),(x3,f(x3))处的切线都经过点(a,b).证明:
(ⅰ)若a>e,则0<b﹣f(a)<(﹣1);
(ⅱ)若0<a<e,x1<x2<x3,则+<+<﹣.
(注:
e=2.71828…是自然对数的底数)
答案
一、选择题:
本大题共10小题,每小题4分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.【知识点】并集及其运算.
【答案】解:
∵A={1,2},B={2,4,6},
∴A∪B={1,2,4,6},
故选:
D.
2.【知识点】虚数单位i、复数.
【答案】解:
∵a+3i=(b+i)i=﹣1+bi,a,b∈R,
∴a=﹣1,b=3,
故选:
B.
3.【知识点】简单线性规划.
【答案】解:
实数x,y满足约束条件
则不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分,
由已知可得A(2,3),
由图可知:
当直线3x+4y﹣z=0过点A时,z取最大值,
则z=3x+4y的最大值是3×2+4×3=18,
故选:
B.
4.【知识点】充分条件、必要条件、充要条件.
【答案】解:
∵sin2x+cos2x=1,
①当sinx=1时,则cosx=0,∴充分性成立,
②当cosx=0时,则sinx=±1,∴必要性不成立,
∴sinx=1是cosx=0的充分不必要条件,
故选:
A.
5.【知识点】由三视图求面积、体积.
【答案】解:
由三视图可知几何体是上部为半球,中部是圆柱,下部是圆台,
所以几何体的体积为:
+π×12×2+=π.
故选:
C.
6.【知识点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【答案】解:
把y=2sin(3x+)图象上所有的点向右平移个单位可得y=2sin[3(x﹣)+]=2sin3x的图象.
故选:
D.
7.【知识点】对数的运算性质.
【答案】解:
由2a=5,log83=b,
可得8b=23b=3,
则4a﹣3b====,
故选:
C.
8.【知识点】二面角的平面角及求法.
【答案】解:
∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=AA1,
∴正三棱柱的所有棱长相等,设棱长为1,
如图,过F作FG⊥AC,垂足点为G,连接GE,则A1A∥FG,
∴EF与AA1所成的角为∠EFG=α,且tanα=,
又GE∈[0,1],∴tanα∈[0,1],
∴EF与平面ABC所成的角为∠FEG=β,且tanβ=∈[1,+∞),
∴tanβ≥tanα,...①,
再过G点作GH⊥BC,垂足点为H,连接HF,
又易知FG⊥底面ABC,BC⊂底面ABC,
∴BC⊥FG,又FG∩GH=G,∴BC⊥平面GHF,
∴二面角F﹣BC﹣A的平面角为∠GHF=γ,且tanγ=,又GH∈[0,1],
∴tanγ∈[1,+∞),∴tanγ≥tanα,...②,
又GE≥GH,∴tanβ≤tanγ,...③,
由①②③得tanα≤tanβ≤tanγ,又α,β,γ∈[0,),y=tanx在[0,)单调递增,
∴α≤β≤γ,
故选:
A.
9.【知识点】绝对值不等式的解法.
【答案】解法一:
当a<1,x→+∞时,
a|x﹣b|+|x﹣4|﹣|2x﹣5|=a(x﹣b)+(x﹣4)﹣22+5=(a+1﹣2)x﹣ab﹣4+5<0,与已知条件矛盾,
∴a≥1,
若b>3,则当x=b时,
a|x﹣b|+|x﹣4|﹣|2x﹣5|=|b﹣4|﹣2b+5<0,与条件矛盾,
∴b≤3,
故ABC均错误,D正确.
解法二:
由a|x﹣b|≥|2x﹣5|﹣|x﹣4|,作出f(x)=|2x﹣5|﹣|x﹣4|的图象,如图,
数形结合,得a≥1且b≤3.
故选:
D.
10.【知识点】数列递推式.
【答案】解:
∵an+1﹣an=﹣an2<0,
∴{an}为递减数列,
又,且an≠0,
∴,
又a1=1>0,则an>0,
∴,
∴,
∴,则,
∴;
由得,得,
累加可得,,
∴,
∴;
综上,.
故选:
B.
二、填空题:
本大题共7小题,单空题每题4分,多空题每空3分,共36分。
11.【知识点】三角形的面积公式.
【答案】解:
由S===,
故答案为:
.
12.【知识点】二项式定理.
【答案】解:
∵(x﹣1)4=x4﹣4x3+6x2﹣4x+1,
∴a2=﹣4+12=8;
令x=0,则a0=2,
令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5=0,
∴a1+a2+a3+a4+a5=﹣2.
故答案为:
8,﹣2.
13.【知识点】两角和与差的三角函数.
【答案】解:
∵3sinα﹣sinβ=,α+β=,
∴3sinα﹣cosα=,
∴cosα=3sinα﹣,
∵sin2α+cos2α=1,
∴sin2α+(3sin)2=1,
解得sinα=,cosβ=sinα=,
cos2β=2cos2β﹣1=2×﹣1=.
故答案为:
;.
14.【知识点】分段函数的应用;函数的值.
【答案】解:
∵函数f(x)=,∴f()=﹣+2=,
∴f(f())=f()=+﹣1=;
作出函数f(x)的图象如图:
由图可知,若当x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3,则b﹣a的最大值是.
故答案为:
;3+.
15.【知识点】离散型随机变量的期望与方差.
【答案】解:
根据题意可得:
ξ的取值可为1,2,3,4,
又P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=,
P(ξ=3)=,
P(ξ=4)=,
∴E(ξ)=1×+2×+3×+4×=,
故答案为:
;.
16.【知识点】双曲线的性质.
【答案】解:
如图,过点A作AA′⊥x轴于点A′,过点B作BB′⊥x轴于点B′,
由于B(x2,y2)且x2>0,则点B在渐近线上,不妨设,
设直线AB的倾斜角为θ,则,则,即,则|FB′|=4m,
∴|OF|=c=3m,
又,则=,
又,则,则,
∴点A的坐标为,
∴,即,
∴.
故答案为:
.
17.【知识点】平面向量数量积的性质及其运算;二倍角的三角函数.
【答案】解:
以圆心为原点,A7A3所在直线为x轴,A5A1所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,
则A1(0,1),,A3(1,0),,A5(0,﹣1),,A7(﹣1,0),,
设P(x,y),
则2+2+…+2=|PA1|2+|PA2|2+|PA3|2+|PA4|2+|PA5|2+|PA6|2+|PA7|2+|PA8|2=8(x2+y2)+8,
∵cos22.5°≤|OP|≤1,∴,
∴,
∴12≤8(x2+y2)+8≤16,
即2+2+…+2的取值范围是[12+2,16],
故答案为:
[12+2,16].
三、答案题:
本大题共5小题,共74分。
答案应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.【知识点】三角形中的几何计算;正弦定理;余弦定理.
【答案】解:
(Ⅰ)因为cosC=>0,所以C∈(0,),且sinC==,
由正弦定理可得:
=,
即有sinA==sinC=×=;
(Ⅱ)因为4a=c⇒a=c<c,
所以A<C,故A∈(0,),
又因为sinA=,所以cosA=,
所以sinB=sin[π﹣(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=;
由正弦定理可得:
===5,
所以a=5sinA=5,
所以S△ABC=absinC=×5×11×=22.
19.【知识点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直;直线与平面所成的角.
【答案】证明:
(I)由于CD⊥CB,CD⊥CF,
平面ABCD∩平面CDEF=CD,CF⊂平面CDEF,CB⊂平面ABCD,
所以∠FCB为二面角F﹣DC﹣B的平面角,
则∠FCB=60°,CD⊥平面CBF,则CD⊥FN.
又,
则△BCF是等边三角形,则CB⊥FN,
因为DC⊥FC,DC⊥BC,FC∩BC=C,FC⊂平面FCB,BC⊂平面FCB,
所以DC⊥平面FCB,因为FN⊂平面FCB,所以DC⊥FN,
又因为DC∩CB=C,DC⊂平面ABCD,CB⊂平面ABCD,
所以FN⊥平面ABCD,因为AD⊂平面ABCD,故FN⊥AD;
解:
(Ⅱ)由于FN⊥平面ABCD,如图建系:
于是,则,
,
设平面ADE的法向量=(x,y,z),
则,∴,令x=,则y=﹣1,z=,
∴平面ADE的法向量,
设BM与平面ADE所成角为θ,
则.
20.【知识点】等差数列与等比数列的综合;等差数列的前n项和.
【答案】解:
(Ⅰ)因为等差数列{an}的首项a1=﹣1,公差d>1,
因为S4﹣2a2a3+6=0,可得﹣2a2a3+6=0,即2(a1+a4)﹣2a2a3+6=0,
a1+a1+3d﹣(a1+d)(a1+2d)+3=0,即﹣1﹣1+3d﹣(﹣1+d)(﹣1+2d)+3=0,
整理可得:
d2=3d,解得d=3,
所以Sn=na1+d=﹣n+=,
即Sn=;
(Ⅱ)因为对于每个n∈N*,存在实数cn,使an+cn,an+1+4cn,an+2+15cn成等比数列,
则(a1+nd+4cn)2=[a1+(n﹣1)d+cn][(a1+(n+1)d+15cn],a1=﹣1,
整理可得:
cn2+[(14﹣8n)d+8]cn+d2=0,则Δ=[(14﹣8n)d+8]2﹣4d2≥0恒成立在n∈N+,
整理可得[(2n﹣3)d﹣2][n﹣2)d﹣1]≥0,
当n=1时,可得d≤﹣2或d≥﹣1,而d>1,
所以d的范围为(1,+∞);
n=2时,不等式变为(d﹣2)(﹣1)≥0,解得d≤2,而d>1,
所以此时d∈(1,2],
当n≥3时,d>1,则[(2n﹣3)d﹣2][n﹣2)d﹣1]>(2n﹣5)(n﹣3)≥0符合要求,
综上所述,对于每个n∈N*,d的取值范围为(1,2],使an+cn,an+1+4cn,an+2+15cn成等比数列.
21.【知识点】直线与圆锥曲线的综合;椭圆的性质.
【答案】解:
(Ⅰ)设椭圆上任意一点M(x,y),则|PM|2=x2+(y﹣1)2=12﹣12y2+y2﹣2y+1=﹣11y2﹣2y+13,y∈[﹣1,1],
而函数z=﹣11y2﹣2y+13的对称轴为,则其最大值为,
∴,即点P到椭圆上点的距离的最大值为;
(Ⅱ)设直线AB:
,
联立直线AB与椭圆方程有,消去y并整理可得,(12k2+1)x2+12kx﹣9=0,
由韦达定理可得,,
∴=,
设C(x3,y3),D(x4,y4),直线AP:
,直线BP:
,
联立以及,
可得,
∴由弦长公式可得=
=2||=2||
==≥=,
当且仅当时等号成立,
∴|CD|的最小值为.
22.【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.
【答案】解:
(Ⅰ)∵函数f(x)=+lnx(x>0),
∴+=,(x>0),
由>0,得x>,∴f(x)在(,+∞)上单调递增;
由<0,得0<x<,∴f(x)在(0,)上单调递减.
(Ⅱ)(i)证明:
∵过(a,b)有三条不同的切线,
设切点分别为(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),(x3,f(x3)),
∴f(xi)﹣b=f′(xi)(xi﹣a),(i=1,2,3),∴方程f(x)﹣b=f′(x)(x﹣a)有3个不同的根,
该方程整理为(﹣)(x﹣a)﹣,
设g(x)=()(x﹣a)﹣﹣lnx+b,
则g′(x)==﹣(x﹣e)(x﹣a),
当0<x<e或x>a时,g′(x)<0;当e<x<a时,g′(x)>0,
∴g(x)在(0,e),(a,+∞)上为减函数,在(e,a)上为增函数,
∵g(x)有3个不同的零点,∴g(e)<0且g(a)>0,
∴()(e﹣a)﹣﹣lne+b<0,且()(a﹣a)﹣,
整理得到且,
此时,,且,
此时,﹣,
整理得,且,
此时,b﹣f(a)﹣()<+1﹣()﹣,
设μ(a)为(e,+∞)上的减函数,∴μ(a)<,
∴.
(ii)当0<a<e时,同(i)讨论,得:
g(x)在(0,a),(e,+∞)上为减函数,在(a,e)上为增函数,
不妨设x1<x2<x3,则0<x1<a<x2<e<x3,
∵g(x)有3个不同的零点,∴g(a)<0,且g(e)>0,
∴()(e﹣a)﹣,且()(a﹣a)﹣,
整理得,
∵x1<x2<x3,∴0<x1<a<x2<e<x3,
∵g(x)=1﹣,
设t=,则方程1﹣即为:
﹣,即为﹣(m+1)t+,
记,
则t1,t2,t3为﹣(m+1)t+有三个不同的根,
设k=,m=,
要证:
,
即证,
即证:
,
而﹣(m+1),且﹣(m+1),
∴(t1﹣t3)=0,
∴,
∴即证﹣<,
即证+>0,
即证,
记,则,
∴φ(k)在(1,+∞)为增函数,∴φ(k)>φ(m),
∴>,
设ω(m)=lnm+,0<m<1,
则ω′(x)=>,
∴ω(m)在(0,1)上是增函数,∴ω(m)<ω
(1)=0,
∴lnm+<0,
即>0,
∴若0<a<e,x1<x2<x3,则+<+<﹣.
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